355/113 é bom porque o termo seguinte é 292

A razão de ouro é o número mais difícil de aproximar

Se termos grandes significam boas aproximações, o número sem termo grande algum deve ser o pior caso — e esse número é a razão de ouro, cujo desenvolvimento vale [1; 1, 1, 1, 1, …] sem fim. As suas convergentes são quocientes de números de Fibonacci consecutivos, 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, e cada uma melhora a anterior pela menor margem possível. Não é uma curiosidade: um girassol que arruma as sementes num ângulo ligado à razão de ouro nunca alinha duas sementes sucessivas, precisamente porque nenhuma fração simples aproxima bem esse ângulo. Ser mal aproximável é aqui a propriedade útil.

Um padrão periódico assinala um irracional de um tipo preciso

A raiz quadrada de dois desenvolve-se como [1; 2, 2, 2, 2, …], repetindo um só termo sem fim, e toda a raiz quadrada de um inteiro não quadrado se comporta assim — o padrão acaba por ciclar. É um teorema, e vale nos dois sentidos: uma fração contínua cujos termos acabam periódicos é sempre a raiz de uma equação do segundo grau com coeficientes inteiros, e uma que nunca se instala num padrão é outra coisa. O desenvolvimento de π não tem padrão que alguém tenha encontrado, o que concorda com o que dele se sabe. O caso finito é ainda mais simples: um desenvolvimento que pára é um racional, e 415/93 parar ao fim de quatro termos é todo o conteúdo dessa frase.

Perguntas frequentes

Porque é 22/7 tão famoso se 355/113 é muito melhor?

Porque é suficientemente curto para se lembrar e suficientemente certo para quase tudo o que com ele se fazia. 22/7 erra em quatro centésimos de por cento, invisível em qualquer medição feita com uma régua e suficiente para a aritmética de oficina; 355/113 erra em menos de um décimo milionésimo, de que ninguém precisa a não ser que a conta seja levada a muitas casas decimais. As convergentes formam uma escada onde a precisão se troca pela memorabilidade, e 22/7 ocupa o degrau onde a troca é mais favorável ao cálculo mental. Onde é precisa mais precisão, costuma haver também uma calculadora.

Onde se usam na prática as frações contínuas?

Onde quer que uma razão tenha de ser construída com objetos inteiros. Um trem de engrenagens aproxima uma relação de velocidade arbitrária com números inteiros de dentes, e as convergentes dão os pinhões mais pequenos que se aproximam o suficiente; as regras de calendário aproximam a duração do ano com dias inteiros e anos bissextos; os temperamentos musicais aproximam uma oitava com um número inteiro de graus. A mesma maquinaria aparece também dentro dos algoritmos de redução de frações e de reconstrução de um racional a partir de um decimal, que é o que permite a um sistema de álgebra reconhecer que 0,142857142857 é um sétimo e não um decimal longo.