Les probabilités des mains de poker, démontrées plutôt que mémorisées

Tout est une part de 2 598 960

Une main de cinq cartes tirée d'un jeu de 52 est une sélection non ordonnée : leur nombre vaut donc C(52,5) = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 311 875 200 / 120 = 2 598 960. Toute probabilité au poker est un sous-ensemble de ces mains divisé par ce total, et chaque sous-ensemble se dénombre par la même recette : choisir les rangs, choisir les couleurs, multiplier. Rien d'autre que la multiplication et le coefficient binomial n'est nécessaire dans cet article.

Deux des comptes sont triviaux et méritent d'ouvrir la marche, car ils fixent le schéma. Une quinte flush, ce sont cinq cartes qui se suivent dans la même couleur : dix séquences possibles, de A-2-3-4-5 jusqu'à 10-V-D-R-A, et quatre couleurs, soit 10 × 4 = 40. Un carré, ce sont les quatre cartes d'un rang plus une cinquième quelconque : 13 rangs × 48 cartes restantes = 624. Note que ces deux comptes sont exacts et complets d'eux-mêmes ; rien à soustraire, car une main ne peut pas être une quinte flush de deux manières ni un carré de deux manières.

Les sept qui demandent un peu de soin

Un full, c'est un rang en triple et un autre en double : 13 choix pour le brelan, C(4,3) = 4 façons d'en choisir les couleurs, 12 rangs restants pour la paire, C(4,2) = 6 façons d'en choisir les couleurs. 13 × 4 × 12 × 6 = 3 744. L'ordre compte ici — trois du rang A avec deux du rang B est une main différente de trois de B avec deux de A, d'où le facteur 13 × 12 et non C(13,2). Le brelan prolonge la même idée : 13 rangs × C(4,3) couleurs pour le brelan, puis C(12,2) = 66 façons de choisir deux rangs de kickers distincts et 4 × 4 couleurs pour eux, soit 13 × 4 × 66 × 16 = 54 912. Les kickers doivent être de rangs distincts, sans quoi la main serait un full.

La double paire utilise C(13,2) = 78 pour les rangs des paires, car les deux paires sont ici interchangeables, fois C(4,2)^2 = 36 pour leurs couleurs, fois 44 pour la cinquième carte — 52 moins les 8 cartes des deux rangs choisis. 78 × 36 × 44 = 123 552. La paire simple donne 13 rangs × C(4,2) = 6 paires de couleurs × C(12,3) = 220 rangs de kickers × 4^3 = 64 couleurs de kickers = 1 098 240. La carte haute, c'est tout le reste : choisir cinq rangs distincts qui ne forment pas une suite, C(13,5) − 10 = 1 277, puis n'importe quel motif de couleurs qui ne soit pas monochrome, 4^5 − 4 = 1 020, soit 1 277 × 1 020 = 1 302 540. Cette dernière ligne retranche discrètement les deux exclusions d'un coup.

Les deux exclusions, et la suite basse

Quatre cartes d'une couleur plus une cinquième de la même donnent 4 × C(13,5) = 5 148 mains monochromes, mais 40 d'entre elles sont aussi des quintes flush et seraient comptées deux fois. Retranche-les : le compte des couleurs vaut 5 108. La quinte a le problème miroir : 10 suites de rangs, chaque carte libre de prendre l'une des 4 couleurs, donnent 10 × 4^5 = 10 240, dont les mêmes 40 quintes flush, d'où 10 200. Saute l'une des deux soustractions et tes neuf comptes totalisent 2 599 040 — quatre-vingts de trop — ce qui est exactement la façon d'attraper l'erreur sans savoir où elle est.

Le nombre dix mérite sa propre phrase. Il y a treize rangs, donc un décompte naïf des suites de cinq donne neuf séquences, de 2-3-4-5-6 à 10-V-D-R-A. Mais l'as joue aussi bas que haut : A-2-3-4-5 — la suite basse — est une dixième quinte valide, tandis que D-R-A-2-3, qui boucle autour du jeu, n'est pas une quinte du tout. Trompe-toi vers le bas et le compte des quintes tombe à 9 180 au lieu de 10 200 ; autorise le bouclage et il monte à 13 260. Les deux erreurs apparaissent immédiatement dans la somme, et c'est pour cela que la somme mérite d'être calculée.

La somme est la preuve

40 + 624 + 3 744 + 5 108 + 10 200 + 54 912 + 123 552 + 1 098 240 + 1 302 540 = 2 598 960. Pas approximativement — exactement. Cette égalité est le contrôle le plus fort disponible, car les neuf arguments ont été construits indépendamment les uns des autres et du total. Si l'un d'eux comptait une main deux fois, oubliait un cas ou appliquait le mauvais coefficient binomial, la somme tomberait à côté. Elle ne tombe pas à côté : les neuf catégories partitionnent donc toutes les mains de cinq cartes, sans recouvrement ni trou. Toute table publiée qui ne boucle pas sur cette identité contient une erreur quelque part, et voilà comment le savoir en dix secondes.

Comme second contrôle indépendant, les 2 598 960 mains ont été énumérées en code et classées une à une. Le programme a rendu 40, 624, 3 744, 5 108, 10 200, 54 912, 123 552, 1 098 240 et 1 302 540 — les mêmes neuf nombres que l'algèbre, et il a aussi confirmé avoir visité exactement C(52,5) mains. Deux méthodes qui ne partagent aucune hypothèse et concordent à l'unité près, c'est ce qui se rapproche le plus de la certitude en dénombrement.

L'ordre des mains est une conséquence, pas une convention

Lis la colonne des comptes de haut en bas : 40, 624, 3 744, 5 108, 10 200, 54 912, 123 552, 1 098 240, 1 302 540. Elle est strictement croissante, et c'est aussi l'ordre imprimé dans tous les règlements de poker. Ce n'est ni une coïncidence ni un choix esthétique d'un rédacteur de règles ancien. Si une main plus rare perdait contre une main plus fréquente, le jeu récompenserait l'exploit le plus facile, et n'importe quel joueur s'en apercevant l'exploiterait. Le classement est imposé par le dénombrement, et c'est pourquoi il est identique dans toutes les juridictions et toutes les variantes à cinq cartes.

La relation est plus qu'un ordre — c'est un rapport. Une quinte flush est 15,6 fois plus rare qu'un carré, lui-même 6 fois plus rare qu'un full, lui-même seulement 1,36 fois plus rare qu'une couleur. Ce dernier écart est le plus serré de la table, et c'est pourquoi la frontière couleur/full est celle que l'on retient le plus souvent de travers : 5 108 contre 3 744, soit une différence de 1 364 mains sur deux millions et demi. La frontière paire/carte haute, tout en bas, est presque un pile ou face, 42,3 % contre 50,1 %, et ces deux catégories couvrent ensemble 92,4 % de toutes les donnes.

À sept cartes, c'est un autre problème

Tout ce qui précède décrit une main de cinq cartes exactement. Le Hold'em en donne sept à chaque joueur et retient les cinq meilleures, ce qui n'est pas le même calcul et n'a pas les mêmes réponses. L'espace passe à C(52,7) = 133 784 560, et chaque main doit être évaluée en cherchant son meilleur sous-ensemble de cinq cartes plutôt que simplement classée. En les énumérant toutes on obtient 41 584 quintes flush, 224 848 carrés, 3 473 184 fulls, 4 047 644 couleurs, 6 180 020 quintes, 6 461 620 brelans, 31 433 400 doubles paires, 58 627 800 paires et 23 294 460 cartes hautes — dont la somme vaut, à nouveau exactement, C(52,7).

Deux de ces nombres renversent le récit bien rangé qui précède. Une quinte, à 6 180 020, est plus rare qu'un brelan à 6 461 620 — et pourtant elle le bat toujours, car le classement est figé par les comptes à cinq cartes, pas par ceux à sept. Et la carte haute, résultat le plus fréquent à cinq cartes avec 50,1 %, tombe à 17,4 % à sept cartes, sous la double paire à 23,5 %. L'ordre du poker colle donc exactement à la rareté dans les jeux à cinq cartes, et seulement approximativement dans ceux à sept. C'est une incohérence réelle et documentée du jeu, pas une erreur d'arithmétique, et une bonne raison de se méfier de toute table à sept cartes publiée sans énumération.

Questions fréquentes

Pourquoi le compte des couleurs retranche-t-il 40 ?

Parce que les neuf catégories doivent être mutuellement exclusives pour que leurs comptes totalisent l'ensemble. Choisir cinq cartes d'une même couleur donne 4 × C(13,5) = 5 148 mains, et 40 de ces suites de cinq se trouvent consécutives en rang, ce qui en fait des quintes flush. Si tu les laisses dans le seau des couleurs, elles sont aussi dans celui des quintes flush, et les neuf comptes totalisent 2 599 040 au lieu de 2 598 960. Exactement les mêmes 40 mains doivent sortir du compte des quintes, ramenant 10 240 à 10 200. C'est le défaut le plus fréquent des tables publiées : une des deux soustractions est appliquée et pas l'autre, et l'erreur vaut quatre-vingts mains, invisible tant qu'on n'additionne pas la colonne.

A-2-3-4-5 est-elle vraiment une quinte ?

Oui, et c'est la raison pour laquelle les suites de rangs sont au nombre de dix et non de neuf. L'as a le droit de jouer comme carte la plus basse autant que la plus haute, donc les séquences valides vont de A-2-3-4-5 à 10-V-D-R-A : dix au total. C'est la norme dans tous les règlements majeurs. Ce qui n'est pas permis, c'est de boucler par le haut : R-A-2-3-4 et D-R-A-2-3 ne sont pas des quintes, car la séquence a deux extrémités et l'as peut occuper l'une ou l'autre sans les relier. Retire la suite basse et le compte des quintes tombe à 9 180 ; autorise le bouclage et il grimpe à 13 260. Aucun de ces chiffres ne permet aux neuf catégories de totaliser 2 598 960, et c'est ainsi qu'on attrape l'erreur sans discuter de la règle.

Pourquoi la couleur est-elle au-dessus de la quinte ?

Parce qu'elle est plus rare, et nettement : 5 108 couleurs contre 10 200 quintes, une couleur est donc presque exactement deux fois plus difficile à recevoir. L'intuition qui égare est qu'il n'y a que quatre couleurs et treize rangs, donc assortir les couleurs semblerait plus facile — mais une couleur exige que les cinq cartes s'accordent sur l'une de quatre choses, tandis qu'une quinte demande seulement que les cinq rangs tombent dans une fenêtre de cinq sur treize et laisse chaque couleur totalement libre. Le dénombrement tranche : 4 × C(13,5) − 40 = 5 108 contre 10 × 4^5 − 40 = 10 200. Les classements au poker ne sont jamais affaire de goût ; chaque frontière de la table est une comparaison de deux comptes.

Ces probabilités valent-elles au Texas hold'em ?

Non. Elles décrivent une main de cinq cartes exactement, distribuée au hasard : c'est du draw ou du stud à cinq cartes, pas du hold'em. Au hold'em, chaque joueur compose les cinq meilleures parmi sept, donc l'espace vaut C(52,7) = 133 784 560 et chaque catégorie devient plus probable — un full passe de 0,14 % à 2,60 %, une couleur de 0,20 % à 3,03 %. Énumérer toutes les mains de sept cartes produit aussi deux inversions à connaître : une quinte, à 6 180 020, devient plus rare qu'un brelan à 6 461 620, et la carte haute chute du résultat le plus fréquent à 50,1 % jusqu'à 17,4 %, sous la double paire. L'ordre des mains ne suit pas, car il est figé par les comptes à cinq cartes. Si tu veux des chiffres de hold'em, prends des chiffres de hold'em ; la table à cinq cartes n'est pas l'outil pour cela.

Comment vérifier une table de probabilités trouvée quelque part ?

Additionne les comptes de mains. S'ils ne font pas exactement 2 598 960, la table est fausse, et l'ampleur de l'écart désigne généralement l'erreur. Un écart de 40 exactement signifie qu'une des deux soustractions de quintes flush manque. Un écart de 1 020 signifie que la suite basse a été retirée du compte des quintes, car une suite de rangs vaut 4^5 − 4 = 1 020 mains et 10 200 moins 9 180 fait exactement cela. Un écart de 3 060 dans l'autre sens signifie que le compte a autorisé des séquences bouclant par-dessus l'as. Si la table ne donne que des pourcentages, multiplie chacun par 2 598 960 et vérifie que les résultats sont entiers ; un vrai dénombrement l'est toujours. Les pourcentages seuls cachent des erreurs que les entiers ne cachent pas.