Comment fonctionnent les exposants : puissances et règles

Les exposants sont des multiplications répétées

Écrire 2^4 est un raccourci pour 2 × 2 × 2 × 2. La base est le nombre multiplié (2), et l'exposant, ou puissance, le nombre de copies multipliées (4). Ainsi 2^4 = 16 et 10^3 = 1 000. Cette notation existe car la multiplication répétée croît vite et serait fastidieuse à écrire — 2^10 vaut déjà 1 024.

Deux noms reviennent souvent : élever à la puissance 2 s'appelle mettre au carré (car 5^2 est l'aire d'un carré de côté 5), et élever à la puissance 3 s'appelle mettre au cube (le volume d'un cube). Le reste se lit « à la puissance » — 7^5 se lit « sept puissance cinq ».

Les règles des exposants

Trois règles font l'essentiel du travail. Multiplier des puissances de même base additionne les exposants : 2^3 × 2^2 = 2^(3+2) = 2^5, car on multiplie cinq 2 à la suite. Diviser les soustrait : 2^5 ÷ 2^2 = 2^(5−2) = 2^3, deux facteurs s'annulant. Élever une puissance à une puissance les multiplie : (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6, car on prend trois 2 et on répète deux fois.

La règle de l'exposant zéro découle de celle de la division. Puisque 2^3 ÷ 2^3 = 2^(3−3) = 2^0, et qu'un nombre divisé par lui-même vaut 1, on a forcément 2^0 = 1. Cela vaut pour toute base non nulle : 5^0, 100^0 et (−3)^0 valent tous 1.

Exposants négatifs et fractionnaires

Un exposant négatif signifie prendre l'inverse : 2^−1 = 1 ÷ 2 = 0,5, et 2^−3 = 1 ÷ 2^3 = 1 ÷ 8 = 0,125. En descendant les puissances de 2 — 8, 4, 2, 1 — chaque pas divise par deux, donc continuer au-delà de 2^0 = 1 mène naturellement à ½, ¼, etc. Les exposants négatifs prolongent ce schéma sous zéro.

Un exposant fractionnaire signifie une racine. Le dénominateur donne la racine et le numérateur la puissance : 9^(1/2) est la racine carrée de 9, soit 3, et 8^(1/3) est la racine cubique de 8, soit 2. En combinant, 8^(2/3) = (8^(1/3))^2 = 2^2 = 4. C'est pourquoi racines et puissances sont une même opération vue de deux côtés.

Questions fréquentes

Pourquoi tout à la puissance zéro vaut-il un ?

Parce que diviser une puissance par elle-même donne 1, et selon la règle des exposants cela donne aussi cette base à la puissance zéro. Les deux doivent coïncider, donc toute base non nulle à la puissance zéro vaut 1.

Que vaut zéro à la puissance zéro ?

C'est un cas particulier sans réponse unique admise. Beaucoup de contextes définissent 0^0 = 1 par commodité, mais strictement on le traite comme indéterminé. La plupart des règles courantes supposent une base non nulle.

En quoi 2^3 diffère-t-il de 2 × 3 ?

2 × 3 additionne 2 trois fois et vaut 6. 2^3 multiplie 2 par lui-même trois fois et vaut 8. Les exposants croissent bien plus vite que la multiplication.

Un exposant peut-il être un nombre décimal ?

Oui. Un exposant décimal n'est qu'un exposant fractionnaire écrit autrement : 2^0,5 égale 2^(1/2), la racine carrée de 2, environ 1,414. Les calculatrices traitent ainsi tout exposant réel.