Les remises cumulées ne s'additionnent pas

Les remises se multiplient, elles ne s'additionnent pas

Raisonne sur ce qui survit plutôt que sur ce qui est retiré. Une remise de 20 % laisse 80 % du prix, soit une multiplication par 0,80. Dix pour cent de plus laissent 90 % de ce qui se présente, soit une multiplication par 0,90. Appliquer les deux laisse 0,80 × 0,90 = 0,72 de l'original : la remise totale vaut donc 1 − 0,72 = 0,28, vingt-huit pour cent. La seconde baisse est plus petite en valeur absolue que la première parce qu'elle opère sur un nombre plus petit — les deux points manquants valent exactement 10 % des 20 % déjà retirés. C'est tout le mécanisme, et il se généralise aussitôt : pour toute chaîne de remises, la fraction survivante est le produit des fractions survivantes individuelles, et la remise totale vaut 1 − Π(1 − dᵢ).

Le tableau ci-dessus déroule les cumuls courants. Remarque que l'erreur de la somme naïve croît avec la taille des baisses : 20 % et 10 % ne surestiment que de deux points, mais 40 % et 30 % surestiment de douze, et un magasin annonçant 50 % puis 30 % puis 20 % est loin de donner la marchandise — le vrai chiffre est 72 %, pas 100 %. En réalité, aucune chaîne de remises ordinaires ne peut atteindre 100 %, car chaque facteur est strictement positif, donc leur produit aussi. Cent baisses successives de 10 % laissent encore 0,9¹⁰⁰, petit mais non nul. C'est un contrôle de bon sens utile à la lecture d'une offre : si les remises annoncées cumulent plus de 100 %, l'arithmétique n'est pas faite comme tu la ferais.

L'ordre est indifférent pour les pourcentages et décisif pour les bons

Deux remises en pourcentage commutent, et cela se prouve en une ligne : 0,80 × 0,90 et 0,90 × 0,80 valent tous deux 0,72. Sur un article à 120 €, tu paies 86,40 € quel que soit l'ordre appliqué par la caisse : toute dispute au comptoir sur la promotion à passer en premier est du souffle perdu. Ce n'est pas une coïncidence propre à ces nombres ; la multiplication est commutative pour toute paire, donc aucun ordonnancement de pourcentages purs ne peut changer le résultat. Si un magasin prétend le contraire, l'une des offres n'est pas un pourcentage.

Ajoute un bon à montant fixe et la symétrie s'effondre, car soustraire une constante et multiplier par un facteur ne commutent pas. Prends un article à 120 € avec une promotion de 25 % et un bon de 20 €. Le pourcentage d'abord : 120 × 0,75 = 90 €, moins le bon, 70 €. Le bon d'abord : 120 − 20 = 100 €, moins 25 %, 75 €. Cinq euros bien réels séparent les deux chemins, et l'écart n'a rien d'arbitraire — il vaut toujours le bon multiplié par le taux de remise, ici 20 × 0,25 = 5. Monte les nombres et l'enjeu grandit : sur un article à 200 € avec 40 % de remise et un bon de 30 €, le pourcentage d'abord donne 90 € et le bon d'abord 102 €, un écart de 30 × 0,40 = 12 €. Le pourcentage d'abord est toujours meilleur pour le client, le bon d'abord toujours meilleur pour le magasin, et c'est pourquoi l'ordre est inscrit dans les conditions générales plutôt que laissé au hasard.

Ce que la taxe fait à la réponse — et ce n'est pas pareil des deux côtés de l'Atlantique

En Europe, le prix affiché comprend déjà la TVA, si bien qu'une remise en pourcentage porte exactement sur ce que tu paies. Prends un article à 120 € dans un pays à 20 % de TVA : l'étiquette contient 100 € hors taxe et 20 € de TVA. Avec 20 % de remise, tu paies 96 €, dont 80 € hors taxe et 16 € de TVA. Tu économises exactement 24 €, soit exactement 20 % de ce que tu aurais payé — aucune surprise à la caisse. La raison est que la remise et la TVA sont deux multiplications qui commutent : appliquer 0,80 au prix TTC ou au prix hors taxe avant de rajouter la TVA donne le même 96 €. Le système à prix TTC affiché rend donc la promesse littéralement vraie.

Le cas intéressant, en régime de prix TTC, est le bon à montant fixe, car il emporte sa part de TVA avec lui. Un bon de 20 € sur cet article à 120 € laisse 100 € à payer, dont 83,33 € hors taxe et 16,67 € de TVA : le bon lui-même se décompose en 16,67 € hors taxe et 3,33 € de TVA. Le commerçant n'offre donc pas 20 € de marge, il offre 16,67 € de chiffre d'affaires et récupère la TVA correspondante. Cela explique pourquoi les enseignes préfèrent souvent les bons aux remises en pourcentage sur les paniers élevés, et pourquoi les conditions précisent presque toujours dans quel ordre les avantages s'appliquent — un détail qui, comme on l'a vu, vaut le bon multiplié par le taux de remise.

À rebours : la remise unique équivalente

La question que se pose vraiment l'acheteur n'est pas ce que fait le cumul, mais à quelle remise unique il équivaut, et cela découle directement de la même formule : multiplie les fractions survivantes et soustrais de un. Un cumul de 20 % et 10 % équivaut à 28 %. Un cumul de 25 % et 15 % équivaut à 36,25 %. Un cumul de 50 %, 30 % et 20 % équivaut à 72 %. Lire les offres ainsi les rend comparables d'un coup d'œil, seule façon de savoir si le 35 % ferme d'un concurrent bat le magasin d'en face qui annonce 25 % plus 15 % supplémentaires. Il le bat de peu : 35 % contre 36,25 %, c'est une défaite d'un peu plus d'un point.

La même formule répond à la question de conception, vue de l'autre côté. Si tu veux une promotion en deux temps aboutissant exactement à 50 % de remise, deux baisses de 25 % ne suffisent pas — cela donne 43,75 %. Deux remises égales d qui se combinent à 50 % doivent vérifier (1 − d)² = 0,5, donc d = 1 − √0,5 = 29,29 %. Et si tu construis un cumul d'affichage, rappelle-toi que la première baisse fait l'essentiel du travail : après une remise de 50 %, un 20 % supplémentaire ne retire que dix points de plus du prix d'origine. Le gain marketing d'une longue chaîne de petites offres additionnelles est bien plus faible qu'il n'y paraît sur l'affiche, et c'est précisément pour cela que les longues chaînes se retrouvent sur les affiches.

La majoration qui annule une remise est plus grande que la remise

Une remise de 20 % ramène un prix à 80 % de lui-même. Pour revenir à l'origine, il faut diviser par 0,80, soit multiplier par 1,25 — une majoration de 25 %, pas de 20 %. La règle générale est qu'annuler une remise de d exige une majoration de d ÷ (1 − d), et les deux ne convergent que pour de très petites valeurs. Après une remise de 25 %, il faut 33,33 %. Après 30 %, il faut 42,86 %. Après 50 %, il faut doubler le prix. Cette asymétrie n'est pas une curiosité : c'est la raison pour laquelle un détaillant qui majore un coût de 100 de 20 % pour arriver à 120, puis annonce 20 % de remise, vend à 96 et perd quatre pour cent sur son coût. Majorer d'un pourcentage puis remiser du même pourcentage ne revient jamais à l'équilibre.

Cela compte quand une remise est négociée dans une unité et tarifée dans une autre. Si un acheteur demande 15 % de remise et que le vendeur a 15 % de marge brute, l'accorder ne divise pas le bénéfice par deux — cela l'anéantit et au-delà, car la marge était calculée sur le prix de vente tandis que la remise s'applique à ce même prix de vente. La façon rigoureuse de mener ces discussions est de tout convertir en multiplicateurs avant d'accepter quoi que ce soit : coût fois majoration donne le prix, prix fois (1 − remise) donne le montant encaissé, et les deux ne sont comparables que sous cette forme. Des pourcentages exprimés sur des bases différentes ne s'additionnent pas, et dans ce cas précis l'erreur d'arithmétique se paie directement sur le résultat.

Questions fréquentes

20 % de remise plus 10 % supplémentaires, est-ce la même chose que 30 % ?

Non. C'est 28 %. La première baisse laisse 80 % du prix et la seconde 90 % de ce reste : il survit 0,80 × 0,90 = 0,72, et la remise totale vaut 1 − 0,72 = 0,28. Les deux points manquants valent exactement 10 % des 20 % déjà retirés, car la seconde remise porte sur un nombre plus petit. La règle générale est que le total vaut 1 moins le produit des fractions survivantes, et la somme naïve le surestime toujours — d'autant plus que les baisses sont grandes. 30 % et 20 % donnent 44 % et non 50 % ; 40 % et 30 % donnent 58 % et non 70 % ; 50 %, puis 30 %, puis 20 % donnent 72 % et non les 100 % suggérés par l'addition. Aucune chaîne de remises ordinaires ne peut atteindre 100 %, ce qui constitue un contrôle utile de n'importe quelle publicité.

L'ordre des remises change-t-il le prix final ?

Non pour les pourcentages, et de façon décisive pour les bons à montant fixe. Deux remises en pourcentage commutent car la multiplication commute : 0,80 × 0,90 et 0,90 × 0,80 valent tous deux 0,72, donc un article à 120 € coûte 86,40 € quel que soit l'ordre appliqué en caisse. Glisse un bon dans la chaîne et les deux chemins divergent. Sur un article à 120 € avec 25 % de remise et un bon de 20 €, le pourcentage d'abord donne 120 × 0,75 = 90 €, moins 20 € soit 70 € ; le bon d'abord donne 120 − 20 = 100 €, moins 25 % soit 75 €. L'écart vaut toujours le bon multiplié par le taux de remise — ici 20 × 0,25 = 5 € — et grandit donc avec les deux. Sur un article à 200 € avec 40 % de remise et un bon de 30 €, l'écart vaut 30 × 0,40 = 12 €. Le pourcentage d'abord favorise le client, le bon d'abord favorise le magasin, et des conditions générales sérieuses précisent laquelle s'applique.

Comment la TVA affecte-t-elle une remise ?

En Europe, le prix affiché comprend déjà la TVA, si bien qu'une remise en pourcentage porte exactement sur ce que tu paies et qu'il n'y a pas de surprise en caisse. Un article à 120 € dans un pays à 20 % de TVA contient 100 € hors taxe et 20 € de taxe. Avec 20 % de remise tu paies 96 €, soit 80 € hors taxe et 16 € de TVA, et tu économises exactement 24 €. La raison est que la remise et la TVA sont deux multiplications qui commutent : appliquer 0,80 au prix TTC ou au prix hors taxe avant de rajouter la TVA donne le même résultat. Les bons à montant fixe se comportent différemment, car ils emportent leur part de taxe : un bon de 20 € sur cet article laisse 100 € à payer, soit 83,33 € hors taxe et 16,67 € de TVA, et le bon lui-même se décompose en 16,67 € hors taxe plus 3,33 € de TVA.

À quelle remise unique équivaut un cumul ?

Multiplie les fractions survivantes et soustrais le résultat de un : la remise unique équivalente vaut 1 − Π(1 − dᵢ). Un cumul de 20 % et 10 % équivaut à 28 % ; 25 % et 15 % équivaut à 36,25 % ; 30 % et 20 % équivaut à 44 % ; 50 %, 30 % et 20 % ensemble équivalent à 72 %. Convertir chaque offre en son équivalent unique est la seule façon fiable de les comparer, et cela tranche vite les débats : un 35 % ferme perd face à un 25 % suivi de 15 %, car ce dernier vaut 36,25 %. La formule fonctionne aussi à l'envers quand tu concèves une promotion. Deux baisses égales devant se combiner exactement à 50 % ne valent pas 25 % chacune — elles vérifient (1 − d)² = 0,5, donc d = 1 − √0,5 = 29,29 %. Note qu'aucune chaîne de remises ordinaires n'atteint jamais 100 %, car un produit de facteurs strictement positifs est strictement positif.

Quelle majoration annule une remise de 20 % ?

Vingt-cinq pour cent, pas vingt. Une remise de 20 % laisse 80 % du prix : rétablir l'original revient à diviser par 0,80, donc à multiplier par 1,25. La règle générale est qu'annuler une remise de d exige une majoration de d ÷ (1 − d) : après une baisse de 25 % il faut 33,33 %, après 30 % il faut 42,86 %, et après 50 % il faut doubler le prix. Cette asymétrie a une conséquence commerciale directe. Un détaillant qui majore un coût de 100 de 20 % pour atteindre 120, puis annonce 20 % de remise, vend à 96 et se retrouve quatre pour cent sous son coût — majorer et remiser du même pourcentage ne revient jamais à l'équilibre, car les deux pourcentages portent sur des bases différentes. Si tu négocies des remises face à une marge brute, convertis tout en multiplicateurs avant d'accepter : accorder 15 % de remise quand ta marge brute est de 15 % ne divise pas le bénéfice par deux, cela l'anéantit.