Qu'est-ce qu'une factorielle ? n! expliqué simplement

La définition en une ligne

Pour un entier positif n, la factorielle n! vaut n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1. Ainsi 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24, et 6! = 720. Chaque factorielle s'appuie sur la précédente : n! = n x (n-1)!, c'est pourquoi 5! n'est que 5 fois 4!.

La valeur qui surprend est 0!, qui vaut 1 et non 0. C'est étrange, mais cela préserve la règle récursive et les formules de combinaison. Il existe exactement une façon de n'ordonner aucun objet — l'arrangement vide — donc le compter comme 1 est cohérent.

À quelle vitesse les factorielles croissent

Les factorielles explosent. 5! vaut 120, 10! atteint déjà 3 628 800, et 20! environ 2,43 trillions. Cette croissance dépasse toute exponentielle comme 2^n, car chaque étape multiplie par un nombre plus grand, pas le même. C'est pourquoi ordonner même peu d'objets donne un nombre astronomique d'arrangements.

Pourquoi les factorielles comptent

Une factorielle répond à une question précise : de combien de façons peut-on ordonner n objets distincts ? Avec 3 livres, il y a 3! = 6 arrangements. Les permutations de r objets parmi n utilisent n! / (n-r)!, et les combinaisons — où l'ordre importe peu — utilisent n! / (r! (n-r)!). Les deux formules reposent sur les factorielles.

Questions fréquentes

Pourquoi 0! est-il égal à 1 ?

Il n'y a qu'une seule façon d'ordonner un ensemble vide — ne rien faire — donc 0! = 1. Cela garde aussi la règle n! = n x (n-1)! valide en n = 1 et fait fonctionner les combinaisons.

Peut-on calculer la factorielle d'un nombre négatif ?

Pas avec la définition standard — les factorielles sont définies pour les entiers positifs ou nuls. Une fonction voisine, la fonction gamma, étend l'idée à d'autres valeurs, mais n! ordinaire s'arrête à 0.

Jusqu'où une factorielle peut-elle aller avant de dépasser une calculatrice ?

Beaucoup de calculatrices de poche plafonnent vers 69!, soit environ 1,7 x 10^98. Au-delà, il faut un logiciel gérant de très grands entiers, car les factorielles croissent plus vite que presque toute autre fonction.

Quelle est la différence entre une factorielle et une puissance ?

Une puissance comme 3^4 multiplie le même nombre quatre fois (81). Une factorielle multiplie des nombres décroissants, donc 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Les factorielles changent de nombre à chaque étape et croissent bien plus vite pour de grandes valeurs.