La formula della rata spiegata — e perché allungare la durata conviene soprattutto al finanziatore

Che cosa fa davvero ogni lettera della formula

R = P·i·(1+i)^n ÷ ((1+i)^n − 1) sembra arbitraria finché non se ne vede l'origine. Un prestito è uno scambio: il finanziatore consegna P oggi, il debitore restituisce n pagamenti uguali. Perché lo scambio sia equo al tasso pattuito, il valore attuale di quegli n pagamenti deve essere pari a P. Attualizzare una rata costante R su n periodi dà R·(1 − (1+i)^−n) ÷ i; porre quell'espressione uguale a P e risolvere in R produce la formula. Ogni termine ha un compito: (1+i)^n misura di quanto cresce un'unità di moneta su tutta la durata, il numeratore applica gli interessi all'intero capitale, il denominatore distribuisce quell'onere sulle rate.

La trappola è i. È il tasso periodale, non quello annuo, e in quasi ogni contratto al consumo vale il tasso nominale annuo diviso 12 e non la radice dodicesima di uno più il tasso annuo. Su un prestito al 6 per cento, i vale esattamente 0,005. Quella convenzione implica che il tasso effettivo annuo sia un po' sopra quello dichiarato — 1,005 elevato a dodici fa 1,0617, cioè 6,17 per cento — il che spiega in parte perché un TAEG coincida di rado con il tasso nominale dello stesso contratto. Sbaglia i usando il tasso annuo, o n usando anni invece di mesi, e il risultato non è leggermente diverso: è un altro prestito.

Raddoppiare la durata guadagna il 29 per cento e costa il 123

La rata non è proporzionale alla durata, perché gli interessi si compongono. Allunga 300 000 € al 6 per cento da 15 a 30 anni e la rata scende da 2 532 € a 1 799 € — il 29 per cento in meno per un impegno doppio. Gli interessi totali, invece, salgono da 155 683 € a 347 515 €, cioè il 123 per cento in più. La ragione si legge nella formula: quando n cresce, cresce con lui (1+i)^n, così numeratore e denominatore si gonfiano insieme e il rapporto si appiattisce. Oltre un certo punto la rata tende ai soli interessi sul capitale — qui 1 500 € al mese — e nessun allungamento la porta più in basso.

Il modo più netto per vedere che cosa sia davvero la durata lunga: chi firma a 30 anni tiene 733 € al mese che chi firma a 15 non ha, per 180 mesi, cioè 131 925 € di liquidità in più. Poi, dall'anno 16 al 30, versa 180 rate da 1 799 € che l'altro non versa, cioè 323 757 €. Sottrai l'una dall'altra e ottieni 191 832 € — esattamente gli interessi aggiuntivi. Non è stato creato nulla: 131 925 € di respiro di cassa sono stati comprati al prezzo di 323 757 € di pagamenti successivi. Se sia un buon scambio dipende interamente da che cosa fa il denaro liberato. Se rende più del 6 per cento netto d'imposta, vince la durata lunga; se finanzia spesa corrente, no.

Perché i primi anni sembrano non cambiare nulla

Poiché gli interessi maturano sul capitale residuo, la ripartizione dentro una rata costante si sposta mese dopo mese. La prima rata del prestito a 30 anni è fatta di 1 500 € di interessi e 299 € di capitale: l'83 per cento non tocca mai il debito. Nella versione a 15 anni gli stessi 1 500 € di interessi stanno dentro una rata da 2 532 €, quindi il 59 per cento va agli interessi e 1 032 € al capitale già dal primo mese. Quella sola differenza di struttura riassume l'intera tabella qui sopra.

Fai correre il piano a 30 anni e l'effetto è brutale. Dopo dieci anni il debitore ha versato 215 838 € — più di due terzi della somma presa a prestito — e deve ancora 251 057 €. Se ne sono andati solo 48 943 € di capitale; 166 895 € sono finiti in interessi. Il capitale non si dimezza fino al mese 252, ventun anni dentro una durata di trenta. Sul prestito a 15 anni quel punto di mezzo arriva al mese 110, a nove anni e due mesi. Ecco perché uno shock di pagamento tardivo su una durata lunga è così pericoloso: il patrimonio che permetterebbe di rifinanziare o vendere per uscirne semplicemente non si è ancora formato.

Domande frequenti

La rata comprende imposte, assicurazione e spese?

No. La formula restituisce solo capitale e interessi. Imposta sull'immobile, polizze casa e vita, commissioni di garanzia, spese di conto e ogni commissione di istruttoria restano fuori, e su un mutuo possono aggiungere un quinto o più a quanto esce davvero dal conto ogni mese. Cambiano anche il costo effettivo del credito: per questo il TAEG — che incorpora le spese obbligatorie — è il numero con cui confrontare le offerte, non la rata. Chiedi a ogni finanziatore il costo totale del credito accanto all'importo mensile.

Perché il numero della mia banca differisce dalla formula di poche unità?

Tre cose spiegano quasi ogni piccolo scarto. Primo, l'arrotondamento: i finanziatori arrotondano la rata al centesimo o all'unità e assorbono il resto nell'ultima, spesso più grande o più piccola delle altre di qualche unità. Secondo, la convenzione di calcolo: alcuni contratti maturano interessi su giorni effettivi invece che per dodicesimi, così un mese di 31 giorni costa un filo più di uno da 30. Terzo, spese incorporate nella rata — un premio assicurativo mensile o costi di conto — che la formula non vede mai. Differenze di poche unità sono normali; differenze di decine vogliono dire che stai confrontando due tassi o due durate diversi.

Che cosa riduce di più gli interessi: una durata più breve o un tasso più basso?

Su questo prestito sono quasi equivalenti, ed è una sorpresa utile. Dimezzare la durata da 30 a 15 anni al 6 per cento porta gli interessi da 347 515 € a 155 683 €, un risparmio di 191 832 €. Dimezzare il tasso dal 6 al 3 per cento mantenendo 30 anni li porta a 155 332 €, un risparmio di 192 183 € — a 351 € dall'altro. La differenza pratica è che la durata la scegli tu e il tasso quasi mai, e che la durata breve chiede 733 € in più ogni mese mentre il tasso più basso non chiede nulla. Se un taglio di tasso è accessibile con una surroga, prendilo e tieni la durata; altrimenti la durata è l'unica leva che controlli.