Répartir des personnes en groupes équitables : aléatoire et équitable ne sont pas la même exigence

L'arithmétique que personne ne fait d'abord

Demande 23 personnes en groupes de quatre et quelque chose doit céder, car 23 divisé par 4 fait 5 reste 3. Il existe exactement trois politiques sensées. Remplir les groupes à la taille cible et laisser le dernier court : 4, 4, 4, 4, 4, 3. Garder les cinq groupes pleins et y répartir les trois restants : 5, 5, 5, 4, 4. Ou arrondir le nombre de groupes à six et équilibrer sur les six : 4, 4, 4, 4, 4, 3. La première et la troisième donnent ici les mêmes tailles, ce qui surprend qui suppose que trois politiques signifient trois réponses.

Change légèrement les nombres et elles se séparent. 23 personnes par cinq donnent 5, 5, 5, 5, 3 sous la première politique, 6, 6, 6, 5 sous la deuxième et 5, 5, 5, 4, 4 sous la troisième — trois résultats vraiment différents, le premier laissant un groupe 40 % plus petit que ses voisins. 30 personnes par quatre, c'est pire : la politique A produit sept groupes de quatre et un duo, soit deux d'écart entre le plus grand et le plus petit, tandis que les deux autres tiennent l'écart à un. La leçon : l'approche naïve « remplir puis tronquer » est la seule qui puisse laisser un groupe gravement isolé, et c'est aussi celle que la plupart des outils appliquent par défaut.

Le hasard peut être spectaculairement injuste

Prends 24 personnes classées de 1 à 24 par niveau et répartis-les uniformément au hasard en six groupes de quatre. Note chaque groupe par la somme des rangs de ses membres : le groupe moyen totalise 50, et une bonne répartition maintient tout le monde près de là. Ce n'est pas le cas. La variance de la somme d'un groupe vaut 4 × ((24² − 1)/12) × (24 − 4)/(24 − 1) = 166,67, soit un écart-type de 12,91. La plage atteignable va de 10, si les rangs 1 à 4 se retrouvent ensemble, à 90. Cet extrême est rare — la probabilité que les quatre meilleurs partagent un groupe vaut (3/23)(2/22)(1/21), une chance sur 1 771 — mais les quasi-extrêmes ne le sont pas du tout.

Simuler 200 000 répartitions aléatoires rend le cas ordinaire concret. L'écart entre le groupe le plus fort et le plus faible, mesuré en différence de sommes de rangs, valait 36,04 en moyenne et atteignait 77 au pire. Dans 20,97 % des tirages — plus d'un sur cinq — un groupe détenait trois des six meilleures personnes ou plus. Ce n'est pas un événement aberrant qu'on écarte : c'est ce qui se produit une séance sur cinq, et c'est précisément ce que les participants remarquent et reprochent. Le hasard te donne l'absence de favoritisme, propriété réelle et utile, mais il ne te donne pas l'équilibre — et personne qui demande des groupes équitables ne pensait à la première.

L'affectation stratifiée : toujours aléatoire, mais bornée

Le correctif consiste à cesser de mélanger toute la liste. Trie par niveau, découpe le classement en autant de strates qu'il y a de personnes par groupe — pour 24 personnes en groupes de quatre, cela fait quatre strates de six — mélange à l'intérieur de chaque strate, et distribue une personne de chacune dans chaque groupe. Chaque groupe détient alors exactement un des rangs 1 à 6, un des 7 à 12, un des 13 à 18 et un des 19 à 24. À l'intérieur d'une strate, l'affectation reste uniformément aléatoire : personne ne peut prédire ni influencer où il atterrit ; entre strates, la composition est fixée.

L'amélioration n'est pas qualitative, elle est mesurable. La variance de la somme d'un groupe tombe de 166,67 à 4 × ((6² − 1)/12) = 11,67, donc l'écart-type passe de 12,91 à 3,42 — un facteur 3,78. La plage atteignable se resserre de 10-90 à 40-60, car la plus petite somme stratifiée possible vaut 1 + 7 + 13 + 19 = 40 et la plus grande 6 + 12 + 18 + 24 = 60. Sur les mêmes 200 000 simulations, l'écart moyen entre le groupe le plus fort et le plus faible tombe de 36,04 à 9,52, le pire cas de 77 à 20, et la proportion de tirages où un groupe détient trois des six meilleurs ou plus passe de 20,97 % à zéro — non pas rare, impossible, car chaque groupe reçoit par construction exactement un membre de la strate supérieure.

Les répétitions de binômes arrivent plus vite qu'on ne croit

Lance le même générateur de groupes semaine après semaine et les gens remarquent qu'ils retombent avec les mêmes partenaires. L'arithmétique l'explique. Dans un seul tour de n personnes en groupes de taille s, la chance que deux personnes données partagent un groupe vaut (s − 1)/(n − 1) — pour 24 personnes par quatre, 3/23, soit environ 13,0 %. Sur r tours, le nombre espéré de rencontres d'un binôme donné vaut r × 3/23, et la probabilité qu'il se rencontre deux fois ou plus découle de la binomiale : 1,70 % après deux tours, 4,66 % après trois, 8,52 % après quatre, 12,99 % après cinq.

Ces pourcentages paraissent petits jusqu'à ce qu'on les multiplie par le nombre de binômes. Avec 24 personnes il y a C(24,2) = 276 paires : après cinq tours aléatoires indépendants, attends-toi à environ 36 paires s'étant rencontrées au moins deux fois, et après huit tours à environ 78 — plus d'un quart de tout le monde. Une randomisation indépendante chaque semaine est donc le mauvais réglage par défaut pour une séance récurrente. Ce qu'il te faut, c'est un calendrier qui se souvienne des paires déjà formées et évite de les répéter, ce qui est un problème complètement différent et bien plus difficile.

Les calendriers de rotation, et pourquoi ils sont vraiment difficiles

La forme générale porte un nom — le problème du golfeur social — et une borne supérieure simple, démontrable en une ligne. À chaque tour, une personne rencontre s − 1 autres, et il n'y a que n − 1 autres personnes : aucun calendrier ne peut donc dépasser la partie entière de (n − 1)/(s − 1) tours sans répéter un binôme. Pour 24 personnes par quatre, c'est 23/3, donc au plus 7 tours. Pour 32 par quatre, 31/3, au plus 10. Pour 9 personnes par trois, 8/2, au plus 4. La borne est facile ; l'atteindre ne l'est pas, et pour beaucoup de combinaisons de n et s, l'existence d'un calendrier parfait reste une question ouverte.

Là où les nombres sont accommodants, un calendrier parfait se construit au lieu de se chercher. Neuf joueurs par groupes de trois en est un cas : étiquette les joueurs par les neuf cases d'une grille 3 × 3, et prends comme quatre tours les lignes, les colonnes et les deux familles de diagonales brisées. Construire ce calendrier et le vérifier a donné ADG / BEH / CFI, puis ABC / DEF / GHI, puis AFH / BDI / CEG, puis AEI / CDH / BFG — quatre tours couvrant les C(9,2) = 36 paires exactement une fois, sans aucune répétition. La borne est atteinte. Pour les tailles sans construction de ce genre, la règle pratique est de conserver l'historique des binômes et de faire rejeter par ton générateur une répartition qui en répète trop ; essayer quelques centaines de candidats et garder celui qui répète le moins procure l'essentiel du bénéfice sans aucune théorie.

Choisir une politique avant la séance, pas pendant

Trois décisions règlent presque toute dispute de répartition, et les trois coûtent moins cher prises à l'avance. D'abord, fixe la politique de reste : si un groupe court est gênant — un débat, un jeu de cartes, une échelle de double — utilise la politique qui répartit le reste plutôt que celle qui l'abandonne. Ensuite, décide si la répartition doit être équilibrée sur quelque chose. Si oui, nomme la variable de classement à voix haute, car la stratification exige un ordre, et un ordre non dit sera fourni par celui qui lance l'outil. Enfin, décide si la séance se répète ; si oui, conserve l'historique dès le premier tour au lieu de le reconstituer plus tard.

Une mise en garde sur la stratification : c'est un outil puissant, et il peut servir à défendre un mauvais classement. Équilibrer sur une variable mesurée et acceptée — un classement, une note, un niveau attribué par les participants eux-mêmes — est défendable. Équilibrer sur une variable improvisée par quelqu'un, c'est une main invisible déguisée en arithmétique. La méthode stratifiée est honnête précisément parce que l'ordre qu'elle utilise est visible ; si tu ne peux pas montrer l'ordre, fais une répartition purement aléatoire et accepte la variance, car un équilibre inauditable est pire qu'un déséquilibre visible.

Questions fréquentes

Comment répartir 23 personnes en groupes de quatre ?

Il y a deux réponses distinctes, pas trois. 23 = 5 × 4 + 3 : tu peux avoir six groupes de 4, 4, 4, 4, 4, 3, ou cinq groupes de 5, 5, 5, 4, 4. La troisième politique que l'on cite d'ordinaire — arrondir le nombre de groupes vers le haut et équilibrer — donne 4, 4, 4, 4, 4, 3, c'est-à-dire à nouveau la première réponse, car 23 réparti sur six groupes fait 3 reste 5 et retombe sur le même multiensemble. Choisis par conséquence plutôt que par principe : si l'activité fonctionne mal à trois, prends la version à cinq groupes ; si un groupe de cinq est ingérable, prends celle à six. Note qu'il n'existe aucun moyen d'obtenir un seul groupe de cinq et tout le reste à quatre, car 23 − 5 = 18 et 18 n'est pas un multiple de 4.

Une répartition stratifiée est-elle encore aléatoire ?

Oui, à l'intérieur de chaque strate, et c'est la propriété qui compte pour l'équité du procédé. Si tu découpes un classement de 24 personnes en quatre strates de six et que tu mélanges chaque strate avant de distribuer, chaque personne du top six a exactement la même chance d'atterrir dans chacun des six groupes. Personne n'est favorisé, personne ne peut prédire son placement, personne ne peut l'influencer. Ce qui n'est plus aléatoire, c'est le profil de composition : chaque groupe reçoit à coup sûr un membre de chaque strate. Cette contrainte fait passer l'écart-type de force du groupe de 12,91 à 3,42 et enferme les sommes possibles entre 40 et 60 au lieu de 10 à 90. Tu cèdes des résultats dont tu ne voulais pas contre une garantie que tu voulais.

À quelle fréquence les deux mêmes personnes se retrouvent-elles ensemble ?

En un seul tour, c'est (s − 1)/(n − 1) : avec 24 personnes en groupes de quatre, 3/23, soit 13,0 %. Sur des tours indépendants répétés, cela s'accumule. La probabilité qu'un binôme donné se rencontre au moins deux fois vaut 1,70 % après deux tours, 4,66 % après trois, 8,52 % après quatre et 12,99 % après cinq. Multiplie par le nombre de paires et le tableau change de nature : 24 personnes forment 276 paires, donc cinq tours de randomisation indépendante devraient produire environ 36 binômes répétés, et huit tours environ 78. Si les répétitions t'importent, ne rerandomise pas de zéro chaque séance — conserve l'historique et fais rejeter par le générateur les répartitions qui répètent trop de binômes passés. Un calendrier parfait sans répétition ne peut dépasser la partie entière de (n − 1)/(s − 1) tours, soit 7 pour 24 personnes par quatre.

Puis-je bâtir un calendrier où personne ne répète jamais un partenaire ?

Parfois, et il existe un plafond dur sur sa durée. À chaque tour, une personne rencontre s − 1 autres parmi n − 1 candidats : le calendrier ne peut donc dépasser la partie entière de (n − 1)/(s − 1) tours — 4 tours pour 9 personnes par trois, 7 pour 24 par quatre, 10 pour 32 par quatre. Atteindre le plafond exige un design combinatoire, et il en existe un pour le cas à neuf joueurs : étiquette les joueurs comme les cases d'une grille 3 × 3 et prends les lignes, les colonnes et les deux familles de diagonales comme tes quatre tours. Construit et vérifié, cela donne ADG / BEH / CFI, ABC / DEF / GHI, AFH / BDI / CEG, AEI / CDH / BFG, couvrant les 36 paires exactement une fois. Pour la plupart des autres tailles, aucune construction de ce type n'est connue, le problème est le célèbre problème du golfeur social, et la réponse pratique est une recherche : générer des répartitions candidates, les noter selon le nombre de binômes passés répétés, et garder la meilleure.

Et si je n'ai aucun classement pour stratifier ?

Alors fais une répartition purement aléatoire et dis explicitement que les groupes sont déséquilibrés par construction. La stratification exige un ordre, et en inventer un sur le moment est pire que de ne pas en avoir — cela transforme l'opinion de l'organisateur en quelque chose qui ressemble à de l'arithmétique. S'il te faut un ordre défendable, prends-en un qui existe déjà et que les participants peuvent voir : un classement de séances précédentes, une note d'évaluation, un niveau auto-déclaré, l'ancienneté, ou le résultat d'un court tour de qualification. Si rien de tout cela n'est disponible ou acceptable, accepte la variance : avec 24 personnes en six groupes de quatre, l'écart-type de la force du groupe vaut 12,91 au lieu de 3,42, et environ une répartition sur cinq réunira trois des six meilleurs ou plus. Annonce-le comme le coût connu d'un tirage non stratifié, plutôt que de le découvrir devant la salle.