Piano di accumulo: che cosa compri davvero

L'identità che quasi nessuno enuncia: il tuo costo medio è una media armonica

Supponi di spendere un importo fisso C in ciascuno di n periodi, ai prezzi p₁ … pₙ. Le quote comprate nel periodo i sono C ÷ pᵢ, quindi le quote totali sono C·Σ(1 ÷ pᵢ) e la spesa totale nC. Il tuo costo medio per quota è la seconda diviso la prima: nC ÷ [C·Σ(1 ÷ pᵢ)] = n ÷ Σ(1 ÷ pᵢ). Quell'espressione è la definizione della media armonica dei prezzi. La C si semplifica, quindi il risultato non dipende da quanto investi, solo dal fatto che l'importo sia costante.

Cambia ora la regola. Compra un numero fisso di quote U ogni periodo invece di spendere un importo fisso. La spesa totale è U·Σpᵢ e le quote totali nU, quindi il costo medio è Σpᵢ ÷ n — la media aritmetica dei prezzi, che è anche semplicemente il prezzo medio che citerebbe un osservatore passivo. Le due regole producono due medie diverse esattamente della stessa serie di prezzi, e questo è tutto il contenuto matematico del piano di accumulo.

Prendi un percorso concreto di dodici prezzi mensili: 100, 84, 72, 95, 120, 140, 105, 88, 76, 92, 130, 118. La media aritmetica è 101,6667. Spendere 200 € al mese compra 24,575589 quote per 2 400 €, cioè un costo medio di esattamente 97,6579 — e la media armonica di quei dodici prezzi è 97,6579 fino all'ultimo decimale che un calcolatore voglia stampare. Comprare 2 quote al mese costa invece 2 440,00 € per 24 quote, una media di esattamente 101,6667. Lo scarto è 4,0088, ovvero il 4,10 per cento della media armonica, ed è comparso per nessun'altra ragione che la forma della regola di spesa.

Perché la media armonica è sempre la minore delle due

La disuguaglianza non è una regolarità empirica, è un teorema. Per qualsiasi numero positivo, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz dà (Σpᵢ)·(Σ1÷pᵢ) ≥ n². Dividi entrambi i membri per n²: (Σpᵢ ÷ n) · (1 ÷ [n ÷ Σ(1÷pᵢ)]) ≥ 1, cioè media aritmetica ÷ media armonica ≥ 1. L'uguaglianza vale solo se ogni prezzo è identico. Quindi la media armonica è al più pari a quella aritmetica, sempre, per ogni percorso di prezzi mai esistito o che esisterà, senza alcuna ipotesi su tendenza, distribuzione o direzione del mercato.

L'ampiezza dello scarto è governata da quanto sono dispersi i prezzi. In buona approssimazione la differenza fra le due medie è la varianza dei prezzi divisa per la loro media aritmetica. Sul percorso sopra la deviazione standard di popolazione dei prezzi è 20,544 — un coefficiente di variazione del 20,21 per cento — e l'approssimazione dà 20,544² ÷ 101,6667 = 4,151 contro uno scarto reale di 4,009. Su un percorso più calmo, 100, 102, 98, 101, 103, 99, 100, 102, 101, 99, 100, 101, la media aritmetica è 100,5000, l'armonica 100,4809, e lo scarto crolla allo 0,019 per cento. Il beneficio è reale, è proporzionale alla dispersione dei prezzi, e su un attivo calmo si arrotonda a nulla.

Che cosa la media armonica non dimostra

Il confronto che il teorema stabilisce è fra un piano a importo fisso e uno a quantità fissa sugli stessi prezzi. Non è un confronto con l'investire tutto il giorno uno, e prenderlo per tale è dove vive quasi tutta la confusione su questo tema. Battere il prezzo medio è facile e un po' fuori tema: nemmeno l'investitore in un'unica soluzione ha pagato il prezzo medio. Ha pagato il primo prezzo, 100, che su questo percorso sta sotto entrambe le medie.

Su questo specifico percorso il piano vince davvero, e vale la pena vedere perché ciò non prova nulla. Dodici versamenti da 200 € comprano 24,575589 quote, che valgono 2 899,92 € al prezzo di chiusura di 118 — un guadagno del 20,83 per cento su 2 400 € spesi. Gli stessi 2 400 € impegnati al prezzo di apertura di 100 comprano 24 quote che valgono 2 832,00 €, un guadagno del 18,00 per cento. Il piano è avanti di 67,92 € perché questo percorso è caduto molto nel mezzo, e il denaro dell'acquirente mensile è arrivato quando i prezzi erano a 72, 76 e 88. Ribalta il percorso perché salga prima e scenda dopo e l'ordinamento si inverte con lui. Un percorso non prova nulla; una distribuzione sì.

Il confronto onesto: 200 000 percorsi simulati

I parametri vanno dichiarati, perché sono ipotesi e non osservazioni: un orizzonte di dodici mesi, 12 000 € da investire, rendimenti mensili lognormali con media aritmetica dell'8 per cento annuo e volatilità annualizzata del 20 per cento, e il 2 per cento annuo sulla liquidità non ancora investita. L'investitore in un'unica soluzione mette 12 000 € il giorno uno. Quello del piano mette 1 000 € all'inizio di ciascuno dei dodici mesi e incassa il tasso di liquidità sul saldo in attesa. Entrambi sono valutati alla fine del dodicesimo mese. Nessuna commissione, nessuna imposta, nessuno spread — aggiungerli non cambia la direzione del risultato.

La simulazione non serve per ottenere le attese, il che permette di verificarla. La ricchezza investita attesa del piano è Σ 1 000·(1,08)^((12−t)÷12) per t = 0 … 11, cioè 12 513,89 €, più 110,39 € di interessi sulla liquidità, per un totale di 12 624,28 €. L'attesa del versamento unico è semplicemente 12 000 € × 1,08 = 12 960,00 €. Lo scarto è 335,72 € e le medie simulate, 12 623 € e 12 960 €, ci cadono sopra. La ragione non è sottile: ogni euro del piano è investito in media 6,5 mesi anziché 12, quindi guadagna all'incirca metà del rendimento atteso, e nel frattempo metà del denaro giace su un conto poco remunerato.

È nella distribuzione che il piano si guadagna il posto, e la tabella sopra la dà per intero. La deviazione standard della ricchezza finale del piano è 1 559 € contro 2 625 € — il 41 per cento in meno. Il suo quinto percentile è 10 262 € contro 9 142 €, quindi nel peggior percorso su venti il piano sta 1 120 € meglio. Il suo novantacinquesimo percentile è 15 352 € contro 17 661 €, quindi nel migliore su venti sta 2 309 € peggio. Le due affermazioni sono la stessa affermazione. Il piano ha ceduto 2 309 € di rialzo per comprare 1 120 € di protezione al ribasso, ed è finito avanti nel 44,43 per cento dei percorsi.

Due varianti affinano il quadro. Alza la volatilità al 40 per cento e il piano vince sul 53,39 per cento dei percorsi e sulla mediana — 12 187 € contro 11 958 € — mentre lo scarto della media resta a 340 €, perché la media è governata dal tempo sul mercato e la mediana dalla forma della distribuzione. Porta il rendimento atteso a zero e il piano vince sul 57,47 per cento dei percorsi e anche sulla media, con 12 109 € contro 12 000 €. È questa la regola generale detta con pulizia: il costo del piano è il rendimento atteso a cui rinuncia tenendo liquidità, quindi dove non c'è rendimento atteso non c'è costo. Togli il 2 per cento sulla liquidità e la media del piano scende a 12 513 € e il suo tasso di vittoria al 41,15 per cento, promemoria che dove il denaro aspetta fa parte della decisione.

La vera ragione per cui lo si usa, ed è buona

L'argomento della ricchezza attesa presuppone un investitore che esegua con calma, una volta, il piano che l'aritmetica raccomanda. Gli investitori reali affrontano una decisione che devono continuare a prendere, e il piano rateizzato è molto spesso quello che seguiranno davvero. Mettere il risparmio di un anno intero in un mercato in una sola mattina richiede una tolleranza al rimpianto che molti scoprono, tardi, di non avere; un piano già impostato e automatizzato non richiede nulla nel mese in cui i prezzi scendono, che è esattamente il mese in cui un investitore discrezionale si ferma.

È un vantaggio reale e non è misurato da nessuna parte nella tabella sopra, perché la simulazione confronta due piani entrambi eseguiti. Il confronto che un privato affronta davvero è spesso fra un piano rateizzato eseguito e un versamento unico abbandonato — e contro un piano che non avviene mai, 12 623 € è un ottimo numero. L'inquadramento onesto è quindi: il costo atteso della rateizzazione, sotto queste ipotesi, è di circa 337 € su 12 000 € in un anno, ovvero il 2,8 per cento della somma, ed è il prezzo di un piano che manterrai. Se valga la pena pagarlo è una domanda su di te, non sull'aritmetica.

Il caso in cui domina davvero

Tutto quanto precede confronta un piano con un versamento unico. Quel confronto presuppone che una somma esista. Per la maggior parte di chi risparmia dal reddito, non esiste: il denaro arriva mensilmente, e il contributo di ogni mese viene investito appena esiste. Non c'è alcuna strategia alternativa a cui si rinunci, nessuna liquidità ferma, nessun rendimento atteso ceduto. Investire il risparmio di ogni mese nel mese in cui arriva è semplicemente investire subito — è la strategia del versamento unico, applicata dodici volte a dodici piccole somme.

La distinzione conta perché le due situazioni ricevono lo stesso nome e solo una comporta un costo. Se hai ereditato, venduto qualcosa o incassato un bonus, e il denaro sta fermo su un conto, rateizzarlo ha un costo atteso misurabile e compra una riduzione di dispersione misurabile: puoi pesare i due l'uno contro l'altro con le cifre sopra. Se investi una quota di ogni stipendio, non c'è nulla da pesare. L'effetto della media armonica è allora un bonus autentico e gratuito: il tuo costo medio sull'anno risulterà comunque sotto il prezzo medio, senza alcuna spesa, unicamente perché un contributo fisso compra più quote quando i prezzi sono bassi.

Domande frequenti

Il piano di accumulo batte il versamento unico?

Non sulla ricchezza finale attesa, con le ipotesi usate qui. Su dodici mesi con 12 000 €, un 8 per cento di rendimento medio ipotizzato, 20 per cento di volatilità e 2 per cento sulla liquidità in attesa, il versamento unico media 12 960 € e il piano mensile 12 623 € — un ammanco di 337 €, ovvero il 2,8 per cento della somma. La ragione è il tempo sul mercato: ogni euro del piano è investito in media 6,5 mesi anziché 12. Il piano vince sul 44,43 per cento dei 200 000 percorsi simulati. Ciò che compra è una deviazione standard il 41 per cento più bassa e un quinto percentile migliore di 1 120 €. Cambia l'ipotesi in rendimento atteso nullo e il piano vince anche sulla media, con 12 109 € contro 12 000 € — il che mostra che il costo è esattamente il rendimento a cui si rinuncia, nulla di più.

Il vantaggio della media armonica è reale o un trucco di presentazione?

È reale ed è dimostrabile, ma risponde a una domanda più stretta di quanto sembri. È un teorema che spendere un importo fisso produce un costo medio pari alla media armonica dei prezzi, mai superiore a quella aritmetica — 97,66 contro 101,67 sul percorso di questo articolo, un vantaggio del 4,10 per cento. È un'affermazione vera sul tuo costo rispetto al prezzo medio della stessa finestra. Non è un'affermazione sul tuo costo rispetto a qualsiasi altra strategia, e in particolare l'acquirente in un'unica soluzione ha pagato il primo prezzo, non quello medio, quindi il teorema non dice nulla su chi dei due se la cava meglio. Lo scarto inoltre si riduce quasi a nulla quando i prezzi sono stabili: su un percorso calmo di questo articolo era dello 0,019 per cento.

Su quanti periodi dovrei distribuire il denaro?

I due effetti tirano in direzioni opposte ed entrambi scalano con la lunghezza del calendario. Un calendario più lungo lascia più denaro in liquidità più a lungo, quindi il costo atteso sale all'incirca in proporzione; con le ipotesi qui usate, distribuire 12 000 € su dodici mesi costa circa 337 € in attesa, e un calendario lungo il doppio lascerebbe ogni euro investito 12,5 mesi su 24 anziché 6,5 su 12, con un costo proporzionalmente maggiore. Un calendario più lungo riduce anche di più la dispersione, ma con rendimenti decrescenti, dato che buona parte della riduzione di varianza è già ottenuta nelle prime rate. Non esiste un ottimo valido per tutti, perché lo scambio contrappone una quantità calcolabile a una tolleranza che solo tu puoi valutare. Ciò che conviene evitare è un calendario così lungo che sia l'allocazione in liquidità, e non l'investimento, a determinare il risultato.

Un piano mensile alimentato dallo stipendio ha lo stesso svantaggio?

No, ed è la distinzione più importante del tema. Il costo atteso di un piano rateizzato è il rendimento a cui si rinuncia lasciando il denaro in liquidità invece di investirlo. Se il denaro non esiste ancora — perché arriva con ogni stipendio — non c'è liquidità ferma e non si rinuncia a nulla. Investire il contributo di ogni mese appena arriva è investire subito, non rateizzare. In quella situazione l'effetto della media armonica è un bonus gratuito: il tuo costo medio sull'anno risulta sotto il prezzo medio unicamente perché un contributo fisso compra più quote quando i prezzi sono bassi. Il confronto col versamento unico semplicemente non si applica, perché non c'è mai stata una somma da impiegare.

Le commissioni di transazione cambiano la conclusione?

Spingono nella stessa direzione dell'effetto sul rendimento atteso, quindi allargano lo scarto invece di chiuderlo. Un piano effettua dodici acquisti dove un versamento unico ne fa uno, quindi ogni onere fisso per ordine si paga dodici volte; 2 € per ordine costano 24 € contro 2 €, e su 12 000 € sono un ulteriore 0,18 per cento ceduto. Le commissioni percentuali e gli spread sono in linea di massima neutri, poiché scalano con l'importo trattato e non col numero di operazioni. Conseguenze pratiche: preferire, per un piano regolare, un intermediario senza onere per ordine, e diffidare dei calendari molto frequenti — un piano settimanale paga quattro volte i costi fissi di uno mensile per una riduzione aggiuntiva di dispersione piccola.