Anos bissextos: a regra, a exceção e a exceção à exceção

A regra em três linhas, e porque uma só não chega

Divisível por 4: bissexto. Divisível por 100: não. Divisível por 400: sim, afinal. Aplicado por esta ordem, o teste nunca precisa de uma quarta cláusula e decide qualquer ano em três divisões inteiras. A tabela acima aplica-o a sete anos e mostra onde a intuição parte: toda a gente acerta em 2024 e quase toda a gente erra em 1900, porque a primeira cláusula é a que se recorda. Quem nasceu depois de 1900 só viveu um ano secular, e foi o 2000 — aquele que se comporta como um bissexto vulgar. Toda uma geração de software foi escrita por pessoas que nunca tinham visto a exceção dos séculos disparar, daí uma safra bem documentada de programas que geriram mal o 29 de fevereiro de 2000, e daí que o próximo teste a sério, 2100, encontre bastante código que ainda assume que divisível por quatro é a história toda.

A ordem das cláusulas importa, e escrevê-la ao contrário produz um teste certo na maior parte das vezes — o pior modo de falha possível. Verifique primeiro a divisibilidade por 400 e devolva verdadeiro, depois por 100 e devolva falso, depois por 4. Inverter as duas últimas transforma o 2000 num ano comum. Se preferir não pensar nisso, a aritmética reduz-se a uma única expressão: um ano é bissexto exatamente quando é divisível por 4 e, ou não é divisível por 100, ou é divisível por 400. Mais elaborado é um erro à espera de ser encontrado; mais simples é errado uma vez por século.

O ano trópico não tem 365,25 dias — faça a conta

O ano trópico médio — o intervalo médio entre um equinócio de março e o seguinte — dura cerca de 365,242190 dias na época atual. O calendário juliano assumia 365,25 ao inserir um dia bissexto de quatro em quatro anos sem exceção. A diferença é 365,25 − 365,242190 = 0,007810 dias por ano. Inverta: 1 ÷ 0,007810 = 128,0, portanto o calendário juliano ganha um dia inteiro às estações a cada 128 anos. Lento o suficiente para ser invisível numa vida e rápido o suficiente para ser catastrófico ao longo de um milénio. Tome o Concílio de Niceia em 325, que fixou o cálculo da Páscoa contra um equinócio a 21 de março: de 325 a 1582 vão 1 257 anos, e 1 257 × 0,007810 = 9,82 dias. São os dez dias que a bula de Gregório apagou, calculados a partir dos princípios em vez de consultados.

A correção é elegante porque é aritmética, não astronomia. Retire três dias bissextos a cada quatro séculos e um bloco de 400 anos contém 97 anos bissextos em vez de 100. Conte os dias: 303 anos comuns a 365 mais 97 bissextos a 366 dão 146 097 dias. Divida por 400 e o ano gregoriano médio é exatamente 365,2425 dias. Compare com 365,242190 e o resíduo é de 0,000310 dias por ano, ou seja um dia a cada 3 226 anos — vinte e cinco vezes melhor que o juliano, a partir de uma regra aplicável de cabeça. Ninguém se deu ao trabalho de legislar a correção seguinte, e não é preciso: o próprio ano trópico muda lentamente, pelo que uma regra fixada hoje para o ano 5000 seria adivinhação.

Outubro de 1582, e os dois séculos de desacordo que se seguiram

Corrigir a regra corrigia o futuro mas não o passado, pelo que os dez dias acumulados tiveram de ser retirados à mão. Nos Estados católicos que adotaram a reforma de imediato, a quinta-feira 4 de outubro de 1582 foi seguida da sexta-feira 15 de outubro. A sequência dos dias da semana foi deliberadamente preservada — quinta e depois sexta, sem quebra — porque o ciclo de sete dias nunca tinha sido o que estava errado. Só as etiquetas de data se moveram. Quem calcular uma duração que atravesse esse intervalo em Itália, Espanha, Portugal ou Polónia tem de subtrair dez dias que ninguém viveu, e as bibliotecas de datas históricas que fazem isto bem são bem mais raras do que as que fingem que a regra gregoriana sempre valeu.

As datas de adoção espalharam-se depois por três séculos e meio, e o número de dias apagados cresceu com a espera. A Grã-Bretanha e as suas colónias mudaram ao abrigo do Calendar (New Style) Act 1750: à quarta-feira 2 de setembro de 1752 seguiu-se a quinta-feira 14 de setembro, onze dias desaparecidos, porque o calendário juliano tinha entretanto derivado mais um dia. A Rússia resistiu até 1918, quando as datas julianas de 1 a 13 de fevereiro foram suprimidas e a 31 de janeiro seguiu-se diretamente 14 de fevereiro — treze dias. A Grécia foi a última entre os Estados europeus, em 1923. A consequência prática para quem lida com registos históricos é que uma data sozinha é ambígua: o mesmo acontecimento em 1750 leva duas datas diferentes conforme a fonte tenha sido escrita em Londres ou em Paris, e é por isso que as fontes de arquivo as anotam como estilo antigo e estilo novo.

146 097 dias são exatamente 20 871 semanas — logo o calendário repete-se

Esta é a propriedade que ninguém desenhou e de que todos beneficiam. Um ciclo gregoriano de 400 anos são 146 097 dias, e 146 097 ÷ 7 = 20 871 sem resto. Como o ciclo contém um número inteiro de semanas, cada data regressa ao mesmo dia da semana ao fim de 400 anos. 22 de agosto de 2426 cairá no mesmo dia da semana que 22 de agosto de 2026. E todas as outras datas também, o que significa que o calendário inteiro — bissextos, dias da semana, tudo — é periódico com período 400. Significa também que a distribuição dos dias da semana pelas datas não é uniforme, porque 400 não é divisível por 7. Conte os dias 13 de cada mês ao longo de um ciclo: 4 800 ocorrências, das quais 688 caem numa sexta-feira, mais do que qualquer outro dia, contra 684 para quinta e sábado. A superstição tem um suporte aritmético genuíno, que é a única coisa verdadeira que há nela.

Daí decorrem duas coisas úteis. Primeiro, qualquer implementação correta pode ser testada exaustivamente: só existem 400 padrões de ano distintos, e um ciclo sobre 146 097 dias cobre todos os casos que uma rotina de datas gregorianas alguma vez enfrentará, incluindo todo o comportamento secular. Ninguém precisa de amostrar. Segundo, o 29 de fevereiro também não está distribuído uniformemente. Há 97 por ciclo, ou seja um intervalo médio de 4,12 anos, e os intervalos não são todos de quatro: depois de 29 de fevereiro de 1896, o seguinte foi 29 de fevereiro de 1904, oito anos de espera, porque 1900 foi saltado. O mesmo intervalo de oito anos voltará a acontecer entre 2096 e 2104, o que surpreenderá uma geração de festejantes do dia bissexto que só terá conhecido um ritmo fiável de quatro anos.

Os aniversários de 29 de fevereiro, e o que a lei diz de facto

Alguém nascido a 29 de fevereiro tem aniversário apenas em 97 de cada 400 anos. Nos outros 303 a data não existe, e todo o sistema que tenha de o envelhecer tem de decidir se o seu aniversário legal cai a 28 de fevereiro ou a 1 de março. As jurisdições divergem mesmo, e a escolha tem consequências: a maioridade, a renovação de uma licença, um direito a pensão ou um escalão de seguro podem depender de um dia. A resposta de engenharia segura não é inventar uma regra, mas guardar a data de nascimento exatamente como 29 de fevereiro e aplicar a convenção que a lei aplicável fixar, mantendo as duas decisões separadas. Nunca guarde 28 de fevereiro como substituto: isso deita fora a informação e depois não há forma de a recuperar.

A mesma disciplina vale para contratos e subscrições. Um prazo de doze meses que começa a 29 de fevereiro de 2024 termina a 28 de fevereiro de 2025 com a truncatura, e o cliente que lê a data de renovação como 1 de março não é irrazoável — o calendário não oferece mesmo nenhuma resposta correta. Escreva a convenção nas condições em vez de a deixar ao que a biblioteca de faturação fizer por acaso. As datas de aniversário que caem nos dias 29, 30 e 31 de qualquer mês merecem o mesmo tratamento; 29 de fevereiro é apenas o caso que se nota, porque falha quatro anos em cada cinco em vez de alguns meses em cada doze.

Os segundos intercalares são outro mecanismo — e estão a desaparecer

Os dias bissextos corrigem o calendário face à órbita terrestre. Os segundos intercalares corrigem um relógio face à rotação da Terra, que é outra grandeza, medida de outro modo e que deriva por outras razões. O UTC é gerado por relógios atómicos e é portanto uniforme; o UT1 segue a rotação real do planeta, que é irregular. Desde 1972 os dois têm sido mantidos a menos de 0,9 segundos um do outro inserindo um segundo intercalar quando necessário, 27 vezes ao todo. A última inserção foi a 31 de dezembro de 2016, e a diferença TAI − UTC está nos 37 segundos desde 1 de janeiro de 2017. O Boletim C do IERS confirmou que não haverá segundo intercalar nem em junho nem em dezembro de 2026, pelo que o intervalo se aproxima já da década.

O mecanismo está de saída. A Resolução 4 da 27.ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, adotada em 2022, decidiu que o valor máximo admitido de UT1 − UTC será aumentado em 2035 ou antes, e pediu ao CIPM que levasse uma nova tolerância concreta, um plano de implementação e um calendário de revisão à 28.ª CGPM em 2026. Na prática isso significa que o segundo intercalar como evento operacional recorrente está a terminar, porque uma tolerância mais larga elimina a necessidade de inserir um durante um século ou mais. Significa também que os dois mecanismos nunca devem ser confundidos no seu código: os dias bissextos são determinísticos e calculáveis com séculos de antecedência a partir de três divisões, ao passo que os segundos intercalares eram anunciados caso a caso, no máximo com seis meses de antecedência, por um boletim assente em observações. O que depender do segundo tipo tem de ir buscar uma tabela; o que depender do primeiro só precisa da regra.

Perguntas frequentes

2026 é ano bissexto?

Não. 2026 não é divisível por 4, portanto o teste para na primeira cláusula e fevereiro de 2026 tem 28 dias. Os bissextos próximos são 2024 e 2028. Aplicar o teste completo são três verificações por esta ordem: divisível por 400 significa sim, senão divisível por 100 significa não, senão divisível por 4 significa sim. Nessa base, 2000 foi bissexto e 1900 não, que é o único caso que faz tropeçar, porque todos os vivos hoje só viram o ano secular que se comporta como um vulgar. O próximo ano secular saltado será 2100, e fevereiro de 2100 terá 28 dias apesar de 2100 ser divisível por 4. Todo o código que ainda testa apenas a divisibilidade por 4 estará errado nesse ano, e há muito.

Porque é que 1900 não é bissexto e 2000 é?

Porque um dia bissexto de quatro em quatro anos é ligeiramente demais, e a regra dos séculos recupera parte. O ano trópico médio dura cerca de 365,242190 dias, ao passo que a regra juliana assumia 365,25 — um excesso de 0,007810 dias por ano, ou um dia inteiro a cada 128 anos. Retirar três dias bissextos a cada quatro séculos baixa a média para exatamente 365,2425 dias, já que um ciclo de 400 anos passa então a ter 97 anos bissextos e 146 097 dias, e 146 097 ÷ 400 = 365,2425. Os anos seculares retirados são os não divisíveis por 400, pelo que 1700, 1800, 1900 e 2100 são anos comuns enquanto 1600, 2000 e 2400 continuam bissextos. O erro restante é de 0,000310 dias por ano, cerca de um dia em 3 226 anos, e é por isso que ninguém precisou de acrescentar uma quarta cláusula.

Porque foram apagados dez dias em outubro de 1582?

Para desfazer uma deriva já acumulada, pois mudar a regra só corrigia o futuro. O calendário juliano ganhava um dia às estações a cada 128 anos. Medido desde o Concílio de Niceia em 325, que ancorou o cálculo da Páscoa a um equinócio a 21 de março, o intervalo até 1582 é de 1 257 anos, e 1 257 × 0,007810 = 9,82 dias — portanto era preciso retirar uns dez. Nos Estados que adotaram a reforma de imediato, à quinta-feira 4 de outubro de 1582 seguiu-se a sexta-feira 15 de outubro. A sequência dos dias da semana foi preservada de propósito: o ciclo de sete dias nunca foi a parte defeituosa, só as etiquetas de data se moveram. Os países que adotaram mais tarde tiveram de apagar mais dias, porque a deriva continuou a acumular-se enquanto esperavam.

O calendário repete-se mesmo a cada 400 anos?

Sim, exatamente, e é consequência de uma única divisão. Um ciclo gregoriano de 400 anos contém 97 anos bissextos, ou seja 303 × 365 + 97 × 366 = 146 097 dias, e 146 097 ÷ 7 = 20 871 sem resto. Como o ciclo é um número inteiro de semanas, cada data regressa ao mesmo dia da semana ao fim de 400 anos: 22 de agosto de 2426 é o mesmo dia da semana que 22 de agosto de 2026, e o mesmo vale para todas as outras datas. O calendário inteiro — bissextos, dias da semana, duração dos meses — é periódico com período 400. Um efeito colateral é que os dias da semana não estão repartidos uniformemente pelas datas, já que 400 não é múltiplo de 7: ao longo de um ciclo, o dia 13 do mês cai a uma sexta-feira 688 vezes em 4 800, mais do que em qualquer outro dia. Outro é que uma biblioteca de datas pode ser testada exaustivamente em vez de por amostragem, porque 146 097 dias cobrem todos os casos existentes.

Os segundos intercalares são a mesma coisa que os dias bissextos?

Não, e confundi-los é uma fonte comum de más suposições. Os dias bissextos mantêm o calendário alinhado com a órbita terrestre e seguem uma regra aritmética fixa que se pode avaliar com séculos de antecedência. Os segundos intercalares mantinham o tempo atómico, UTC, a menos de 0,9 segundos do UT1, que segue a rotação irregular da Terra, e não eram previsíveis — o IERS anunciava cada um no máximo com cerca de seis meses de antecedência, no Boletim C. Desde 1972 houve 27 inserções; a última foi a 31 de dezembro de 2016, e TAI − UTC está nos 37 segundos desde 1 de janeiro de 2017. O Boletim C confirmou que não haverá nenhum em junho nem em dezembro de 2026. O mecanismo está além disso de saída: a Resolução 4 da 27.ª CGPM, adotada em 2022, decidiu que o valor máximo admitido de UT1 − UTC será aumentado em 2035 ou antes, ficando o novo valor concreto para ser acordado na 28.ª CGPM de 2026.

Quando celebram o aniversário as pessoas nascidas a 29 de fevereiro?

Socialmente, a 28 de fevereiro ou a 1 de março, conforme preferirem; legalmente, conforme o que a jurisdição aplicável fixar, e as jurisdições divergem mesmo. A data só existe em 97 de cada 400 anos, pelo que nos outros 303 alguma coisa tem de a substituir, e a escolha pode contar para a maioridade, a renovação de licenças, os escalões de seguro e os direitos a pensão. Se estiver a construir um sistema, guarde a data de nascimento exatamente como 29 de fevereiro e aplique a convenção legal como um passo separado e configurável — nunca sobrescreva a data guardada com 28 de fevereiro, porque isso deita fora informação irrecuperável. Note ainda que o intervalo entre dias bissextos nem sempre é de quatro anos: o último de oito anos foi de 1896 a 1904, e o próximo será de 2096 a 2104, já que 2100 é saltado pela regra dos séculos.