L'indice di Sharpe e ciò che dà per scontato senza dirlo

Una divisione, e che cosa conta davvero il denominatore

L'indice è (Rp − Rf) ÷ σp. Il numeratore è il rendimento ottenuto oltre quello che avrebbe pagato uno strumento privo di rischio — la parte attribuibile all'aver assunto rischio. Il denominatore è la deviazione standard della stessa serie di rendimenti sullo stesso periodo. Il quoziente si legge con chiarezza: unità di extra-rendimento per unità di volatilità. Un fondo che rende l'1,2167 per cento al mese contro un tasso privo di rischio mensile dello 0,15 per cento, con una deviazione standard mensile del 2,1595 per cento, segna (1,2167 − 0,15) ÷ 2,1595 = 0,4939.

Tutto ciò che segue nasce dalla scelta del denominatore. La deviazione standard misura la dispersione attorno alla media senza riguardo al segno: un'osservazione 4 punti sopra la media e una 4 punti sotto contribuiscono esattamente con lo stesso termine al quadrato. Una gestrice che batta ampiamente la propria media ne è penalizzata quanto un'altra che la manchi della stessa entità. Non è un difetto dell'aritmetica — è ciò che la deviazione standard è — ma significa che l'indice risponde a una domanda più stretta di quella che la maggior parte dei lettori crede di porre. Non misura il rischio. Misura la variabilità, e tratta la variabilità come sostituto del rischio.

Lo stesso William Sharpe fu prudente su questo. Il suo articolo del 1966 chiamava la misura rapporto ricompensa-variabilità, e la sua ripresa del 1994 precisa che il denominatore è la deviazione standard del rendimento differenziale e che l'intera costruzione è un concetto ex ante applicato, per necessità, a dati ex post. Il nome rimasto è meno prudente di quanto lo fossero gli articoli.

Due fondi, un solo indice di Sharpe: la costruzione a specchio

Ecco una serie di dodici mesi per il Fondo A, in percentuale: 0,4; 0,3; 0,5; −0,2; 6,2; 0,3; 0,5; 0,4; −0,1; 5,4; 0,4; 0,5. La sua media è 1,2167 e la deviazione standard campionaria 2,1595. Costruisci ora il Fondo B specchiando ogni osservazione attorno alla media di A — Bᵢ = 2μ − Aᵢ — il che dà 2,03; 2,13; 1,93; 2,63; −3,77; 2,13; 1,93; 2,03; 2,53; −2,97; 2,03; 1,93. La riflessione attorno alla media lascia la media dov'era e lascia ogni scarto della stessa ampiezza, quindi anche B ha media 1,2167 e deviazione standard 2,1595. L'indice di Sharpe è perciò identico: 0,4939 per entrambi, non approssimativamente ma esattamente, e resterebbe identico con qualsiasi tasso privo di rischio si volesse usare.

I due fondi non sono affatto equivalenti. Il mese peggiore di A è −0,2 per cento e la sua perdita massima 0,2 per cento; il mese peggiore di B è −3,77 per cento e la sua perdita massima 3,77 per cento, diciannove volte tanto. La dispersione di A sta quasi tutta al rialzo — due mesi eccezionali di 6,2 e 5,4 — mentre quella di B sta al ribasso. Entrambi capitalizzano più o meno allo stesso punto nell'anno, 15,34 per cento per A e 15,32 per B. Chiunque si veda offrire la scelta prende A, e non serve alcun calcolo per capire perché.

L'indice di Sortino li separa, perché cambia solo il denominatore. Si tiene lo stesso numeratore — rendimento medio meno un rendimento minimo accettabile, qui lo stesso tasso privo di rischio dello 0,15 per cento — e si sostituisce la deviazione standard con la deviazione al ribasso: la radice della media dei quadrati di min(rᵢ − MAR; 0), nulla per ogni mese sopra la soglia. La deviazione al ribasso di A è 0,1242 e il suo Sortino 8,59. Quella di B è 1,4449 e il suo Sortino 0,74. L'ordinamento che lo Sharpe non riusciva a esprimere — un fondo è 11,6 volte migliore — è esattamente ciò che il cambio di denominatore recupera.

Un'avvertenza su Sortino: non esiste una convenzione unica per il divisore dentro la deviazione al ribasso. Dividere la somma dei quadrati degli scarti negativi per il numero totale di osservazioni, come qui, è la scelta abituale e mantiene la misura confrontabile fra serie; dividere solo per il numero di periodi in perdita dà un numero diverso, più grande, e un ordinamento diverso. Un Sortino senza la convenzione dichiarata è scivoloso quanto uno Sharpe senza la frequenza dichiarata.

La radice di dodici è una scelta, non aritmetica

Gli indici di Sharpe si citano su base annua ma si calcolano su osservazioni mensili o giornaliere. Il ponte che tutti usano è moltiplicare l'indice di periodo per la radice del numero di periodi nell'anno: √12 = 3,4641 per dati mensili, √252 ≈ 15,87 per dati giornalieri. Quel fattore viene dalla varianza di una somma. Se dodici rendimenti mensili sono indipendenti, la varianza della loro somma è dodici volte quella di uno solo, quindi la deviazione standard cresce di √12 mentre la media cresce di 12 — e il rapporto fra le due cresce di 12 ÷ √12 = √12. L'intera convenzione poggia su quella prima parola: indipendenti.

I rendimenti spesso non sono indipendenti. Gli attivi poco liquidi o valutati di rado — credito privato, immobili, posizioni strutturate, tutto ciò che viene marcato in ritardo — producono serie lisciate, in cui un buon mese tende a essere seguito da un altro buon mese. È autocorrelazione positiva, e sgonfia la deviazione standard misurata dei rendimenti brevi senza sgonfiare quella annua vera. L'articolo di Andrew Lo del 2002 ne dà la correzione: il fattore di annualizzazione onesto per q periodi è q ÷ √(q + 2·Σₖ₌₁^(q−1)(q − k)·ρₖ), che si riduce a √q solo se ogni autocorrelazione ρₖ è nulla.

Mettiamoci un numero plausibile. Ipotizza un'autocorrelazione del primo ordine di 0,2 con il consueto decadimento geometrico — un livello di lisciatura tutt'altro che insolito in un fondo che detiene attivi difficili da valutare. Il fattore corretto per dodici mesi è 2,879 invece di 3,464. Il nostro Sharpe mensile di 0,4939 si annualizza a 1,422 anziché ai 1,711 che finiscono nella scheda: il dato pubblicato è gonfiato del 20,3 per cento. Con un'autocorrelazione di 0,3 la sopravvalutazione arriva al 32,5 per cento, e con 0,5 al 63,3 per cento. Da notare che la correzione va nel senso opposto per rendimenti che tornano alla media: con ρ = −0,2 la convenzione √12 sottostima del 16,9 per cento. La tabella sopra copre l'intero intervallo.

Vendere assicurazione produce uno splendido indice di Sharpe

Considera una strategia il cui profilo di pagamento è strutturalmente quello di un assicuratore: incassa un premio piccolo e affidabile quasi sempre e paga un sinistro grande di rado. La vendita di opzioni molto fuori dal denaro, le operazioni di carry e molte strategie dette a rendimento assoluto condividono questa forma. Modellala come 35 mesi che rendono circa lo 0,90 per cento ciascuno, con variazione minima, e poi un mese a −22 per cento.

Nei primi 35 mesi il rendimento mensile medio è dello 0,90 per cento e la deviazione standard mensile dello 0,0574 per cento, perché non succede mai niente. L'indice di Sharpe mensile vale (0,90 − 0,15) ÷ 0,0574 = 13,07, che si annualizza con la convenzione √12 a 45,3. Quel numero è assurdo ed è aritmeticamente corretto. È l'output esatto della formula esatta sui dati esatti, e uno storico di tre anni basta perché la maggior parte degli allocatori guardi sul serio.

Aggiungi il 36° mese. La media scende allo 0,2639 per cento, la deviazione standard salta al 3,8171 per cento e lo Sharpe mensile diventa 0,030 — 0,10 annualizzato. Una sola osservazione ha portato il punteggio da 45,3 a 0,10. La distribuzione ha ora un'asimmetria di −5,75 e un eccesso di curtosi di 31,0, e la deviazione standard semplicemente non è fatta per descrivere una forma simile: riassume una distribuzione con due numeri, e questa non è minimamente catturata da due numeri. Osserva anche che cosa ha fatto il rendimento cumulato — 36,83 per cento su 35 mesi, 6,73 per cento su 36 — e che recuperare il mese a −22 per cento al ritmo dello 0,90 per cento mensile richiede altri 28 mesi.

La lezione generale non è che l'indice menta. È che qualsiasi misura costruita sui primi due momenti di un campione non può vedere un rischio che nel campione non si è ancora manifestato. Se la perdita è abbastanza rara, uno storico di lunghezza realistica di norma non ne conterrà nessuna, e l'indice leggerà l'assenza della perdita come prova di sicurezza. Chiedi com'è il peggior mese plausibile della strategia, non quale sia stata la sua deviazione standard storica.

Che cosa deve dichiarare un indice di Sharpe per significare qualcosa

Un numero nudo è ininterpretabile. Tre cose devono accompagnarlo. Primo, il periodo: 0,4939 su dodici mesi e 0,4939 su dieci anni non sono la stessa affermazione, e una finestra corta è dominata dalla fortuna — l'articolo di Lo verte in larga parte su quanto sia ampio l'intervallo di confidenza attorno a uno Sharpe stimato. Secondo, il tasso privo di rischio usato: la stessa serie punteggia diversamente contro un tasso mensile dello 0,15 per cento o dello 0,35, e il divario si allarga man mano che il rendimento della strategia scende. Terzo, la frequenza di osservazione e il metodo di annualizzazione, perché come mostra la tabella la stessa performance sottostante può essere pubblicata come 1,048 o come 2,060 a seconda di ciò che si è ipotizzato.

Altre due condizioni sono strutturali, non di presentazione. L'indice è confrontabile solo fra due cose misurate sulla stessa finestra, perché le condizioni di mercato dominano il numeratore; ed è confrontabile solo fra strategie le cui distribuzioni di rendimento abbiano grosso modo la stessa forma. Classificare un fondo azionario long-only contro un programma di vendita di opzioni sul solo Sharpe confronta una distribuzione all'incirca simmetrica con una fortemente asimmetrica a sinistra, e la misura non ha modo di registrare la differenza.

A che cosa serve ancora davvero l'indice

Nulla di tutto ciò rende inutile l'indice di Sharpe. Un compito lo svolge benissimo: confrontare due portafogli di natura simile sulla stessa finestra, quando la domanda è se il maggior rendimento prodotto da uno valeva la maggiore variabilità. È la domanda posta da Sharpe nel 1966, e per quella domanda l'indice è lo strumento giusto. Ha anche un ruolo teorico pulito: è la pendenza della retta che va dal tasso privo di rischio a un portafoglio nello spazio media–deviazione standard, quindi lo Sharpe più alto individua il portafoglio che si vorrebbe leveraggiare o dileveraggiare per raggiungere il livello di rischio preferito.

Il protocollo pratico è breve. Calcolalo, e calcola accanto l'indice di Sortino — i due insieme dicono se la volatilità penalizzata è quella che ti disturba. Guarda il peggior periodo singolo e la perdita massima, che nessun indice contiene. Dichiara la finestra, il tasso privo di rischio e la frequenza ogni volta che citi un dato, e tratta qualsiasi Sharpe sopra circa 2 su una strategia attiva come una domanda anziché come una risposta.

Domande frequenti

Che cosa si considera un buon indice di Sharpe?

Non esiste alcuna soglia che significhi qualcosa da sola, perché il numero dipende dalla finestra, dal tasso privo di rischio, dalla frequenza di osservazione e dall'ipotesi di annualizzazione. Le regole empiriche che si incontrano — 1 accettabile, 2 buono, 3 eccellente — sono convenzioni su dati annualizzati di distribuzioni all'incirca simmetriche, e si rompono appena si esce da quelle condizioni. Il nostro esempio lo mostra: lo stesso Sharpe mensile di 0,4939 si pubblica fra 1,048 e 2,060 solo a seconda dell'ipotesi sull'autocorrelazione. E un numero molto alto è più spesso un avvertimento che un complimento: l'esempio di vendita di assicurazione di questo articolo segnava 45,3 annualizzato su 35 mesi e 0,10 su 36.

Dovrei usare invece l'indice di Sortino?

Accanto, non al posto. Sortino sostituisce la deviazione standard con quella al ribasso, quindi smette di penalizzare la dispersione al rialzo — esattamente la correzione che l'esempio a specchio richiede: 8,59 contro 0,74 dove Sharpe vedeva 0,4939 contro 0,4939. Ma eredita ogni altra debolezza, compresi il problema di annualizzazione e la cecità verso una perdita non ancora avvenuta, e ne aggiunge una propria: la convenzione del divisore dentro la deviazione al ribasso non è standardizzata, così due fornitori possono pubblicare Sortino diversi per la stessa serie. Calcola entrambi, dichiara le tue convenzioni e leggi anche la perdita massima.

Quale tasso privo di rischio va al numeratore?

Uno la cui scadenza e valuta corrispondano al periodo di misurazione e alla valuta del portafoglio — un rendimento di titolo di Stato a breve, convertito su base mensile per una serie mensile. La nota di Sharpe del 1994 è più severa della pratica corrente: la costruzione corretta è un rendimento differenziale, portafoglio meno attività priva di rischio periodo per periodo, e la deviazione standard appartiene a quella differenza, non al solo portafoglio. Dove il tasso privo di rischio è pressoché costante le due coincidono; dove si muove molto, no. Conseguenze pratiche: mai mescolare valute, mai usare un rendimento obbligazionario lungo per una finestra breve, e dichiarare sempre quale tasso si è usato, poiché la stessa serie punteggia diversamente allo 0,15 e allo 0,35 per cento mensile.

Posso confrontare uno Sharpe calcolato su dati giornalieri con uno calcolato su dati mensili?

Non in sicurezza, nemmeno dopo aver annualizzato entrambi. L'annualizzazione li rende confrontabili solo se i rendimenti sono indipendenti a entrambe le frequenze, e nella maggior parte delle serie reali non lo sono: i dati giornalieri raccolgono il rumore di breve periodo e ogni ritorno alla media da un giorno all'altro, mentre quelli mensili lisciano entrambi. La frequenza che produce la deviazione standard misurata più bassa produce lo Sharpe più alto, e nessuna regola dice quale sarà. Confronta simile con simile — stessa frequenza, stessa finestra, stessa serie priva di rischio, stesso metodo di annualizzazione — oppure non confrontare. Se una scheda non dice quale frequenza è stata usata, l'indice che vi compare non è verificabile.

Perché un fondo lisciato e poco liquido mostra uno Sharpe più alto?

Perché il denominatore è misurato sui rendimenti dichiarati, e i rendimenti dichiarati di attivi difficili da valutare sono vecchi. Quando una posizione è marcata in ritardo o per perizia anziché per scambio, un movimento del suo valore vero si distribuisce su più periodi di rendicontazione. Quella distribuzione alza la correlazione fra periodi consecutivi e abbassa la deviazione standard misurata periodo per periodo, mentre la variabilità annua vera resta invariata. La convenzione √12 tratta poi il dato mensile artificialmente piccolo come se venisse da estrazioni indipendenti, e moltiplica l'errore dentro il dato annuo. Con un'autocorrelazione mensile di 0,2 l'indice pubblicato è gonfiato del 20,3 per cento; con 0,3, del 32,5. Vale la pena verificare l'autocorrelazione positiva di una serie mensile prima di confrontare quel fondo con uno valutato ogni giorno.

Un indice di Sharpe negativo significa qualcosa?

Significa che il portafoglio ha reso meno del tasso privo di rischio sulla finestra, e nient'altro. L'entità non è interpretabile, perché dividere un numeratore negativo per la deviazione standard rovescia l'ordinamento consueto: di due portafogli in perdita con lo stesso scarto, quello più volatile punteggia più vicino a zero e quindi sembra migliore. Un fondo che ha perso il 2 per cento rispetto al tasso privo di rischio con una deviazione standard del 4 per cento segna −0,50, mentre uno che ha perso lo stesso 2 per cento con una deviazione standard dell'8 per cento segna −0,25 e appare superiore. Non lo è. Quando il numeratore è negativo, smetti di leggere l'indice e leggi direttamente rendimento e perdita massima.