Dividere l'affitto fra stanze che non sono uguali

Terzi uguali: il metodo che è equo solo per caso

Partiamo dall'appartamento che useremo per tutto l'articolo: 2 400 € al mese, tre camere. La stanza A misura 18 m² ed è spoglia. La B misura 12 m² ed è spoglia. La C misura solo 10 m², la più piccola della casa, ma ha un bagno privato — ed è per questo che l'esempio vale la pena, perché superficie e desiderabilità puntano in direzioni opposte.

La divisione uguale chiede 800 € a testa. Ha una virtù autentica: non richiede informazioni né discussione, ed è la risposta giusta in un solo caso, quello in cui le stanze sono davvero intercambiabili, come in certe residenze universitarie costruite apposta. In tutto il resto è una tassa su chi finisce nella stanza peggiore, riscossa in silenzio ogni mese per tutta la durata del contratto. Nel nostro appartamento tariffa allo stesso modo 18 m² e 10 m², cosa che nessuno difenderebbe ad alta voce, ed è per questo che l'accordo di solito sopravvive solo perché nessuno lo nomina.

La superficie, e la superficie pesata: metri migliori, la stessa domanda senza risposta

Dividere per superficie è il miglioramento ovvio ed è davvero meglio di niente. Le tre stanze sommano 40 m², quindi la A prende 18 ÷ 40 = 45 per cento dell'affitto, la B il 30 per cento e la C il 25 per cento: 1 080,00 €, 720,00 € e 600,00 €. L'aritmetica è trasparente, verificabile con un metro, ed elimina l'ingiustizia più grossolana della divisione uguale.

Fa anche pagare di meno alla stanza più piccola, in un appartamento dove la più piccola è quella con il bagno privato. La toppa ovvia è pesare la superficie per gli extra: dai alla stanza C un coefficiente di 1,35 per il bagno, e le unità pesate diventano 18, 12 e 13,5, in totale 43,5. La A prende allora 18 ÷ 43,5 = 41,379 per cento, la B il 27,586 per cento e la C il 31,034 per cento, cioè 993,10 €, 662,07 € e 744,83 €, la cui somma è esattamente l'affitto.

È un miglioramento reale ed è ancora il tipo sbagliato di risposta, perché il peso è inventato. Perché 1,35 e non 1,2, o 1,6? Un bagno privato vale moltissimo per chi esce presto e assolutamente nulla per chi si lava in palestra. Nel momento in cui scrivi un peso stai affermando una preferenza a nome di tutti, e l'aritmetica che segue non fa che vestire la tua affermazione di decimali. La sezione seguente mostra quanto costa in questo appartamento: perfino la divisione pesata lascia un coinquilino a preferire nettamente la stanza di un altro.

L'assenza di invidia: la definizione giusta di equo

Smetti di chiedere quanto vale ogni stanza e poni una domanda più affilata: esiste un'assegnazione delle stanze e un insieme di prezzi, che sommano l'affitto, tali che nessuno preferirebbe la stanza di un altro a quel prezzo? Una divisione con quella proprietà si dice priva di invidia, ed è il bersaglio giusto perché è verificabile. Non devi essere d'accordo con le valutazioni altrui; devi solo confermare, per te stesso, che preferisci il tuo accordo a ciascuno degli altri sul tavolo.

La parte rassicurante è che una simile divisione esiste. L'articolo di Francis Su del 1999 sull'American Mathematical Monthly ha dimostrato l'armonia dell'affitto con il lemma di Sperner, poggiando sul precedente risultato di esistenza di Alkan, Demange e Gale su Econometrica, e la versione pratica dell'enunciato è facile da portarsi dietro: se le valutazioni proprie di ciascun coinquilino sommano almeno l'affitto, esiste un'assegnazione delle stanze con prezzi che sommano l'affitto sotto i quali nessuno invidia nessuno, e nessuno paga la propria stanza più di quanto abbia detto che valesse. Non stai cercando qualcosa che potrebbe non esserci.

Tre coinquilini, tre stanze, calcolo completo

Ana, Ben e Clara scrivono ciascuno quanto vale per loro ogni stanza, con i propri tre numeri che sommano i 2 400 € di affitto. Ana lavora da casa e scambierebbe superficie con il bagno privato: A 750, B 600, C 1 050. Ben vuole la stanza più grande e nient'altro conta: A 1 050, B 750, C 600. Clara vuole luce e metratura e del bagno non le importa: A 900, B 900, C 600. Nessuno deve giustificare questi numeri; sono preferenze, e tutto il punto è che la procedura non ha bisogno che coincidano.

Ora esamina tutti e sei i modi di distribuire le stanze e somma ogni volta le offerte. Ana in A, Ben in B, Clara in C dà 750 + 750 + 600 = 2 100. Ana in A, Ben in C, Clara in B dà 750 + 600 + 900 = 2 250. Ana in B, Ben in A, Clara in C dà 600 + 1 050 + 600 = 2 250. Ana in B, Ben in C, Clara in A dà 600 + 600 + 900 = 2 100. Ana in C, Ben in B, Clara in A dà 1 050 + 750 + 900 = 2 700. E Ana in C, Ben in A, Clara in B dà 1 050 + 1 050 + 900 = 3 000, il vincitore netto. Ciascuno ottiene la stanza che voleva di più: piacevole coincidenza in questo esempio e non lo scopo della regola — la regola massimizza il totale, non un individuo.

Il totale vincente, 3 000, supera l'affitto di 600. Quell'avanzo è il guadagno di assegnare le stanze a chi le valuta di più; appartiene alla casa e non a un singolo, quindi si divide in tre: 200 a testa. Il prezzo di ciascuno è allora la propria offerta meno la propria quota di avanzo. Ana paga 1 050 − 200 = 850 € per la stanza C. Ben paga 1 050 − 200 = 850 € per la A. Clara paga 900 − 200 = 700 € per la B. I tre prezzi sommano 2 400 €, esattamente l'affitto, e non è fortuna: discende dal fatto che il totale vincente era 3 000 e che 600 sono stati restituiti.

Verifichiamo ora l'assenza di invidia, una persona alla volta. Ana valuta la sua stanza C 1 050 e paga 850, quindi il suo avanzo è 200; la stanza A le darebbe 750 − 850 = −100 e la B 600 − 700 = −100, entrambe peggiori. Ben valuta la A 1 050 e paga 850, avanzo 200; la B gli darebbe 750 − 700 = 50 e la C 600 − 850 = −250, entrambe peggiori di 200. Clara valuta la B 900 e paga 700, avanzo 200; la A le darebbe 900 − 850 = 50 e la C 600 − 850 = −250. Nove confronti, nessuna invidia, e gli avanzi sono uguali per costruzione, esattamente 200 ciascuno. Una cautela va detta: i prezzi a pari avanzo sono il primo candidato naturale, ma non sono privi di invidia in ogni problema. Quando una verifica fallisce, si aggiustano i prezzi finché tutte le disuguaglianze valgono insieme — è un piccolo programma lineare, ed è ciò che risolvono le implementazioni pubbliche.

Dove la divisione per superficie lascia qualcuno davvero invidioso

Fai passare le stesse tre persone e la stessa assegnazione attraverso i prezzi per superficie — stanza A a 1 080,00 €, B a 720,00 €, C a 600,00 € — e il difetto salta subito all'occhio. Ana nella C è felicissima: la valuta 1 050 e paga 600, un avanzo di 450. Clara nella B la valuta 900 e paga 720, un avanzo di 180. Ben nella A la valuta 1 050 e paga 1 080, quindi il suo avanzo è meno 30. Preferirebbe la stanza B di Clara a 720, che per lui vale 750 e gli lascerebbe più 30. Preferirebbe perfino la C di Ana a 600, che valuta esattamente 600, il che lo lascerebbe a zero. Ben invidia nettamente entrambi, e la misurazione che ha prodotto questo risultato era perfettamente esatta.

Nemmeno la divisione pesata salva la situazione, ed è il risultato più interessante. A 993,10 €, 662,07 € e 744,83 €, Ana conserva 305,17 di avanzo e Clara 237,93, mentre Ben ha 1 050 − 993,10 = 56,90 nella propria stanza e otterrebbe 750 − 662,07 = 87,93 in quella di Clara. La invidia ancora per 87,93 €. Aggiungere un coefficiente ha reso i numeri più fini senza renderli giusti, perché il peso esprimeva l'opinione del suo autore su quanto valga un bagno, e le uniche opinioni che contano sono le tre dell'appartamento.

Curiosamente, la divisione uguale non produce invidia stretta in questo appartamento: a 800 € a testa Ana conserva 250, Ben 250 e Clara 100, e Clara è esattamente indifferente fra la sua stanza a 800 e la A di Ana a 800. Ma guarda quegli avanzi: 250, 250, 100. Due persone ottengono due volte e mezzo il beneficio della terza, e Clara è a un'unità dall'invidia stretta. L'assenza di invidia è un pavimento, non un soffitto: una divisione può superarlo e distribuire comunque il guadagno in modo disuguale, ed è per questo che il metodo a offerte pareggia l'avanzo oltre a rimuovere l'invidia.

Spazi comuni, coppie e la regola che evita davvero la lite

Gli spazi comuni si sistemano da soli, e questo sorprende. Poiché ciascuno offre sull'intero pacchetto — una camera più la stessa cucina, lo stesso soggiorno e la stessa fila per il bagno degli altri — le aree comuni si annullano nel confronto, essendo identiche per tutti gli offerenti. Ciò che non si annulla è l'uso esclusivo: se chi occupa la stanza A ha l'unico balcone, o chi occupa la C tiene una bicicletta in ingresso, questo va scritto nella descrizione prima che qualcuno offra, altrimenti le offerte non riguardano gli stessi oggetti.

La coppia che condivide una stanza è il caso che si sbaglia più spesso, perché si mescolano due domande. Per l'affitto, una coppia in una camera è un solo offerente con un solo budget: occupa una stanza e presenta un solo insieme di numeri. Per tutto ciò che scala con il numero di persone, sono due: acqua, riscaldamento, elettricità, prodotti per le pulizie, fila per il bagno. La convenzione praticabile è dividere l'affitto per stanza con il metodo qui sopra e i consumi a testa, e metterlo per iscritto fin dall'inizio, perché la casa che scopre questo disaccordo al settimo mese ha una conversazione più difficile di quella che l'ha risolto la prima settimana.

Altre due previsioni risparmiano guai dopo. Decidete in anticipo che cosa succede quando qualcuno se ne va: o chi arriva prende semplicemente la stanza di chi parte al prezzo di quest'ultimo, il che è semplice e un po' ingiusto per un nuovo arrivato con gusti diversi, oppure si ridivide tutto l'appartamento con offerte nuove, il che è più equo e significa che l'affitto di tutti può muoversi. Entrambe vanno bene; non decidere no. E verifica come è scritto il tuo contratto, perché chi deve che cosa al locatore è una questione giuridica distinta da chi deve che cosa a chi: un contratto unico con clausola di solidarietà può rendere ogni inquilino responsabile dell'intero affitto a prescindere da qualsiasi accordo privato — leggi quindi il contratto e, dove conta, chiedi un parere locale.

Domande frequenti

Perché le mie offerte devono sommare l'affitto totale?

Perché quel vincolo rende confrontabili i numeri di persone diverse. Senza, un coinquilino potrebbe gonfiare tutto e un altro sgonfiare tutto, e i totali misurerebbero entusiasmo anziché preferenza. Chiedere che i tre numeri di ciascuno sommino l'affitto trasforma l'esercizio nella ripartizione della stessa somma: a portare informazione è la forma delle tue offerte — di quanto una stanza vale per te più di un'altra — non il loro livello. È anche ciò che regge la garanzia: quando i valori di ciascuno sommano almeno l'affitto, esiste un insieme di prezzi senza invidia in cui nessuno paga la propria stanza più di quanto abbia detto che valesse.

E se due persone offrono di più per la stessa stanza?

Non si rompe nulla; è esattamente il caso per cui la procedura è costruita. L'assegnazione è scelta per massimizzare la somma delle offerte su tutte le stanze, non stanza per stanza: una delle due la ottiene e i prezzi si aggiustano perché all'altra non importi. In pratica chi ottiene la stanza contesa la paga visibilmente di più e l'altra è compensata con un prezzo minore sulla propria, e la verifica di invidia conferma che la compensazione basta. Se la verifica fallisce ai prezzi a pari avanzo, si spostano i prezzi finché ogni disuguaglianza vale — il risultato di esistenza garantisce che una soluzione c'è.

Si può manipolare la procedura offrendo strategicamente?

In linea di principio sì, e in pratica gli incentivi sono abbastanza sgradevoli da scoraggiarlo. Sopravvalutare una stanza alza il prezzo che paghi se la ottieni, e sottovalutarne una rischia di farti assegnare una stanza che non volevi a un prezzo calcolato dalla tua stessa sottovalutazione. Due salvaguardie contano più di qualsiasi teoria. Primo, le offerte devono essere segrete e rivelate simultaneamente, perché una rivelazione in sequenza permette all'ultimo di giocare contro le persone anziché sulle stanze. Secondo, tutti devono sapere prima di offrire come saranno calcolati i prezzi, così che nessuno debba indovinare il meccanismo mentre indovina le stanze.

Il metodo funziona con quattro, cinque o più coinquilini?

Sì, e la matematica non cambia; cresce solo la ricerca. Tre persone danno sei assegnazioni possibili, quattro ventiquattro, cinque centoventi, e a un certo punto verificarle a mano smette di avere senso. Il passo che stai eseguendo è il classico problema di assegnamento, che algoritmi standard risolvono efficientemente a qualsiasi dimensione, e il passo dei prezzi resta un piccolo sistema di disuguaglianze. Esistono implementazioni pubbliche — lo strumento di divisione dell'affitto di Spliddit e l'interattivo costruito sul metodo di Su sono i più noti — quindi oltre le quattro stanze usa un solutore anziché un foglio di calcolo e un sabato pomeriggio.

Come va contata una coppia che condivide una camera?

Separa le due domande. Per l'affitto sono un solo offerente con un solo budget: occupano una stanza, presentano un solo insieme di valori che somma l'affitto e pagano un solo prezzo. Per tutto ciò che scala con il numero di persone in casa — acqua, riscaldamento, elettricità, prodotti per le pulizie e la pressione reale su bagno e cucina — sono due, e una divisione a testa di quelle spese è il trattamento onesto. Concordatelo prima che qualcuno si trasferisca e mettetelo per iscritto, perché è uno dei due o tre disaccordi che riemergono immancabilmente e che è difficilissimo risolvere una volta che qualcuno si sente in credito da mesi.

Un accordo privato cambia ciò che dobbiamo al locatore?

No, ed è qui che la divisione equa finisce e comincia il diritto delle locazioni. Chi deve che cosa a chi dentro l'appartamento è un accordo privato fra coinquilini; chi deve che cosa al locatore lo determina il contratto. Un contratto unico, soprattutto con clausola di solidarietà, può rendere ogni inquilino responsabile verso il locatore per l'intero affitto a prescindere dalla divisione interna, quindi un coinquilino che smette di pagare espone gli altri per l'intera somma. Contratti separati per stanza funzionano in modo diverso ancora. Leggi il documento e, quando la posta lo giustifica, chiedi un parere nel paese in cui affitti anziché affidarti a una descrizione generale.