Un sorteggio del Babbo Natale segreto fallisce il 63 % delle volte, qualunque sia il gruppo

Perché la risposta smette di dipendere dal gruppo

Aggiungere una persona aggiunge una probabilità che estragga sé stessa, e aggiunge anche un nome che tutti gli altri potrebbero estrarre al suo posto. I due effetti quasi si annullano, e il residuo è una serie alternata i cui termini decrescono come i reciproci dei fattoriali — precisamente la serie di 1/e. Poiché i fattoriali crescono così in fretta, la coda di quella serie è trascurabile dopo una manciata di termini, e la risposta si congela. L'intuito si aspetta che un gruppo grande sia più sicuro, con l'argomento che il proprio nome è una frazione minore del cappello; l'aritmetica risponde che le occasioni aggiuntive di fallimento arrivano allo stesso ritmo.

Ripetere l'estrazione non è il rimedio che si crede

Riestrarre finché nessuno ha il proprio nome produce sì un'assegnazione valida, e in media servono circa 2,7 tentativi per arrivarci — uno diviso 0,368. Ciò che non produce è un'assegnazione valida uniformemente casuale, se la ripetizione è fatta con noncuranza: scambiare solo la coppia colpevole, o lasciare che chi ha estratto sé stesso ripeschi da ciò che resta, distorce il risultato in modi invisibili in una singola estrazione e ovvi su qualche anno della stessa festa d'ufficio. Gli approcci puliti sono rifiutare l'intera estrazione e ricominciare, oppure costruire un unico ciclo casuale che attraversi tutti i nomi, che è un dismutamento per costruzione.

Domande frequenti

Cos'è esattamente un subfattoriale?

Conta le permutazioni di n oggetti che non lasciano nulla al suo posto, e si scrive !n, con il punto esclamativo davanti. Ha una ricorrenza pulita — !n vale n−1 per la somma dei due subfattoriali precedenti — e una scorciatoia ancora più pulita: !n è l'intero più vicino a n! diviso e, per ogni n da uno in su. Quel secondo fatto spiega perché il rapporto della tabella converga così visibilmente; il numero di dismutamenti è essenzialmente un fattoriale diviso e, arrotondato, e l'arrotondamento è l'unica cosa che separa la successione dalla costante.

La stessa matematica copre in generale i problemi di abbinamento?

Copre la versione pura e si ferma dove cominciano i vincoli. I dismutamenti rispondono alla domanda che nessuno estragga sé stesso, e a nulla di più: appena si aggiunge una regola — le coppie non devono estrarsi, gli abbinamenti dell'anno scorso sono vietati, una persona è assente — il conteggio cambia e la bella convergenza a 1/e sparisce. Quelle varianti restano contabili, di norma per inclusione-esclusione, ma non hanno più una risposta unica e memorabile. Il 36,8 per cento è un riferimento per il caso senza vincoli, e vale la pena conoscerlo proprio perché tante estrazioni reali partono da lì prima che qualcuno aggiunga una regola.