Combinaisons et permutations : quand l'ordre compte
Publié le 28/07/2025 · 3 min de lecture · Calculateurs du quotidien
Lena Hoffmann — Rédactrice Sciences & Éducation chez OneKitly
Mathématiques · Physique
Vérifié à partir de 2 sources
Une permutation compte des arrangements ordonnés, tandis qu'une combinaison compte des sélections non ordonnées. Utilise les permutations (nPr = n! / (n − r)!) quand l'ordre compte, par exemple pour classer les arrivants d'une course. Utilise les combinaisons (nCr = n! / (r! · (n − r)!)) quand seul le groupe compte, par exemple pour choisir un comité. Pour les mêmes n et r, il y a toujours plus de permutations que de combinaisons, car chaque combinaison peut être réordonnée de r! façons.
La différence entre combinaisons et permutations tient à une seule question : l'ordre compte-t-il ? Découvre les formules nCr et nPr avec des exemples détaillés.
La seule question qui décide
Avant de choisir une formule, demande-toi si réordonner les mêmes éléments produit un résultat différent. Si oui, l'ordre compte et il te faut une permutation. Si le réordonnancement ne change rien, l'ordre est indifférent et il te faut une combinaison.
Un test rapide : un podium de course est une permutation, car or, argent et bronze sont des positions distinctes. Une poignée de numéros de loterie est une combinaison, car le billet gagne quel que soit l'ordre de tirage des boules.
Les deux formules côte à côte
La formule des permutations est nPr = n! / (n − r)!, où n est le nombre d'éléments disponibles et r le nombre que tu arranges. La formule des combinaisons divise ce résultat par r! pour annuler les ordres : nCr = n! / (r! · (n − r)!). Ce r! supplémentaire au dénominateur est précisément la raison pour laquelle les combinaisons sont toujours le plus petit nombre.
Note que n! (factorielle de n) désigne le produit 1 × 2 × ... × n, et 0! vaut par convention 1. Cette convention fait fonctionner les formules quand r égale n, cas où il existe exactement une façon de tout arranger ou sélectionner.
Un exemple avec les mêmes nombres
Prends 5 personnes et choisis-en 3. Les permutations sont nPr = 5! / (5 − 3)! = 120 / 2 = 60 alignements ordonnés. Les combinaisons sont nCr = 5! / (3! · 2!) = 120 / (6 × 2) = 10 groupes non ordonnés. Le rapport 60 / 10 = 6 vaut exactement 3!, confirmant que chaque groupe de 3 s'ordonne de 6 façons.
Cette relation se généralise : nPr = nCr × r!. Dès que tu as un nombre de combinaisons, multiplie par r! pour obtenir les permutations, et divise par r! pour l'inverse.
Exemple calculé avec notre outil
Calculateur de combinaisons (nCr)
Données
- n (total)
- 20
- r (choisis)
- 6
Résultat
- nCr
- 38 760
Ces chiffres sont produits par le calculateur ci-dessous, pas saisis à la main — ils sont recalculés à chaque évolution de l'outil.
Refaire ce calcul avec tes chiffres →Questions fréquentes
- Un « code » de cadenas est-il vraiment une combinaison ?
- Non, c'est mathématiquement une permutation. Sur un cadenas, 1-2-3 et 3-2-1 ouvrent des cadenas différents : l'ordre compte, et le terme exact est permutation malgré le nom courant.
- Lequel est toujours le plus grand pour les mêmes n et r ?
- Les permutations sont toujours au moins aussi grandes, car nPr = nCr × r!. Elles sont égales seulement quand r vaut 0 ou 1, puisque 0! et 1! valent tous deux 1.
- La répétition change-t-elle les formules ?
- Oui. Les formules ici supposent chaque élément utilisé au plus une fois (sans répétition). Si les éléments peuvent se répéter, on utilise d'autres formules, comme n^r pour les sélections ordonnées avec répétition.
- Comment nCr est-il lié au triangle de Pascal ?
- Chaque case du triangle de Pascal est un nombre de combinaisons : la valeur en ligne n, position r, vaut nCr. C'est pourquoi ces nombres apparaissent comme coefficients dans le développement de (a + b)^n.
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