Capacità di processo: Cp, Cpk e che cosa afferma davvero il Six Sigma

Il Cp: la specifica contro la dispersione

Il Cp è un rapporto fra due ampiezze. Il numeratore è l'ampiezza della specifica, LSS − LSI, lo spazio che il disegno ti concede. Il denominatore è 6σ, l'ampiezza che il processo occupa — sei deviazioni standard, perché ±3σ copre il 99,73 % di una normale e 6σ è la scorciatoia convenzionale per « tutto il processo ». Quindi Cp = (LSS − LSI) ÷ 6σ, e risponde a una sola domanda: questo processo starebbe dentro questa tolleranza se fosse puntato perfettamente? Un Cp di 1,00 significa che il processo riempie esattamente la tolleranza senza riserva. Un Cp di 1,33 significa che la tolleranza è un terzo più larga di quanto serva al processo.

Facciamone uno. Un albero è specificato fra 9,80 e 10,20 millimetri — un'ampiezza di tolleranza di 0,40 — e il processo ha una deviazione standard di 0,05 millimetri. Cp = 0,40 ÷ (6 × 0,05) = 0,40 ÷ 0,30 = 1,333. Nota bene che cosa non è entrato in quel calcolo: la media. Il Cp è cieco rispetto a dove il processo è puntato, e ogni conseguenza di questo articolo discende da quella cecità.

Il Cpk: la penalità per il decentramento

Il Cpk ripara quella cecità misurando ciascun lato separatamente e tenendo il peggiore. Cpk = min[(LSS − μ) ÷ 3σ, (μ − LSI) ÷ 3σ]. Il 3σ di ogni denominatore è metà del 6σ del Cp, perché ora ciascun termine misura un lato della distribuzione e non il tutto. Quando il processo sta esattamente al centro della tolleranza, i due termini sono uguali e il Cpk vale il Cp. Qualsiasi deriva dal centro rende un termine più piccolo, quindi il Cpk è sempre minore o uguale al Cp, e la distanza fra i due è una misura pura del decentramento.

Vale la pena tenere la coppia insieme perché risponde a due domande gestionali diverse. Il Cp chiede se la macchina e il metodo siano capaci del tutto — se la variazione sia abbastanza piccola per il pezzo. Il Cpk chiede se il processo sia in questo momento impostato correttamente. Un Cp basso è un problema di ingegneria: serve una macchina migliore, un'attrezzatura migliore o un metodo più stretto. Un Cp alto con Cpk basso è un problema di regolazione: l'impianto ce la fa, basta che qualcuno sposti la mira, e di solito è rapido ed economico.

Stessa dispersione, 359 volte lo scarto

Prendi la stessa specifica e lo stesso σ = 0,05, quindi Cp è 1,333 in entrambi i casi, e facci passare due medie. Centrato su 10,00, ogni limite dista (0,20 ÷ 0,05) = 4 deviazioni standard, quindi Cpk = 4 ÷ 3 = 1,333, pari al Cp. La frazione fuori tolleranza è Φ(−4) da ciascun lato, cioè 31,671 per milione per coda e 63,34 per milione in totale — un pezzo su 15 787.

Ora sposta la media a 10,10, due deviazioni standard più in alto, senza toccare la dispersione. Il Cp è ancora 1,333 — il processo è esattamente stretto come prima. Ma il limite superiore dista ora solo (10,20 − 10,10) ÷ 0,05 = 2 deviazioni standard mentre l'inferiore ne dista 6, quindi Cpk = min(2 ÷ 3, 6 ÷ 3) = 0,667. Il tasso di scarto è Φ(−2) sopra il limite superiore, 22 750,13 per milione, più un Φ(−6) = 0,000987 per milione del tutto trascurabile sotto quello inferiore. Totale: 22 750 difetti per milione, il 2,275 %, un pezzo su 44.

È tutta qui la ragione d'essere di entrambi gli indici. Due processi con un Cp identico di 1,333 — macchine identiche, variazione identica, capacità identica in senso ingegneristico — producono 63 difetti per milione e 22 750 difetti per milione, un fattore 359. Un rapporto di capacità che citi solo il Cp non ti ha detto nulla sullo scarto. Se guarderai un solo numero, guarda il Cpk; se dovrai agire, guardali entrambi, perché indicano rimedi diversi.

3,4 per milione, e la deriva di 1,5σ che lo produce

« Sei sigma » come livello di qualità significa che il limite di specifica più vicino dista sei deviazioni standard dalla media, il che per un processo centrato è un Cp e un Cpk di 2,00. Calcola il tasso di difetto direttamente dalla normale e ottieni 2 × Φ(−6) = 0,00197 difetti per milione. Cioè circa due pezzi per miliardo. Non è 3,4, e non ci va nemmeno vicino — i due numeri differiscono di un fattore 1 722.

Il 3,4 nasce da un'ipotesi aggiunta. La convenzione dice che la media di un processo non sta ferma: nell'arco di ore, turni, cambi utensile e lotti di materia prima, deriva, e la tolleranza accettata per quella deriva di lungo periodo è 1,5σ. Metti la media a 1,5σ dal bersaglio e il limite vicino dista solo 6 − 1,5 = 4,5 deviazioni standard. Calcola quella coda: Φ(−4,5) = 3,398 per milione. Il limite lontano dista ora 7,5σ e contribuisce con 0,0000000319 per milione, cioè nulla. Il numero è dunque 3,398, citato come 3,4 difetti per milione di opportunità. È aritmeticamente esatto — data la deriva.

La stessa convenzione riscrive l'intera tabella. A tre sigma, la normale centrata dà 2 699,80 difetti per milione; con la deriva, 66 810,6, venticinque volte tanto. A quattro sigma, 63,34 diventa 6 209,68. A cinque sigma, 0,573 diventa 232,6. Il divario cresce con il livello sigma perché si toglie un 1,5σ fisso da una coda sempre più ripida. Ecco perché la deriva pesa di più proprio dove le affermazioni commerciali sono più rumorose.

Da dove viene la deriva, e quanto è contestata

L'allowance di 1,5σ non è nata dalla misura di un processo particolare. Discende da lavori di tolleranze statistiche degli anni settanta — la regola empirica di Bender per la somma delle tolleranze prevedeva un fattore per il fatto che le medie si spostano — ed è stata adottata in Motorola negli anni ottanta come correzione standard fra la capacità di breve periodo, misurata su una serie di pezzi consecutivi, e la prestazione di lungo periodo su settimane di produzione. L'intento era ragionevole: uno studio di capacità condotto in un turno, con un operatore e una barra di materiale, sottostima davvero la variazione che il cliente vedrà.

Ciò che è contestato è l'universalità del numero. Non c'è ragione perché un processo continuo ben controllato derivi di esattamente 1,5σ, né perché un processo a lotti mal controllato derivi solo di tanto. Le giustificazioni statistiche di 1,5 come valore generale — compresa la più nota, che la ricava dalla probabilità che una carta di controllo su sottogruppi piccoli non rilevi uno spostamento di quella entità — sono costruzioni a posteriori, e la letteratura sulla qualità ne discute da decenni. Tratta l'1,5σ per ciò che è: una convenzione documentata che rende confrontabili i livelli sigma pubblicati, non una proprietà empirica del tuo processo.

La conseguenza pratica è una regola di etichettatura. Ogni livello sigma o cifra DPMO dovrebbe portare la dicitura « con la deriva di 1,5σ » oppure « senza », perché le due differiscono di tre ordini di grandezza all'estremo dei sei sigma. Negli indici stessi è la stessa distinzione che corre fra Cp e Cpk da un lato e Pp e Ppk dall'altro: la prima coppia usa per convenzione una stima di σ entro il sottogruppo e descrive la capacità di breve periodo, la seconda usa la deviazione standard totale di tutti i dati e descrive la prestazione effettivamente consegnata.

Trenta pezzi non sono uno studio di capacità

Ogni cifra sopra presupponeva σ noto. Non lo è: è stimato da un campione, e la stima è assai più rumorosa di quanto si creda. Poiché (n − 1)s² ÷ σ² segue una distribuzione chi-quadrato, un intervallo di confidenza al 95 % per il Cp va da Ĉp × √(χ²₀,₀₂₅,ₖ ÷ k) a Ĉp × √(χ²₀,₉₇₅,ₖ ÷ k) con k = n − 1 gradi di libertà. Con n = 30 quei moltiplicatori valgono 0,7439 e 1,2556, quindi un Cp misurato di 1,333 dà un intervallo da 0,992 a 1,674.

Traduci i due estremi in scarto e il problema si vede. Un processo centrato con Cp = 0,992 produce 2 920,35 difetti per milione; con Cp = 1,674 ne produce 0,511. È la stessa misura, compatibile con tassi di difetto distanti un fattore 5 711. Aumentare il campione aiuta, ma lentamente: con n = 50 l'intervallo va da 1,070 a 1,596, con n = 100 da 1,148 a 1,519 — ancora un fattore 110 sul tasso di difetto — con n = 200 da 1,202 a 1,464 e con n = 500 da 1,251 a 1,416.

Quindi un indice di capacità calcolato su trenta pezzi va riportato con il suo intervallo oppure non riportato affatto, e l'abitudine di accettare un processo su un singolo Ĉpk di 1,33 ricavato da una tirata di trenta pezzi è una prova più debole di quanto sembri. Vale anche la pena ricordare che una tirata breve sottostima la variazione per una seconda ragione, distinta: trenta pezzi consecutivi condividono un operatore, un utensile, una regolazione e un lotto di materiale, quindi misurano la variazione entro il sottogruppo e non dicono nulla della variazione fra sottogruppi che il cliente incontrerà.

Tutto questo presuppone la normalità — quindi verificala

Convertire un indice di capacità in un tasso di difetto usa la distribuzione normale, e ogni cifra in ppm di questo articolo — compreso il famoso 3,4 — vale quanto vale quell'ipotesi. Il guaio è che gli indici di capacità vivono nelle code estreme, esattamente dove le distribuzioni differiscono di più e dove si hanno meno dati per verificarle.

Quantifica uno scostamento lieve. Prendi una distribuzione t di Student riscalata per avere esattamente la stessa deviazione standard, quindi lo stesso Cp, e calcola la coda oltre sei deviazioni standard. Con 30 gradi di libertà — un eccesso di curtosi di 0,2, a malapena rilevabile — la coda vale 0,3875 per milione contro lo 0,000987 della normale, 393 volte più pesante. Con 10 gradi di libertà, 26,55 per milione, 26 900 volte più pesante. Con 5 gradi di libertà, 286,6 per milione, circa 290 000 volte più pesante. Una distribuzione che faticheresti a rifiutare con cento punti distrugge la stima che ci hai costruito sopra.

Fai quindi tre cose prima di pubblicare un numero di capacità. Conferma con una carta di controllo che il processo è stabile, perché un indice calcolato su un processo fuori controllo non descrive nulla. Verifica la distribuzione invece di darla per scontata, e se è realmente asimmetrica — come di solito sono planarità, circolarità, concentricità e qualunque caratteristica limitata a zero — usa gli indici basati sui percentili definiti per dati non normali nella serie ISO 22514 anziché forzare un adattamento normale. E riporta il Cpk con il suo intervallo di confidenza e la numerosità campionaria, così il lettore successivo sa quanto è misura e quanto è rumore.

Domande frequenti

Il Cpk può essere maggiore del Cp?

Mai. Il Cpk prende la minore delle due distanze da un limite e la divide per 3σ, mentre il Cp divide la semiampiezza della specifica per 3σ. Quando il processo è esattamente centrato le due distanze sono uguali e il Cpk vale il Cp; qualunque deriva ne rende una più piccola. Quindi Cpk ≤ Cp sempre, e se un rapporto mostra un Cpk sopra il Cp c'è un errore aritmetico oppure sono stati calcolati su dati diversi. La distanza fra i due è già di per sé una misura pulita del decentramento.

Che differenza c'è fra Cp/Cpk e Pp/Ppk?

Le formule sono identiche; la stima di σ no. Cp e Cpk usano per convenzione una stima entro il sottogruppo — dalla escursione media o dalla deviazione standard media di piccoli sottogruppi razionali — che coglie solo la variazione presente su pochi pezzi consecutivi. Pp e Ppk usano la deviazione standard complessiva di tutti i dati, che contiene anche la deriva fra sottogruppi, i cambi utensile e i lotti di materiale. Cp e Cpk descrivono dunque la capacità di breve periodo e Pp e Ppk la prestazione consegnata, che è esattamente il divario che la convenzione della deriva di 1,5σ fu inventata per colmare.

3,4 difetti per milione sono davvero raggiungibili?

È un obiettivo definito, non una costante fisica, e se sia raggiungibile dipende interamente dalla caratteristica. Ciò che quel numero non può fare è essere verificato per misura nella maggior parte delle fabbriche: dimostrare un tasso di 3,4 per milione con un minimo di confidenza richiede centinaia di migliaia di pezzi, quindi in pratica viene sempre dedotto da un indice di capacità e mai osservato. Visti gli intervalli di confidenza del Cpk con numerosità realistiche, quella deduzione porta molta più incertezza di quanta ne suggerisca una cifra con due decimali.

Quanti pezzi servono per uno studio di capacità?

Più dei trenta che la convenzione suggerisce, e il modo giusto di scegliere è decidere quanto ampio un intervallo ti va bene. Con n = 30 un Cp misurato di 1,333 porta un intervallo al 95 % da 0,992 a 1,674; con n = 100 si restringe a 1,148-1,519; con n = 200 a 1,202-1,464. La precisione migliora all'incirca con la radice quadrata del campione, quindi dimezzare l'intervallo costa quattro volte i pezzi. Altrettanto importante è distribuire il campione fra turni, operatori, cambi utensile e lotti di materiale, perché un campione grande preso in un'unica tirata misura la variazione sbagliata con grande precisione.

E se i miei dati non sono normali?

Allora non convertire l'indice in un tasso di difetto usando la normale, perché l'errore finisce tutto nella coda che ti interessa. Le caratteristiche limitate a zero — planarità, circolarità, eccentricità, rugosità, conteggi di contaminazione — sono di norma asimmetriche per costruzione e non vanno mai forzate in un adattamento normale. La serie ISO 22514 definisce indici di capacità basati sui percentili proprio per questo caso, usando i quantili allo 0,135 % e al 99,865 % della distribuzione effettivamente adattata al posto di μ ± 3σ. Le alternative sono trasformare i dati o adattare una distribuzione che vada bene; ciò che non devi fare è riportare un Cpk che ha assunto la normalità in silenzio.