Como funcionam os expoentes: potências e suas leis

Os expoentes são multiplicação repetida

Escrever 2^4 é uma forma curta de 2 × 2 × 2 × 2. A base é o número multiplicado (2), e o expoente, ou potência, quantas cópias multiplicas (4). Assim 2^4 = 16 e 10^3 = 1.000. A notação existe porque a multiplicação repetida cresce rápido e seria tedioso escrevê-la — 2^10 já é 1.024.

Dois nomes surgem muito: elevar à potência 2 chama-se elevar ao quadrado (porque 5^2 é a área de um quadrado de lado 5), e elevar à potência 3 chama-se elevar ao cubo (o volume de um cubo). O resto lê-se "elevado a" — 7^5 é "sete elevado a cinco".

As leis dos expoentes

Três regras centrais fazem quase tudo. Multiplicar potências de igual base soma os expoentes: 2^3 × 2^2 = 2^(3+2) = 2^5, porque multiplicas cinco 2 seguidos. Dividir subtrai-os: 2^5 ÷ 2^2 = 2^(5−2) = 2^3, pois dois fatores se cancelam. Elevar uma potência a outra multiplica-os: (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6, porque tomas três 2 e repetes duas vezes.

A regra do expoente zero decorre da regra da divisão. Como 2^3 ÷ 2^3 = 2^(3−3) = 2^0, e todo número dividido por si mesmo é 1, temos de ter 2^0 = 1. Vale para toda base não nula: 5^0, 100^0 e (−3)^0 são todos 1.

Expoentes negativos e fracionários

Um expoente negativo significa tomar o recíproco: 2^−1 = 1 ÷ 2 = 0,5, e 2^−3 = 1 ÷ 2^3 = 1 ÷ 8 = 0,125. A descer as potências de 2 — 8, 4, 2, 1 — cada passo divide por dois, por isso continuar além de 2^0 = 1 leva naturalmente a ½, ¼, etc. Os expoentes negativos mantêm esse padrão abaixo de zero.

Um expoente fracionário significa uma raiz. O denominador dá a raiz e o numerador a potência: 9^(1/2) é a raiz quadrada de 9, que é 3, e 8^(1/3) é a raiz cúbica de 8, que é 2. Combinando, 8^(2/3) = (8^(1/3))^2 = 2^2 = 4. Por isso raízes e potências são a mesma operação vista de dois lados.

Perguntas frequentes

Porque tudo elevado a zero é um?

Porque dividir uma potência por si mesma dá 1, e pela regra dos expoentes também dá essa base elevada a zero. Ambos têm de coincidir, por isso toda base não nula a zero é 1.

Quanto é zero elevado a zero?

É um caso especial sem uma resposta única acordada. Muitos contextos definem 0^0 = 1 por comodidade, mas em rigor trata-se como indeterminado. A maioria das regras do dia a dia supõe base não nula.

Em que difere 2^3 de 2 × 3?

2 × 3 soma 2 três vezes e dá 6. 2^3 multiplica 2 por si mesmo três vezes e dá 8. Os expoentes crescem muito mais rápido que a multiplicação.

Um expoente pode ser decimal?

Sim. Um expoente decimal é apenas um fracionário escrito de outra forma: 2^0,5 é igual a 2^(1/2), a raiz quadrada de 2, cerca de 1,414. As calculadoras tratam assim qualquer expoente real.