Le diviseur de tension : la formule est triviale, l'hypothèse qui la porte ne l'est pas

Ce que calcule l'outil, et la note qui compte

L'outil résout le diviseur dans trois sens, ce qui est plus utile qu'il n'y paraît. Dans le premier mode, tu donnes Ve, R1 et R2, et il rend Vs. Dans le deuxième, tu donnes la tension de sortie voulue et R2, et il résout R1 = R2 × (Ve − Vs) / Vs. Dans le troisième, tu donnes la sortie voulue et R1, et il résout R2 = R1 × Vs / (Ve − Vs). Les deux derniers correspondent à la façon dont on conçoit réellement un diviseur, puisqu'on part de la tension nécessaire et d'une résistance déjà choisie. Demande-lui 12 V ramenés à 3,3 V avec R1 fixé à 10 kΩ et il rend R2 = 3,793 kΩ, valeur que tu arrondis ensuite à un composant réel.

Il affiche aussi le courant et la puissance, et c'est là que commence la lecture honnête d'un diviseur. La paire par défaut de 10 kΩ sous 12 V consomme 0,6 mA et brûle 7,2 mW, à parts égales puisque les deux résistances sont égales. Change le rapport et le partage suit les résistances : dans le cas 12 V vers 3,3 V ci-dessus, 10 kΩ sur 3,793 kΩ, le courant vaut 0,87 mA et les 7,57 mW de R1 valent près de trois fois les 2,87 mW de R2. Cette dissymétrie mérite qu'on la remarque, car R1 est la résistance qui encaisse la différence, et c'est toujours elle qui chauffe le plus dans un diviseur qui abaisse fortement.

Et puis il y a la note, imprimée sous le schéma : la formule affichée est celle à vide et suppose qu'un courant négligeable est prélevé sur la sortie. Ce n'est pas une clause de style, c'est toute la frontière de ce que l'outil peut dire. Il n'existe nulle part dans l'interface de champ pour une charge : chaque nombre à l'écran — la tension de sortie, le courant, les deux puissances — décrit un diviseur dont le point milieu n'est raccordé à rien. Tout ce qui suit concerne ce qui se passe quand on y raccorde quelque chose, et rien de tout cela n'est dans l'outil.

Une loi exacte : le diviseur est une source à résistance interne

Le théorème de Thévenin dit que tout réseau de sources et de résistances, vu de deux bornes, se comporte exactement comme une source de tension en série avec une résistance. Pour un diviseur, la source est la sortie à vide — le nombre que l'outil t'a donné — et la résistance vaut R1 en parallèle avec R2, obtenue en court-circuitant mentalement l'alimentation et en demandant quelle résistance voit la borne de sortie en regardant vers l'intérieur. Pour deux résistances de 10 kΩ, cela fait 5 kΩ. Pour 100 kΩ sur 22 kΩ, 18,03 kΩ.

Une fois cela posé, la sortie chargée forme un second diviseur, cette fois entre la résistance interne et ta charge, et l'ensemble se ramène à une seule expression : Vs chargée égale Vs à vide divisée par (1 + Rth / RL), où Rth vaut R1 ∥ R2. C'est exact, ce n'est pas une approximation. Vérifie sur le cas par défaut : 6 V divisés par (1 + 5000/100000) font 6 / 1,05 = 5,714 V, ce que donne le circuit complet. Vérifie sur un contrôle de batterie 24 V bâti avec 100 kΩ et 22 kΩ attaquant une entrée de 1 MΩ : 4,328 V à vide, Rth de 18,03 kΩ, donc 4,328 / (1 + 0,01803) = 4,251 V, une erreur de 1,77 %.

C'est aussi la correction à apporter à la règle du pouce. Tout le monde répète que la charge doit valoir dix fois la résistance basse, mais la grandeur qui gouverne l'erreur est R1 ∥ R2, pas R2. Les deux coïncident seulement quand R1 est très supérieure à R2. Quand R1 égale R2, la résistance interne vaut la moitié de R2, et la règle populaire s'avère valoir une erreur d'exactement un sur (2k + 1) pour une charge de k fois R2 — dix fois R2 donne donc 4,76 %, vingt fois donne 2,44 %, et il faut environ cinquante fois R2 pour passer sous le pour cent. Si tu veux une cible de précision plutôt qu'une superstition, dimensionne la charge par rapport à R1 ∥ R2 et lis l'erreur directement : elle vaut à très peu près Rth / RL.

Où un diviseur a sa place, et où il n'en a pas

Il a sa place partout où ce qui lit la tension ne prélève pratiquement rien. L'entrée d'une porte logique CMOS, l'entrée d'un comparateur, la broche de référence d'un régulateur, la grille d'un MOSFET, l'entrée d'un amplificateur opérationnel : autant d'impédances en mégohms ou davantage, face auxquelles l'erreur de charge d'un diviseur de quelques kilohms de résistance interne se réduit à un arrondi. Ramener une tension de batterie dans la plage d'entrée d'un convertisseur analogique-numérique est l'usage exemplaire, et l'arithmétique ci-dessus est exactement la vérification à faire avant de croire la mesure.

Il n'a pas sa place là où la charge consomme du courant réel, et la défaillance n'est pas progressive : c'est un effondrement. Un diviseur n'est pas une alimentation. Il ne régule pas, la sortie bougeant avec la charge sans qu'aucune contre-réaction le remarque ; il ne tient pas une tension quand la charge varie, ce que fait toute charge réelle ; et son impédance de sortie est fixée par les résistances, si bien que le seul moyen de le rendre ferme est de le rendre dispendieux. Le nombre qui rend cela concret : accroche une charge de 1 kΩ au cas par défaut à 12 V et 10 kΩ, et la sortie passe de 6 V à 1 V. Si ton montage a besoin d'un rail plus bas et peut consommer, la réponse est un régulateur — linéaire si le courant est faible et l'écart modeste, à découpage si l'un ou l'autre est grand — et jamais deux résistances.

Un cas se situe entre les deux et piège du monde : l'entrée du convertisseur analogique-numérique d'un microcontrôleur. Elle est à haute impédance en régime établi, si bien que l'arithmétique ci-dessus conclut qu'un diviseur convient ; mais beaucoup de convertisseurs échantillonnent sur un petit condensateur interne et prélèvent brièvement une pointe de courant pour le charger. Si la résistance interne du diviseur est trop élevée, ce condensateur n'achève pas sa charge dans la fenêtre d'échantillonnage et la lecture ressort trop basse — sans avertissement, et sous une forme qui ressemble à une erreur d'étalonnage plutôt qu'à un problème d'impédance de source. Les fiches techniques donnent une impédance de source maximale recommandée précisément pour cela. Le remède standard coûte un composant : place un condensateur entre la sortie du diviseur et la masse, pour que la pointe d'échantillonnage soit fournie par le condensateur et non à travers les résistances, ce qui abaisse l'impédance de source à l'instant qui compte sans augmenter d'un iota le courant permanent.

Le compromis du courant permanent, sur cinq décades

Comme l'erreur de charge dépend de R1 ∥ R2, tu peux la réduire à rien en prenant des résistances faibles. Le prix, c'est que le diviseur reste branché en permanence sur l'alimentation et consomme, que le circuit fasse quelque chose ou non. Ce courant vaut Ve divisé par (R1 + R2), et il ne s'arrête jamais. Le tableau ci-dessous fige le rapport à 12 V ramenés à 6 V et fait courir le couple de résistances de 100 Ω à 1 MΩ, avec une charge de 100 kΩ accrochée à la sortie tout du long. À 100 Ω, le résultat est juste à un demi-dixième de pour cent près, et le diviseur brûle 720 mW à jamais. À 1 MΩ, il brûle 72 µW et affiche 1 V au lieu de 6.

Dans un appareil sur secteur, personne ne remarque quelques milliwatts : on peut se permettre d'être ferme. Sur batterie, le calcul s'inverse complètement : un diviseur consommant 0,6 mA en continu vide une petite pile en quelques semaines, et il le fait pendant que l'appareil dort — précisément le moment où une conception sur batterie n'est censée rien dépenser. D'où les grandes résistances des contrôles de batterie — l'exemple 100 kΩ sur 22 kΩ consomme 197 µA et gaspille 4,7 mW — et d'où, chez les plus soigneux, l'ajout d'un transistor qui ne relie le diviseur à la masse que pendant la mesure, ramenant le coût permanent au courant de fuite du transistor. Si ton diviseur est sur batterie et que son courant ne figure pas dans ton bilan énergétique, c'est la première chose à auditer.

Deux points supplémentaires avant de faire confiance à la sortie

La sortie suit l'entrée, exactement et pour toujours. Un diviseur ne contient aucune référence : c'est un rapport, donc une alimentation qui s'affaisse de cinq pour cent produit une sortie qui s'affaisse de cinq pour cent. C'est très bien quand on mesure l'alimentation elle-même — ce que fait un contrôle de batterie — et c'est un vrai problème quand on voulait une référence stable pour autre chose. Si ce qui lit ton diviseur est un convertisseur analogique-numérique dont la référence est cette même alimentation, les deux erreurs se compensent et tu obtiens une mesure ratiométrique meilleure que ce que mérite chacun des éléments. Si le convertisseur possède sa propre référence précise, elles ne se compensent pas, et la sortie du diviseur hérite de chaque tressautement du rail.

Et les deux états par défaut de l'outil ne concordent pas, ce qui mérite d'être su si tu compares la page à un exemple calculé. Le diviseur interactif de la page s'ouvre sur 12 V et deux résistances de 10 kΩ, et affiche 6 V. L'entrée de registre derrière l'outil — la définition qui alimente les exemples générés ailleurs sur le site — porte d'autres valeurs par défaut : 12 V avec 1 kΩ et 2 kΩ, ce qui donne 8 V. Les deux sont arithmétiquement justes pour leurs propres entrées ; ce sont simplement deux points de départ différents pour le même outil, et si tu vois 8 V cité quelque part et 6 V à l'écran, c'est la raison, non un défaut de l'un ou l'autre calcul.

Questions fréquentes

Peut-on alimenter un appareil 3,3 V depuis du 5 V avec un diviseur de tension ?

Non. Un appareil consomme du courant, et dès qu'il le fait la sortie du diviseur s'effondre. Pire, un appareil consomme différemment selon l'instant — davantage quand une radio émet, moins quand il dort — si bien que le rail d'alimentation bougerait avec la charge de travail, la seule chose qu'une alimentation ne doit pas faire. Même en dimensionnant le diviseur assez fermement pour rendre l'affaissement faible, tu dissiperais plusieurs fois la consommation de l'appareil dans deux résistances — voilà pourquoi le compte ne tombe jamais juste. La réponse est un régulateur : linéaire si le courant est modeste et si la chute de 1,7 V est acceptable en chaleur, à découpage si le courant est fort ou si le rendement compte. Là où un diviseur est pertinent entre 5 V et 3,3 V, c'est en signalisation — ramener une sortie logique 5 V vers une entrée 3,3 V qui consomme des microampères — et même là, un adaptateur de niveau vaut mieux si le signal est rapide.

La règle du facteur dix suffit-elle ?

C'est un plancher, pas un objectif, et elle est énoncée sur la mauvaise grandeur. L'erreur est gouvernée par R1 en parallèle avec R2, et non par R2 seule ; les deux ne coïncident que si R1 est bien plus grande. Dans le cas courant de deux résistances égales, une charge de dix fois R2 donne une erreur d'exactement un sur vingt et un, soit 4,76 % — de quoi compter si tu lis une tension de batterie et l'affiches à l'utilisateur, et sans importance si tu attaques un comparateur qui ne s'intéresse qu'au côté du seuil. La démarche honnête est de choisir la précision voulue, de calculer R1 ∥ R2, et d'exiger que la charge vaille ce résultat divisé par ta cible d'erreur : pour un pour cent, il faut une charge de cent fois R1 ∥ R2, ce qui, pour deux résistances égales, revient à environ cinquante fois R2. Puis vérifie avec l'expression exacte plutôt qu'avec la règle.

Pourquoi l'outil refuse-t-il de résoudre quand je demande une sortie supérieure à l'entrée ?

Parce qu'il n'y a pas de réponse à donner. Un diviseur résistif ne peut prélever qu'une fraction de l'entrée : la sortie est strictement comprise entre zéro et Ve, et demander une valeur hors de cette plage fait produire à l'algèbre une résistance négative. Dans le mode qui résout R2, la formule est R1 × Vs / (Ve − Vs), qui part à l'infini quand Vs approche Ve et devient négative au-delà ; dans le mode qui résout R1, c'est R2 × (Ve − Vs) / Vs, qui explose quand Vs approche zéro. L'outil garde les deux cas et affiche un message plutôt qu'une valeur de composant absurde, ce qui est le bon comportement — une résistance négative n'est pas une pièce commandable. Si tu as réellement besoin d'une sortie supérieure à l'entrée, il te faut un convertisseur élévateur ou une pompe de charge, pas un diviseur.

Comment vérifier l'erreur de charge alors que l'outil n'a pas de champ pour la charge ?

En deux étapes, avec un second outil. Lis d'abord la sortie à vide dans le calculateur de diviseur. Calcule ensuite R1 en parallèle avec R2 — le calculateur de résistances en parallèle le fait directement, et son résultat est la résistance interne du diviseur. Divise-la par ta résistance de charge, ajoute un, et divise la sortie à vide par le résultat. Sur le cas par défaut : 6 V à vide, R1 ∥ R2 = 5 kΩ, charge de 100 kΩ, donc 6 divisé par 1,05 donne 5,714 V. Si tu ne veux que l'erreur et non la tension, elle vaut presque exactement la résistance interne divisée par la charge, en pourcentage — 5 sur 100 fait cinq pour cent, et la réponse exacte était 4,76 %. Cette approximation est bonne à une fraction de pour cent dès que la charge dépasse une dizaine de fois la résistance interne, ce qui est de toute façon la zone où il faut concevoir.

Un potentiomètre se comporte-t-il comme un diviseur ?

C'en est un, avec le point de partage mobile. La piste entre les deux bornes d'extrémité constitue la résistance totale, et le curseur la divise en R1 au-dessus et R2 au-dessous : tout cet article s'applique tel quel — y compris le comportement en charge, avec une subtilité supplémentaire qui piège. La résistance interne R1 ∥ R2 n'est pas constante quand on tourne le bouton : elle est nulle aux deux extrémités, où l'une des deux vaut zéro, et maximale au milieu, où elle vaut le quart de la résistance de piste. Un potentiomètre chargé est donc précis aux extrêmes et le plus mauvais au centre, ce qui déforme la courbe de réponse d'une commande qui paraissait linéaire à vide. C'est aussi pourquoi un réglage de volume attaquant une charge à basse impédance se comporte mal au milieu de sa course, et pourquoi le remède consiste en général à tamponner le curseur plutôt qu'à changer le potentiomètre.