Como calcular a área de um triângulo: base × altura e Herão

Meia base vezes altura

A fórmula clássica é A = ½ × base × altura. Qualquer lado pode ser a base; a altura é a distância perpendicular dessa base ao vértice oposto. O fator meio existe porque um triângulo é exatamente metade do retângulo que poderias desenhar à volta da sua base e altura. Para um triângulo de 25 cm de base e 15 cm de altura, a área é ½ × 25 × 15 = 187,5 cm².

O truque é que precisas da altura perpendicular, não do comprimento de um lado inclinado. Num triângulo retângulo os dois catetos já são perpendiculares, por isso um é a base e o outro a altura. Noutros triângulos podes ter de baixar uma perpendicular de um vértice para achar a altura.

A fórmula de Herão a partir dos três lados

Quando mediste os três lados mas nenhuma altura, a fórmula de Herão é a ferramenta. Encontra primeiro o semiperímetro, s = (a + b + c) ÷ 2 — metade do contorno do triângulo. Depois a área é a raiz quadrada de s vezes as três quantidades (s − a), (s − b) e (s − c) multiplicadas. Funciona para qualquer triângulo, sem ângulo reto.

Um exemplo: lados de 3, 4 e 5 unidades. O semiperímetro é (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6. Então A = √(6 × (6 − 3) × (6 − 4) × (6 − 5)) = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6 unidades quadradas. Coincide com ½ × base × altura, pois 3-4-5 é um triângulo retângulo de catetos 3 e 4: ½ × 3 × 4 = 6.

Escolher o método certo

Ambas as fórmulas dão exatamente a mesma área para o mesmo triângulo, por isso a escolha depende só do que podes medir. Se podes traçar uma perpendicular limpa e ler uma altura, meia base vezes altura é mais rápido. Se só podes esticar uma fita pelos três lados — comum num terreno irregular ou num retalho de tecido — a fórmula de Herão transforma esses três números diretamente em área.

Perguntas frequentes

Qual lado é a base?

Qualquer um dos três lados pode ser a base. Só garante que a altura que associas é a distância perpendicular desse lado ao vértice oposto.

E se Herão der um negativo sob a raiz?

Significa que os três comprimentos não formam um triângulo. Se um lado ultrapassa a soma dos outros dois, a figura não fecha, e a fórmula avisa com um valor negativo.

A fórmula de Herão serve para triângulos retângulos?

Sim, para qualquer triângulo. Num retângulo dá o mesmo resultado que ½ × cateto × cateto, o que serve para verificar o cálculo.

Como acho a altura se só tenho os lados?

Calcula primeiro a área com Herão, depois rearranja A = ½ × base × altura como altura = 2A ÷ base. Dá a altura perpendicular do lado que escolheste como base.