Comment trouver la distance entre deux points

Pourquoi la formule n'est que Pythagore

Place deux points, trace une horizontale depuis l'un et une verticale depuis l'autre. Elles se coupent à angle droit et forment un triangle rectangle dont les côtés sont l'écart horizontal (x₂−x₁) et l'écart vertical (y₂−y₁). La distance en ligne droite entre les points est l'hypoténuse de ce triangle.

Pythagore affirme côté² + côté² = hypoténuse², donc (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² = d². En prenant la racine carrée des deux membres, on obtient d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). C'est toute la formule — rien à retenir que le triangle n'explique déjà, ce qui explique aussi son extension en trois dimensions en ajoutant un terme (z₂−z₁)².

Un exemple résolu du début à la fin

Prends les points A = (1, 2) et B = (4, 6). L'écart horizontal est x₂−x₁ = 4−1 = 3 et l'écart vertical y₂−y₁ = 6−2 = 4. Au carré : 3² = 9 et 4² = 16. Leur somme vaut 25, et √25 = 5, donc A et B sont distants d'exactement 5 unités.

Le milieu de A et B — le point à mi-chemin sur le segment — moyenne les coordonnées : ((1+4)/2, (2+6)/2) = (2,5, 4). Vérification : la distance de A au milieu vaut √(1,5² + 2²) = √(2,25 + 4) = √6,25 = 2,5, soit la moitié de 5, exactement comme prévu.

Erreurs fréquentes et vérifications rapides

L'erreur la plus fréquente est d'élever au carré avant de soustraire — écrire x₂² − x₁² au lieu de (x₂−x₁)². Ce n'est pas la même chose, et c'est la seconde forme qu'exige la formule. Calcule toujours l'écart d'abord, puis élève-le au carré. Un écart négatif ne pose aucun problème : le carré le rend positif, d'où le même résultat en échangeant les points.

Pour un contrôle rapide, la distance ne peut jamais être inférieure à l'écart horizontal ou vertical pris seul — l'hypoténuse est toujours le plus grand côté. Si ton résultat est inférieur à 3 dans l'exemple ci-dessus, tu as fait une erreur de calcul. Et si les deux points partagent un x ou un y, la formule se réduit à une simple soustraction, pratique pour tester ta démarche.

Questions fréquentes

L'ordre des deux points a-t-il une importance ?

Non. Chaque écart étant élevé au carré, (x₂−x₁)² = (x₁−x₂)², donc échanger les points donne exactement la même distance. Choisis l'ordre le plus simple à soustraire.

Comment trouver le milieu entre deux points ?

Faites la moyenne des coordonnées : le milieu est ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Pour (1, 2) et (4, 6), cela donne (2,5, 4). Le milieu se trouve toujours sur la droite reliant les deux points.

La formule fonctionne-t-elle en trois dimensions ?

Oui. Ajoute un troisième écart au carré pour l'axe z : d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²). La même idée de Pythagore s'étend à un nombre quelconque de dimensions en ajoutant un terme au carré par axe.

La distance peut-elle être négative ?

Non. Une distance est une longueur, et la racine carrée de la formule renvoie la valeur positive. Elle vaut zéro seulement si les deux points sont confondus, et positive sinon.