La volatilità non è il rischio, e la radice del tempo è una scelta

Da dove viene davvero la radice quadrata

Volatilità significa deviazione standard dei rendimenti, ma una deviazione standard esiste solo rispetto a un periodo. Una deviazione standard giornaliera e una mensile sono numeri diversi che descrivono lo stesso attivo, quindi per confrontare qualcosa bisogna concordare un periodo, e la convenzione è l'anno. Il ponte è: volatilità annualizzata = deviazione standard del periodo × √(periodi per anno).

La derivazione sta in due righe. Il rendimento annuo è la somma dei rendimenti di periodo — in logaritmi, esattamente. La varianza di una somma di variabili casuali indipendenti è la somma delle loro varianze, quindi se ci sono n periodi nell'anno e ciascuno ha varianza σ², la varianza annua è nσ². Prendi la radice e la deviazione standard annua è σ√n. È tutto. Per dati giornalieri su un attivo che tratta ogni giorno, √365 = 19,105; per un mercato con 252 sedute, √252 = 15,875; il settimanale dà √52 = 7,211; il mensile dà √12 = 3,464; il trimestrale dà esattamente 2.

Nota che cosa si è dovuto ipotizzare per arrivarci: che i rendimenti consecutivi siano indipendenti, così che i termini di covarianza nella varianza della somma si annullino tutti. Nulla nei dati lo garantisce. La radice del tempo è conseguenza di un modello di come si muovono i prezzi — incrementi indipendenti — e quando il modello è sbagliato, il fattore lo è con lui. È questa la differenza fra un'operazione aritmetica e una scelta di modellazione, e quasi ogni dato di volatilità che leggerai è citato come se fosse la prima.

Di quanto si muove la risposta quando i rendimenti non sono indipendenti

Tieni l'ipotesi di varianza costante per periodo ma consenti ai rendimenti di essere serialmente correlati con coefficiente ρ a decadimento geometrico. La varianza di una somma di n periodi è allora σ²·[n + 2·Σₖ₌₁^(n−1)(n − k)·ρᵏ] invece di nσ². Dividi per nσ² e ottieni un rapporto di varianze che dice esattamente di quanto sbaglia la scalatura ingenua.

Prendi un attivo la cui deviazione standard giornaliera è del 3,141 per cento — esattamente il dato che si annualizza al 60,0 per cento sotto l'ipotesi di indipendenza con 365 giorni. Se l'autocorrelazione giornaliera è 0,05, la volatilità annualizzata onesta è del 63,1 per cento e il dato pubblicato sottostima del 4,9 per cento. A 0,1 è del 66,3 per cento, sottostima del 9,5. A 0,2 è del 73,4 per cento, sottostima del 18,3. I mercati in tendenza, guidati dal momentum, stanno da questo lato della linea, e la formula standard ti dice che sono più calmi di quanto siano.

La correzione va nel senso opposto per serie che tornano alla media. Con un'autocorrelazione giornaliera di −0,1 il dato annualizzato onesto è del 54,3 per cento invece del 60,0, e con −0,2 è del 49,0: la formula standard sopravvaluta rispettivamente del 10,5 e del 22,4 per cento. Nessuna delle due direzioni è un effetto piccolo, e nessuna è visibile in un dato di volatilità citato da solo. Ogni volta che una volatilità conta — dimensionare una posizione, prezzare un'opzione, confrontare due attivi — vale la pena misurare l'autocorrelazione della serie sottostante prima di applicare il fattore √t.

Rendimenti logaritmici, semplici, e perché la formula vuole i primi

Un rendimento semplice è (P₁ − P₀) ÷ P₀. Uno logaritmico è ln(P₁ ÷ P₀). La derivazione sopra richiedeva che il rendimento annuo fosse la somma di quelli di periodo, cosa vera per i logaritmici e falsa per i semplici. Due mesi di +50 e −50 per cento sommano zero come rendimenti semplici; il risultato reale è 1,50 × 0,50 − 1 = −25 per cento. Come logaritmici sommano ln(1,5) + ln(0,5) = −28,768 per cento, ed exp(−0,28768) − 1 = −25 per cento esattamente. Solo una delle due convenzioni ha l'additività da cui dipende l'argomento sulla varianza.

Per movimenti piccoli i due coincidono, ed è per questo che la scelta di solito è invisibile. Un rendimento semplice dell'1 per cento è uno logaritmico dello 0,995, una differenza di 0,005 punti. Al 5 per cento il divario è di 0,121 punti, al 10 per cento di 0,469, al 20 per cento di 1,768 e al 50 per cento di 9,453. Anche le perdite divergono, e in modo asimmetrico: un rendimento semplice del −20 per cento è −22,314 per cento logaritmico, e uno del −50 per cento è −69,315. Su un indice tranquillo la convenzione conta poco. Su un attivo che si muove regolarmente del 10 o 20 per cento in un giorno, la volatilità calcolata su rendimenti semplici e quella calcolata su logaritmici sono numeri diversi, e solo uno appartiene alla formula del √t.

C'è una seconda dipendenza, più silenziosa: la frequenza di campionamento scelta. Un attivo con il 60 per cento di volatilità annualizzata ha una deviazione standard giornaliera del 3,141 per cento, settimanale dell'8,321 e mensile del 17,321. Sono la stessa volatilità espressa in tre modi, finché regge l'ipotesi di indipendenza — e quando non regge, si annualizzano in tre numeri diversi. Campionare a ore anziché a giorni sullo stesso attivo raccoglie rumore di microstruttura che non fa parte del rischio che interessa a chicchessia, e √8760 = 93,595 lo amplifica. Scegliere una frequenza è scegliere che cosa conta come movimento di prezzo.

Freno da volatilità: perché un rendimento medio positivo può comunque perdere denaro

È qui che ci sono i soldi. La media di un insieme di rendimenti e il tasso a cui il denaro capitalizza davvero attraverso di essi sono due grandezze diverse, e la seconda è sempre la più piccola. La dimostrazione più pulita sta in due periodi: +50 per cento poi −50 per cento. La media aritmetica è zero. Il risultato composto è 1,5 × 0,5 = 0,75, una perdita del 25 per cento, e la media geometrica per periodo è √0,75 − 1 = −13,397 per cento. Nulla è andato storto; è ciò che fa una media quando le grandezze si moltiplicano invece di sommarsi.

L'ampiezza del divario è governata dalla volatilità. Per movimenti simmetrici di ±x con media aritmetica nulla, la media geometrica è √(1 − x²) − 1, e la deviazione standard di popolazione è esattamente x. A ±10 per cento la media geometrica è −0,501 per cento contro un −σ² ÷ 2 = −0,500 previsto. A ±20 per cento è −2,020 contro −2,000; a ±30 per cento, −4,606 contro −4,500; a ±50 per cento, −13,397 contro −12,500. La regola empirica — la media aritmetica supera il tasso composto di circa σ² ÷ 2 — è ottima a bassa volatilità e comincia a sottostimare il danno ad alta volatilità.

Applichiamolo ora a qualcosa che somigli a un investimento. Prendi un attivo i cui rendimenti hanno una media aritmetica dell'8,00 per cento annuo — un numero perfettamente rispettabile e inequivocabilmente positivo — e fai variare solo la volatilità. Con rendimenti lognormali il tasso di crescita composto è esatto e non approssimato, e la tabella sopra riporta entrambi. Al 10 per cento di volatilità l'attivo capitalizza al 7,46 per cento. Al 30 per cento capitalizza al 3,25 per cento, avendo perso più di metà del suo rendimento medio alla sola variabilità. Al 39,23 per cento di volatilità capitalizza esattamente a zero. Al 60 per cento capitalizza al −9,79 per cento annuo: rendimento medio positivo, e 10 000 € diventano 3 569 € in dieci anni.

Una simulazione da 400 000 estrazioni conferma la forma chiusa anziché sostituirla: al 30 per cento di volatilità la media semplice simulata è risultata del 7,97 per cento con un tasso composto del 3,23; al 60 per cento, 8,24 per cento e −9,65. La volatilità di pareggio per un rendimento medio dell'8 per cento è del 39,23 per cento — sopra quel valore il rendimento medio è positivo e il denaro si riduce. È questo il meccanismo dietro il classico avvertimento che i prodotti a leva con ribilanciamento giornaliero non seguono il loro indice su lunghi periodi di detenzione: moltiplicare per due il rendimento giornaliero moltiplica il freno per quattro.

Perché la volatilità non è la stessa cosa del rischio

La volatilità misura quanto si muovono i prezzi. Il rischio è la possibilità di un esito che non puoi accettare. Si sovrappongono ma non sono la stessa cosa, e tre distanze contano. Primo, la volatilità è simmetrica: conta allo stesso modo un rialzo del 10 per cento e un ribasso del 10, punto sviluppato a lungo nell'articolo compagno sull'indice di Sharpe. Secondo, la volatilità è misurata sui rendimenti avvenuti, quindi è cieca a una perdita non ancora accaduta — un attivo può essere perfettamente calmo fino al momento in cui non lo è più, e nessuna quantità di dati passati conterrà l'evento. Terzo, la volatilità non dice nulla sulla permanenza: un indice diversificato che scende del 30 per cento e una singola posizione che scende del 30 si registrano allo stesso modo, benché solo uno dei due abbia un meccanismo per tornare.

Ciò per cui la volatilità serve davvero è il dimensionamento delle posizioni e il confronto. Un attivo con il 60 per cento di volatilità annualizzata passerà, sotto un'ipotesi di normalità già di per sé imperfetta, la maggior parte del tempo entro una banda di circa il 60 per cento attorno al suo trend, e questo basta per decidere quanto puoi tenerne senza che l'intero esito del portafoglio ne dipenda. È inoltre l'input corretto per prezzare un'opzione e il denominatore corretto quando si confrontano due rendimenti. Non è un'affermazione su quanto puoi perdere.

Che cosa dichiarare ogni volta che citi una volatilità

Quattro cose, nessuna facoltativa. La frequenza di campionamento, perché dati orari, giornalieri, settimanali e mensili danno risposte diverse per lo stesso attivo. La finestra, perché una volatilità calcolata su 30 giorni e una su due anni descrivono periodi diversi e non sono intercambiabili. La convenzione di rendimento, logaritmica o semplice, perché divergono appena i movimenti sono ampi. E il fattore di annualizzazione effettivamente usato, dato che 365 e 252 differiscono del 20 per cento ed entrambi sono difendibili a seconda che l'attivo tratti o meno tutti i giorni.

Un'ultima distinzione da tenere ferma: tutto quanto precede è volatilità realizzata, calcolata all'indietro su prezzi già avvenuti. La volatilità implicita è un oggetto del tutto diverso — è il valore di volatilità che fa sì che un modello di prezzatura riproduca il prezzo scambiato di un'opzione, quindi un numero prospettico estratto da ciò che le persone pagano e non una misurazione di ciò che è accaduto. Le due si citano nelle stesse unità e vengono confuse di continuo, e rispondono a domande diverse.

Domande frequenti

Devo annualizzare con 365 giorni o 252?

Usa il numero di periodi in cui l'attivo può davvero muoversi. Un mercato che chiude nei fine settimana e nei festivi produce circa 252 osservazioni all'anno, quindi √252 = 15,875 è corretto; un attivo che tratta in continuo ne produce 365, quindi √365 = 19,105 è corretto. I due differiscono del 20,4 per cento, troppo per lasciarlo sottinteso: la stessa deviazione standard giornaliera del 3,141 per cento si annualizza al 60,0 per cento su 365 giorni e al 49,9 su 252. Ciò che non va fatto è confrontare un dato calcolato in un modo con uno calcolato nell'altro, che è esattamente ciò che accade quando si affianca un attivo a negoziazione continua a uno di borsa senza verificare la convenzione.

Una volatilità più alta significa sempre un investimento peggiore?

No, ma significa sempre un divario maggiore fra rendimento medio e rendimento composto, e quel divario cresce col quadrato della volatilità. Raddoppiare la volatilità dal 20 al 40 per cento non raddoppia il freno da 2,00 a 4,00 punti — lo quadruplica a 8,00. Per questo la domanda non è se un attivo sia volatile ma se il suo rendimento medio basti a pagare la propria volatilità. All'8 per cento di rendimento medio la soglia è al 39,23 per cento di volatilità. Un attivo che media il 25 per cento potrebbe reggere il 60 per cento di volatilità e capitalizzare comunque in positivo; uno che media l'8 per cento no. Il dato di volatilità da solo non risponde a nulla.

Perché due siti riportano volatilità diverse per lo stesso attivo?

Perché almeno quattro scelte entrano nel numero e quasi nessuno le pubblica tutte e quattro. La frequenza di campionamento cambia la risposta appena i rendimenti non sono indipendenti. La finestra di osservazione la cambia sempre — 30 giorni e 730 giorni descrivono periodi diversi. La convenzione di rendimento la cambia appena i movimenti sono ampi, dato che un rendimento semplice del −20 per cento è −22,314 per cento logaritmico. E il fattore di annualizzazione la cambia del 20,4 per cento fra 252 e 365. Aggiungi la scelta fra deviazione standard campionaria e di popolazione, che conta su finestre brevi, e due calcoli onesti dello stesso attivo su grosso modo lo stesso periodo possono differire di un terzo. Prima di confrontare due volatilità, verifica che tutte e quattro le convenzioni coincidano; se una pagina non le dichiara, il suo numero non è riproducibile.

Il freno da volatilità è un costo reale o un'illusione contabile?

È del tutto reale, nel senso che è la differenza fra il denaro con cui finisci e quello che il rendimento medio suggerisce dovresti avere. Non è una commissione, e nessuno la incassa: è una proprietà della moltiplicazione. L'esempio a due periodi chiude la questione — +50 per cento poi −50 per cento fanno media zero e ti lasciano il 75 per cento di quanto avevi, e una media non si spende. Illusoria è la media aritmetica stessa, che descrive un singolo periodo tipico e non l'esito di una sequenza di periodi. Se la domanda è quanto denaro avrai, il tasso di crescita composto è l'unico numero rilevante, ed è sempre pari o inferiore alla media aritmetica, con uguaglianza solo se ogni rendimento di periodo è identico.

Quante osservazioni servono perché una stima di volatilità sia utilizzabile?

Più di quante ne usi la maggior parte delle persone, e il requisito cresce se i rendimenti sono lontani dalla normalità. L'errore standard di una deviazione standard stimata cala all'incirca come uno diviso la radice della dimensione campionaria, quindi passare da 30 osservazioni a 120 dimezza l'incertezza e passare da 120 a 480 la dimezza di nuovo. È il motivo per cui una volatilità a 30 giorni si muove così tanto da una settimana all'altra: gran parte del movimento è rumore di stima e non un cambiamento dell'attivo sottostante. Il compromesso è reale, poiché una finestra più lunga è più precisa su un periodo più remoto, che può non descrivere più il presente. La soluzione pratica è guardare due finestre — una breve e una lunga — e trattare una grande divergenza fra loro come informazione anziché come due numeri da mediare.