Les points de pourcentage ne sont pas des pourcents

Deux énoncés vrais sur un même mouvement

La confusion ne vient pas de ce qu'une description serait juste et l'autre fausse. Elle vient de ce que les deux sont correctes et mesurent des choses différentes. Un point de pourcentage est une différence sur l'échelle elle-même : 5 % moins 4 % font un point de pourcentage, comme cinq mètres moins quatre mètres font un mètre. Une variation en pourcent est un rapport : la hausse d'un, divisée par la valeur de départ de quatre, donne 0,25, donc le taux a monté de vingt-cinq pour cent. La première répond à « de combien a-t-il bougé sur l'échelle », la seconde à « de combien est-il plus grand qu'avant ». Un taux peut beaucoup bouger sur une mesure et à peine sur l'autre, et rien dans les mots pourcent et point de pourcentage n'indique au lecteur lequel est visé.

Le tableau ci-dessus rend la divergence visible sur sept paires. Remarque que la colonne des points et celle des pourcents bougent indépendamment : une hausse d'un point vaut cent pour cent en partant de 1 %, cinquante pour cent en partant de 2 % et vingt-cinq pour cent en partant de 4 %, tandis qu'une hausse de cinq points vaut vingt-cinq pour cent depuis 20 % et seulement dix pour cent depuis 50 %. La lecture relative est inversement proportionnelle à la base : quiconque rapporte une variation depuis une petite base peut produire un pourcentage impressionnant presque à volonté. L'astuce inverse marche aussi : rapporte une variation depuis une grande base en termes relatifs et elle paraîtra dérisoire. Aucun des deux n'est un mensonge. Ce sont des choix sur le nombre vrai que l'on imprime.

Là où la différence change la décision

Prends un taux d'intérêt. Un prêt de 300 000 € sur trente ans à 4 % coûte 1 432,25 € par mois ; à 5 %, il coûte 1 610,46 €. C'est un point de pourcentage sur le taux, 12,4 % de plus sur la mensualité, et 64 158,83 € d'intérêts totaux en plus — une hausse de 29,8 % de ce que tu remettes au prêteur sur la durée. Trois pourcentages légitimes, un seul mouvement sous-jacent, et chacun soutient une phrase différente. Si un courtier te dit que le taux n'a monté « que d'un point » et qu'un commentateur affirme que le coût de l'emprunt « a bondi de trente pour cent », ils décrivent le même événement et aucun ne te ment.

Le même clivage apparaît en fiscalité et en conversion. Porte un taux d'impôt sur le revenu de 20 % à 22 % : le taux a bougé de deux points, la facture fiscale a monté de 10 %, et le revenu net est passé de 80 % à 78 % du brut — une baisse de seulement 2,5 % en relatif. Sur un revenu de 50 000, cela fait 10 000 d'impôt qui deviennent 11 000, et 40 000 net qui deviennent 39 000. Trois titres, tous défendables, tous orientés différemment. Côté commercial, l'effet joue en ta faveur : porter un taux de conversion de 2,0 % à 2,5 %, c'est un demi-point de pourcentage, ce qui semble négligeable, mais c'est un gain relatif de 25 % — sur 100 000 sessions, 2 000 commandes deviennent 2 500, et à un panier moyen de 60, le chiffre d'affaires passe de 120 000 à 150 000. Un demi-point vaut 30 000. La règle vaut pour la lecture comme pour l'écriture : dis toujours quelle mesure tu emploies, et si une source ne le fait pas, calcule l'autre avant d'agir.

Monter puis descendre du même pourcentage ne ramène pas au départ

Multiplie, n'additionne pas. Une hausse de x est une multiplication par (1 + x) et une baisse de x une multiplication par (1 − x) : faire les deux, dans un ordre ou l'autre, multiplie par (1 + x)(1 − x). Développe, les termes croisés s'annulent : le produit vaut 1 − x². Il est toujours inférieur à 1 pour tout x non nul, donc tu finis toujours sous ton point de départ, et le manque vaut exactement le carré du mouvement. Monte de 10 % puis baisse de 10 % : il reste 0,99, soit une perte de 1 %. Monte de 20 % puis baisse de 20 % : il reste 0,96, une perte de 4 %. Monte de 50 % puis baisse de 50 % : il reste 0,75 — un quart de la valeur s'est évaporé dans deux mouvements qui semblent se compenser. L'ordre est indifférent, car la multiplication est commutative, autre façon de dire que la perte est structurelle et non une affaire d'enchaînement.

Le corollaire pratique est la règle de récupération, celle que l'on se trompe le plus souvent quand de l'argent est en jeu. Pour annuler une baisse de d, il faut une hausse de d ÷ (1 − d), toujours plus grande. Après une baisse de 20 %, il faut 25 % pour revenir. Après une baisse de 25 %, il faut 33,33 %. Après une baisse de 50 %, il faut 100 % — un doublement — pour retrouver le niveau initial. Voilà pourquoi les pertes maximales de portefeuille sont citées avec tant de soin, pourquoi une remise et la majoration qui l'annule ne sont jamais le même nombre, et pourquoi moyenner des variations en pourcentage sur plusieurs périodes n'a pas de sens si l'on ne multiplie pas les facteurs pour en prendre la racine. N'additionne des pourcentages que s'ils partagent une base ; sinon, multiplie.

Des pourcentages de bases différentes ne s'additionnent pas

Un pourcentage n'a aucun sens sans le nombre dont il est le pourcentage, et deux pourcentages calculés sur des bases différentes ne sont pas commensurables. Si un service réduit ses coûts de 10 % et un autre de 20 %, l'entreprise n'a pas réduit ses coûts de 30 %, ni de 15 %, ni d'aucun chiffre déductible de ces deux nombres seuls — il faut les budgets réels. En faire la moyenne sans pondération est la version la plus courante de l'erreur, et elle suppose tacitement que les deux bases sont égales. Le même piège se niche dans tout résumé d'enquête qui donne des pourcentages par sous-groupe puis cite un chiffre global : à moins que les sous-groupes soient de même taille, le pourcentage global n'est pas la moyenne des pourcentages de sous-groupes, et l'écart suffit parfois à inverser la conclusion.

Le piège de formulation associé est « de » contre « de plus que ». Cent cinquante pour cent de 80 valent 1,5 × 80 = 120. Cent cinquante pour cent de plus que 80 valent 80 + 1,5 × 80 = 200. Les deux diffèrent du montant d'origine, et l'écart croît avec le multiplicateur, ce qui rend la formulation digne d'une seconde lecture dans tout contrat ou devis. Cela vaut aussi du côté des petits nombres : « deux fois plus rapide » et « cent pour cent plus rapide » disent la même chose, tandis que « deux cents pour cent plus rapide » signifie trois fois plus rapide, pas deux. Dans le doute, reformulez l'affirmation en multiplicateur — cette forme ne comporte aucune ambiguïté.

Les points de base : la solution que la finance a réellement adoptée

Les marchés déplacent les taux par petits incréments et ne peuvent se permettre une phrase à double lecture : ils ont donc inventé une unité qui n'en a qu'une. Un point de base vaut un centième de point de pourcentage : 100 points de base font un point de pourcentage, 25 points de base un quart de point. Une banque centrale qui relève ses taux de 25 points de base fait passer 4,00 % à 4,25 %, sans ambiguïté — et c'est une hausse relative de 6,25 %, précisément le nombre qui aurait fait débat si quelqu'un avait écrit « un quart de pour cent ». L'unité est additive sur l'échelle par construction : les points de base s'additionnent et se soustraient sans réfléchir, ce qui est exactement ce qu'il faut à une salle de marché.

L'ordre de grandeur de ce qu'achète un point de base mérite d'être intégré. Vingt-cinq points de base sur un million de principal, c'est 2 500 par an : 4,00 % rapporte 40 000 et 4,25 % rapporte 42 500. Petit nombre sur le taux, vrai nombre sur le flux de trésorerie, et ce décalage est toute la raison d'être de l'unité. Tu peux emprunter cette discipline hors de la finance sans rien payer. Rapporte les taux de conversion, les taux d'erreur, les parts de marché et la couverture vaccinale en points quand tu parles de la différence sur l'échelle, en pourcent quand tu parles de la variation relative, et dis lequel dans la même phrase. Cela coûte trois mots de plus et supprime toute une classe de disputes.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un point de pourcentage et un pourcent ?

Un point de pourcentage est la différence arithmétique entre deux pourcentages ; une variation en pourcent est la différence relative. Passer de 4 % à 5 %, c'est une hausse d'un point de pourcentage, car 5 − 4 = 1, et simultanément une hausse de vingt-cinq pour cent, car 1 ÷ 4 = 0,25. Les deux descriptions sont correctes et répondent à des questions différentes : la première demande de combien le taux a bougé sur l'échelle, la seconde de combien il est plus grand qu'avant. L'écart entre les deux lectures se creuse quand la base rétrécit — un point vaut cent pour cent depuis une base de 1 %, cinquante pour cent depuis 2 %, vingt-cinq pour cent depuis 4 % et seulement deux pour cent depuis 50 %. Chaque fois que tu rapportes une variation de taux, nomme explicitement la mesure : le lecteur ne peut pas la deviner, et les deux nombres peuvent différer d'un ordre de grandeur.

Si un prix monte de 50 % puis baisse de 50 %, revient-il à son niveau initial ?

Non. Il finit à 75 % du niveau initial, une perte d'un quart. Une hausse de x multiplie par (1 + x) et une baisse de x par (1 − x) : la paire multiplie donc par (1 + x)(1 − x) = 1 − x². Pour x = 0,5, cela vaut 1 − 0,25 = 0,75. Le manque vaut toujours le carré du mouvement : faible pour de petits mouvements, brutal pour de grands. 10 % à la hausse puis à la baisse laisse 0,99, 20 % laisse 0,96, 50 % laisse 0,75 et 80 % laisse 0,36. L'ordre ne change rien, car la multiplication est commutative. Le corollaire est la règle de récupération : annuler une baisse de d exige une hausse de d ÷ (1 − d), donc une baisse de 20 % exige une hausse de 25 %, une baisse de 25 % exige 33,33 %, et une baisse de 50 % exige 100 % — un doublement — pour revenir au niveau.

Qu'est-ce qu'un point de base ?

Un centième de point de pourcentage : 100 points de base valent un point de pourcentage et 25 points de base un quart de point. L'unité existe précisément pour tuer l'ambiguïté dont parle cet article : un point de base est toujours une différence sur l'échelle et jamais une variation relative, il s'additionne et se soustrait donc sans risque de mauvaise lecture. Un taux qui monte de 25 points de base depuis 4,00 % passe à 4,25 %, ce qui est aussi une hausse relative de 6,25 % — et ce second nombre est exactement celui qui aurait déclenché une dispute si quelqu'un avait écrit « un quart de pour cent ». Ce sont les enjeux financiers qui ont imposé la convention : 25 points de base sur un million de principal font 2 500 par an, puisque 4,00 % rapporte 40 000 et 4,25 % rapporte 42 500. Tu peux adopter la même discipline dans tout domaine qui publie des taux.

Peut-on additionner ou moyenner des pourcentages ?

Seulement s'ils partagent la même base. Deux pourcentages calculés sur des dénominateurs différents ne sont pas commensurables : si un service réduit ses coûts de 10 % et un autre de 20 %, l'entreprise n'a pas réduit de 30 % ni de 15 % — impossible de répondre sans les budgets réels. Moyenner sans pondérer suppose tacitement des bases égales, forme la plus courante de l'erreur, et c'est pourquoi un pourcentage global d'enquête n'est généralement pas la moyenne des pourcentages de sous-groupes, sauf si ceux-ci ont la même taille. Les variations successives sont pires encore : elles se multiplient et ne s'additionnent pas. Trois baisses consécutives de 10 % laissent 0,9³ = 0,729, soit une chute totale de 27,1 %, et non 30 %. Pour moyenner une série de variations, multiplie les facteurs et prends la racine n-ième — la moyenne géométrique — plutôt que de moyenner les pourcentages eux-mêmes.

« 150 % de » signifie-t-il la même chose que « 150 % de plus que » ?

Non, et les deux diffèrent exactement du montant d'origine. Cent cinquante pour cent de 80 valent 1,5 × 80 = 120. Cent cinquante pour cent de plus que 80 valent 80 + 1,5 × 80 = 200. Le premier est un multiplicateur appliqué à la base ; le second est une hausse ajoutée par-dessus la base. L'écart se creuse quand le pourcentage grandit, d'où l'intérêt de relire la formulation dans tout contrat, devis ou argument de performance. La même distinction se cache dans les comparaisons de vitesse et de taille : « deux fois plus rapide » et « cent pour cent plus rapide » concordent, mais « deux cents pour cent plus rapide » signifie trois fois plus rapide, pas deux. À l'écriture, la meilleure habitude est d'énoncer un multiplicateur — « 1,5 fois » ou « 2,5 fois » — car un multiplicateur n'a qu'une seule lecture et ne demande aucune convention.

Combien coûte réellement une hausse d'un point sur un prêt ?

Bien plus qu'un pour cent, et la réponse dépend du chiffre que l'on regarde. Prends un prêt de 300 000 € sur trente ans. À 4 %, la mensualité vaut 1 432,25 € ; à 5 %, elle vaut 1 610,46 €. C'est un point de pourcentage sur le taux, 178,22 € de plus par mois, et une hausse de 12,4 % de la mensualité. Regarde les intérêts totaux sur toute la durée et le tableau change encore : 215 608,52 € à 4 % contre 279 767,35 € à 5 %, soit 64 158,83 € de plus, une hausse de 29,8 %. Un mouvement, trois pourcentages légitimes, chacun soutenant une phrase différente — et voilà pourquoi un titre annonçant que les taux n'ont monté « que d'un point » et un autre affirmant que le coût du crédit « a bondi de trente pour cent » peuvent décrire le même événement sans qu'aucun soit faux. Avant de signer, calcule la mensualité et le coût total : ils répondent à deux questions différentes sur le même prêt.