Résistances en série et en parallèle : les formules, et les trois choses qu'elles ne disent pas

Deux formules, et ce que chaque outil renvoie

En série, le même courant traverse chaque résistance l'une après l'autre, et chacune y perd sa part de tension : les tensions s'additionnent, et les résistances avec elles — Rs = R1 + R2 + … Le calculateur série fait exactement cela, et rien d'autre. Donne-lui sa liste par défaut, 100, 220 et 330, et il rend 650 Ω.

En parallèle, la même tension règne aux bornes de chaque résistance et chacune porte son propre courant : ce sont les courants qui s'additionnent. Or le courant vaut U/R, donc ce qui s'additionne est 1/R — les conductances — et la résistance totale est l'inverse de cette somme : 1/Rp = 1/R1 + 1/R2 + … Le calculateur parallèle rend 56,90 Ω pour les trois mêmes valeurs, et il donne un peu plus qu'un nombre : saisis une tension et il affiche aussi le courant total, la puissance totale, et le courant dans chaque résistance. Ce qu'il n'affiche pas, c'est la puissance dans chaque résistance — le chiffre qui décide si le montage survit, et nous y reviendrons.

Une conséquence mérite d'être posée en règle, car c'est la vérification la plus rapide qui soit : une combinaison parallèle est toujours inférieure à son plus petit membre. C'est nécessaire. Ajouter une résistance en parallèle ajoute un terme positif de plus à la somme des conductances, ce qui ne peut qu'agrandir la somme, donc rapetisser son inverse. Mets 1 MΩ en parallèle sur 1 Ω et le total vaut 0,999999 Ω — un millionième de moins que le 1 Ω, mais moins. Si un résultat parallèle ressort au-dessus de la plus petite valeur de ta liste, c'est une erreur de calcul ou une faute de frappe, et la seconde est plus probable.

Un membre détient généralement la réponse

Bouge une résistance d'une paire parallèle et le total bouge — mais pas d'autant pour les deux. La sensibilité du total à un membre donné vaut Rp divisé par la valeur de ce membre. Dans 100 ∥ 220, les sensibilités valent 68,75/100 = 0,6875 et 68,75/220 = 0,3125, et leur somme fait exactement un, ce qui n'est pas non plus un hasard : multiplie tout par le même facteur et le total est multiplié par ce facteur, donc les parts de la variation doivent totaliser un. En pratique, une erreur de 1 % sur la 100 Ω déplace la réponse de 0,69 %, tandis qu'une erreur de 1 % sur la 220 Ω ne la déplace que de 0,31 %. Écarte les valeurs et l'effet devient brutal : dans 100 ∥ 1000, la petite détient 90,9 % de la réponse, et tu pourrais te tromper lourdement sur le 1 kΩ sans presque rien voir.

L'image miroir vaut en série, et les nombres sont littéralement la même paire, permutée. Dans 100 + 220, la sensibilité du total à chaque membre vaut ce membre divisé par le total : 100/320 = 0,3125 et 220/320 = 0,6875. Là, c'est la grande résistance qui détient la réponse, ce qui se comprend : en série, la plus grosse fixe l'essentiel du total ; en parallèle, c'est la plus petite. La façon nette de le retenir : dans chaque montage, le membre qui compte est celui qui fait le plus de travail.

Tolérance : deux composants à 5 % en parallèle restent à 5 %

On croit largement que combiner des résistances moyenne leur tolérance. Ce n'est pas le cas, pas dans le pire cas. Fais le calcul : 100 ∥ 220 vaut nominalement 68,75 Ω. Prends les deux composants 5 % en dessous et tu obtiens 95 ∥ 209 = 65,3125 Ω, soit exactement 5 % en dessous. Prends-les 5 % au-dessus et tu obtiens 105 ∥ 231 = 72,1875 Ω, exactement 5 % au-dessus. Ce n'est pas une approximation mais une identité : la combinaison parallèle est homogène de degré un, c'est-à-dire que multiplier toutes les résistances par un même facteur multiplie le résultat par ce facteur. Si les deux composants sont au même bout de leur plage de tolérance, le réseau y est aussi. La série se comporte pareil, pour la même raison.

Ce qui se resserre, c'est la dispersion statistique, et seulement si les deux erreurs sont réellement indépendantes. Combine les sensibilités de la section précédente en quadrature — 5 % fois 0,6875 et 5 % fois 0,3125, racine de la somme des carrés — et tu obtiens 3,78 % pour 100 ∥ 220. Pour deux résistances égales, le même calcul donne 3,54 %, le facteur bien connu de un sur racine de deux. Remarque que ce chiffre est identique en série et en parallèle, les deux couples de sensibilités étant les mêmes nombres permutés. C'est une réduction réelle, mais c'est une espérance et non une garantie — et c'est sur la garantie qu'une spécification se construit.

L'hypothèse d'indépendance est précisément là où ça casse sur un établi. Deux résistances arrachées à la même bande viennent du même lot, de la même machine, du même jour : leurs erreurs sont corrélées et non indépendantes — ce qui te ramène vers le pire cas, pas vers le cas statistique. Elles partagent aussi une température : chauffe la carte et les deux dérivent dans le même sens, et une dérive de mode commun est la pire pour ce raisonnement. Si tu as réellement besoin d'une valeur plus serrée que tes composants, la solution est un composant plus serré, pas deux composants lâches. Le seul cas où l'association aide vraiment est l'ajustement : une grosse résistance en parallèle sur une bien plus petite fait descendre celle-ci d'une quantité maîtrisée, et comme la sensibilité à la grosse est minuscule, sa propre erreur n'entre presque pas dans le résultat.

La puissance : là où l'on se brûle vraiment

Les deux résistances d'une paire parallèle voient la même tension : chacune dissipe U²/R, et la puissance varie donc en un sur la résistance. La plus petite prend par conséquent la plus grosse part, et cette part est la fraction déjà rencontrée : Rp divisé par cette résistance. Applique 12 V sur 100 ∥ 220 et le total vaut 2,09 W, dont 1,44 W dans la 100 Ω — 68,8 % — et 0,65 W dans la 220 Ω. Écarte les valeurs à 100 ∥ 1000 et la 100 Ω prend 90,9 % d'un total plus faible. Ainsi le membre dont tu te souciais le moins, celui qui ne déplace presque pas la résistance, est aussi celui qui ne chauffe presque pas, et la petite fait tout le travail.

Voilà pourquoi un composant d'un quart de watt est plus souvent le mauvais choix qu'on ne le croit. Une résistance de 100 Ω donnée pour 0,25 W supporte au plus la racine de 0,25 fois 100, soit 5 V à ses bornes — et dès que ta paire parallèle se retrouve sur 12 V, on lui demande près de six fois sa valeur nominale. L'outil parallèle t'affichera le courant dans cette résistance, 120 mA, et la puissance totale du réseau, mais il ne multipliera pas les deux résistance par résistance : rien à l'écran ne prononce le mot qui compte. Fais-le à la main : pour chaque membre, élève la tension au carré et divise par la résistance de ce membre, puis compare à la valeur nominale du composant avec de la marge — la moitié du nominal est un plafond de travail raisonnable pour tout ce qui doit durer.

En série, tout s'inverse — c'est la moitié utile de la symétrie. Le même courant traverse les deux : chacune dissipe RI², et la puissance varie donc comme la résistance ; la plus grosse chauffe le plus. Avec 100 + 220 parcourues par 50 mA, la 100 Ω dissipe 0,25 W et la 220 Ω 0,55 W — la même part de 68,8 %, mais sur l'autre résistance. La règle à retenir : dans chaque montage, le membre qui prend le plus de puissance est celui pour lequel le calculateur a le moins de chances de t'avertir, parce que c'est celui auquel tu prêtes le moins d'attention.

Ce que les deux calculateurs acceptent et refusent

L'outil série prend un seul champ texte de valeurs séparées par virgules, points-virgules ou espaces, et il est strict sur ce à quoi ressemble un nombre. Tape 100, 220, 330 : ça marche. Tape 1k, 2k2 : il rend zéro, car aucun des deux jetons ne s'analyse comme un nombre et tous deux sont silencieusement écartés. Tape 10 kΩ : il rend 10 Ω, car l'espace scinde la saisie en 10 et kΩ, le second est jeté, et le premier survit en un dix tout nu — un facteur mille silencieux, sans le moindre avertissement. Le même piège attrape l'espace utilisé comme séparateur de milliers : 10 000 devient 10 et 0, et le total vaut 10.

L'outil parallèle est plus tolérant d'une façon sans doute pire, car il utilise une analyse permissive par case : tape 1k dans un champ et il lit 1, tape 4k7 et il lit 4. Tu obtiens un nombre plutôt qu'un vide, et ce nombre est faux de trois ordres de grandeur sans que rien ne le laisse deviner. Dans les deux outils, le remède est le même et il est ennuyeux : saisis des ohms en clair, en chiffres seulement, avec un point décimal si nécessaire. Écris 4700, pas 4k7.

Un comportement mérite d'être signalé comme physiquement faux, et non comme un simple caprice. Le calcul parallèle écarte toute valeur qui n'est pas strictement positive : saisir 0 à côté de 100 et 220 donne 68,75 Ω — le zéro est ignoré. Électriquement, un chemin de zéro ohm en parallèle est un court-circuit franc, et le total correct vaut zéro ohm — exactement la réponse qu'on voudrait voir si l'on venait de saisir un pontage dans sa netlist. Le garde-fou est là pour éviter une division par zéro, et il coûte que la seule saisie qui devrait hurler revient muette. L'outil série a la lacune inverse : il ne filtre rien, si bien qu'une valeur négative est additionnée telle quelle et que 100 et −50 donnent 150 Ω côté parallèle mais 50 Ω côté série.

Questions fréquentes

Pourquoi le total parallèle est-il toujours inférieur à la plus petite résistance ?

Parce que tu ajoutes des chemins, pas des obstacles. Le courant que la plus petite résistance laissait déjà passer, elle le laisse toujours passer quand tu en câbles une autre à côté — et la nouvelle ajoute son propre courant. Plus de courant total sous la même tension signifie par définition moins de résistance. L'algèbre dit la même chose : les inverses s'additionnent, donc la somme des conductances est strictement supérieure à la plus grande conductance seule, et l'inverse d'un nombre plus grand est un nombre plus petit. Corollaire utile pour estimer de tête : une très grande résistance en parallèle ne change presque rien — 1 MΩ sur 1 Ω donne 0,999999 Ω, donc si un membre vaut cent fois l'autre, tu peux généralement ignorer le gros à un pour cent près.

Peut-on mettre deux résistances en parallèle pour obtenir une valeur qu'on n'a pas ?

Oui, et c'est une technique légitime, à trois coûts près. Le premier est la tolérance : comme cet article l'a montré, l'association ne resserre pas le pire cas — si tu avais besoin d'une valeur précise, il te faut toujours un composant précis. Le deuxième est la puissance, car les deux membres ne se la partagent pas également et la plus petite prend la plus grosse part : dimensionne-la pour ce qu'elle reçoit réellement, pas pour la moitié du total. Le troisième est que tu as doublé le nombre de soudures et de composants susceptibles de lâcher, sur une carte dont tout l'objet était d'éviter de commander une pièce. Là où la technique gagne vraiment sa place, c'est pour ajuster légèrement une valeur normalisée vers le bas : une grosse résistance en parallèle sur la valeur préférée la plus proche la déplace d'une quantité petite et maîtrisée, et comme la sensibilité à la grosse est faible, sa propre tolérance ne compte presque pas.

Deux résistances de 0,25 W en parallèle font-elles une résistance de 0,5 W ?

Seulement si elles sont égales. Deux résistances identiques en parallèle se partagent effectivement la puissance à parts égales : une paire de composants de 0,25 W de même valeur encaisse 0,5 W à elles deux — c'est une astuce réelle et courante, qui divise aussi la résistance par deux, ce qui est souvent la vraie raison de le faire. Deux valeurs différentes ne partagent pas du tout à parts égales. Dans 100 ∥ 220, le plus petit composant prend 68,8 % du total : une paire d'un quart de watt lâche donc quand le réseau passe environ 0,36 W, et non 0,5 W, car la 100 Ω atteint sa limite la première. Vérifie toujours le membre le plus chargé plutôt que le total : élève au carré la tension aux bornes de la paire, divise par la plus petite résistance, et voilà ce que le plus petit composant doit encaisser.

Pourquoi l'outil parallèle affiche-t-il les courants mais pas les puissances ?

Il affiche la résistance totale, le courant total et la puissance totale, plus le détail du courant dans chaque résistance — mais la puissance par résistance n'est pas à l'écran, et c'est justement le nombre qui décide si un composant survit. Tu peux la retrouver en une étape à partir de ce qui est affiché : multiplie le courant de chaque résistance par la tension saisie. Dans le triplet par défaut sous 12 V, les courants valent 120 mA, 55 mA et 36 mA : les puissances valent donc 1,44 W, 0,65 W et 0,44 W. Remarque que la première fait déjà six fois un quart de watt. Si tu ne retiens qu'une habitude de cet article, retiens cette multiplication — elle prend une seconde, n'utilise que des nombres que l'outil t'a déjà donnés, et c'est la vérification qui empêche une résistance de brunir.

Comment saisir des valeurs comme 4k7 ou 10 kΩ ?

Ne les saisis pas ainsi. Tape le nombre d'ohms en clair : 4700 pour 4k7, 10000 pour 10 kΩ, 0,22 pour 220 mΩ. Aucun des deux outils ne comprend la notation d'ingénieur, et aucun ne le dit. Le calculateur série écarte tout jeton qu'il ne sait pas lire comme un nombre : 1k, 2k2 revient donc à un total nul, et 10 kΩ revient à dix ohms, l'espace ayant scindé la saisie et les lettres ayant été jetées. L'analyse par case du calculateur parallèle est plus permissive et donc plus dangereuse : elle lit les chiffres de tête et s'arrête, si bien que 1k devient 1 et 4k7 devient 4. Dans les deux cas l'échec est silencieux et l'erreur vaut un facteur mille — exactement le genre de faute qui survit à une revue de conception, parce que le nombre à l'écran ressemble à un nombre.