Resistências em série e em paralelo: as fórmulas e as três coisas que não dizem

Duas fórmulas e o que cada ferramenta devolve

Em série a mesma corrente atravessa cada resistência uma após a outra, e cada uma leva a sua parte da tensão: as tensões somam-se e as resistências com elas — Rs = R1 + R2 + … A calculadora em série faz exatamente isso e mais nada. Dê-lhe a sua lista por omissão, 100, 220 e 330, e devolve 650 Ω.

Em paralelo a mesma tensão está sobre cada resistência e cada uma leva a sua própria corrente: o que se soma são as correntes. E a corrente é V/R, portanto o que se soma é 1/R — as condutâncias — e a resistência total é o inverso dessa soma: 1/Rp = 1/R1 + 1/R2 + … A calculadora em paralelo devolve 56,90 Ω para esses mesmos três valores, e dá um pouco mais do que um número: introduza uma tensão e mostra também a corrente total, a potência total e a corrente por cada resistência. O que não mostra é a potência em cada resistência, que é o valor que decide se a montagem sobrevive, e voltaremos a isso.

Uma consequência merece ser posta como regra, porque é a verificação mais rápida que existe: uma combinação em paralelo é sempre menor do que o seu membro mais pequeno. Tem de ser. Acrescentar outra resistência em paralelo acrescenta mais um termo positivo à soma das condutâncias, o que só pode aumentar a soma e portanto diminuir o seu inverso. Ponha 1 MΩ em paralelo com 1 Ω e o total vale 0,999999 Ω — um milionésimo a menos do que o 1 Ω, mas a menos. Se um resultado em paralelo sair acima do menor valor da sua lista, é um erro de cálculo ou uma gralha, e a segunda é mais provável.

Um membro costuma dominar a resposta

Mexa numa resistência de um par em paralelo e o total mexe — mas não o mesmo para as duas. A sensibilidade do total a um dado membro vale Rp dividido pelo valor desse membro. Em 100 ∥ 220 as sensibilidades valem 68,75/100 = 0,6875 e 68,75/220 = 0,3125, e somam exatamente um, o que também não é acaso: multiplique tudo pelo mesmo fator e o total é multiplicado por esse fator, logo as parcelas da variação têm de somar um. Na prática, um erro de 1 % na de 100 Ω move a resposta 0,69 %, enquanto um erro de 1 % na de 220 Ω só a move 0,31 %. Afaste os valores e o efeito torna-se brutal: em 100 ∥ 1000 a pequena detém 90,9 % da resposta, e podia enganar-se bastante no 1 kΩ sem quase dar por isso.

A imagem espelhada vale em série, e os números são literalmente o mesmo par trocado. Em 100 + 220 a sensibilidade do total a cada membro vale esse membro dividido pelo total: 100/320 = 0,3125 e 220/320 = 0,6875. Ali é a resistência grande que domina a resposta, o que faz sentido: em série a maior fixa quase todo o total, em paralelo é a menor. A forma limpa de o lembrar: em cada montagem, o membro que conta é o que faz mais trabalho.

Tolerância: dois componentes a 5 % em paralelo continuam a 5 %

Acredita-se largamente que combinar resistências faz a média das suas tolerâncias. Não faz, não no pior caso. Faça a conta: 100 ∥ 220 vale nominalmente 68,75 Ω. Tome ambos os componentes 5 % abaixo e obtém 95 ∥ 209 = 65,3125 Ω, exatamente 5 % abaixo. Tome-os 5 % acima e obtém 105 ∥ 231 = 72,1875 Ω, exatamente 5 % acima. Não é uma aproximação mas uma identidade: a combinação em paralelo é homogénea de grau um, ou seja, multiplicar todas as resistências pelo mesmo fator multiplica o resultado por esse fator. Se os dois componentes estiverem no mesmo extremo da sua banda de tolerância, a rede também está. O mesmo vale em série, pela mesma razão.

O que se aperta é a dispersão estatística, e só se os dois erros forem realmente independentes. Combine as sensibilidades da secção anterior em quadratura — 5 % vezes 0,6875 e 5 % vezes 0,3125, raiz da soma dos quadrados — e obtém 3,78 % para 100 ∥ 220. Para duas resistências iguais a mesma conta dá 3,54 %, o conhecido fator de um sobre raiz de dois. Repare que esse valor é idêntico em série e em paralelo, porque os dois pares de sensibilidades são os mesmos números trocados. É uma redução real, mas é uma esperança e não uma garantia — e é sobre a garantia que uma especificação se constrói.

O pressuposto de independência é precisamente onde parte numa bancada. Duas resistências arrancadas da mesma fita vêm do mesmo lote, da mesma máquina, do mesmo dia: os seus erros estão correlacionados e não são independentes — o que o devolve ao pior caso e não ao estatístico. Partilham ainda uma temperatura: aqueça a placa e ambas derivam no mesmo sentido, e uma deriva de modo comum é a pior possível para este raciocínio. Se precisa mesmo de um valor mais apertado do que os componentes que tem, a solução é um componente mais apertado, não dois folgados. O único caso em que associar ajuda de facto é o ajuste fino: uma resistência grande em paralelo com outra muito menor faz descer esta última numa quantidade controlada, e como a sensibilidade à grande é minúscula, o erro dela quase não entra no resultado.

A potência: onde se queima de facto

As duas resistências de um par em paralelo veem a mesma tensão: cada uma dissipa V²/R, e a potência vai como um sobre a resistência. A mais pequena leva por isso a maior parte, e essa parte é a fração que já encontrámos: Rp dividido por essa resistência. Ponha 12 V sobre 100 ∥ 220 e o total é 2,09 W, dos quais 1,44 W vão para a de 100 Ω — 68,8 % — e 0,65 W para a de 220 Ω. Afaste os valores para 100 ∥ 1000 e a de 100 Ω leva 90,9 % de um total menor. Assim, o membro com que menos se preocupava, o que quase não mexe na resistência, é também o que quase não aquece, e a pequena faz todo o trabalho.

É por isso que um componente de um quarto de watt é a escolha errada mais vezes do que se pensa. Uma resistência de 100 Ω dada para 0,25 W aguenta no máximo a raiz de 0,25 vezes 100, ou seja 5 V aos seus terminais — e assim que o seu par em paralelo se encontra a 12 V, está a pedir-se-lhe quase seis vezes o valor nominal. A ferramenta paralela mostra-lhe a corrente nessa resistência, 120 mA, e a potência total da rede, mas não multiplica as duas resistência a resistência: nada no ecrã pronuncia a palavra que interessa. Faça-o à mão: para cada membro, eleve a tensão ao quadrado e divida pela resistência desse membro, e compare com o valor nominal do componente com margem — metade do nominal é um teto de trabalho razoável para tudo o que tenha de durar.

Em série tudo se inverte, que é a metade útil da simetria. A mesma corrente atravessa ambas: cada uma dissipa I²R, portanto a potência vai como a resistência e a maior é a que mais aquece. Com 100 + 220 percorridas por 50 mA, a de 100 Ω dissipa 0,25 W e a de 220 Ω 0,55 W — a mesma parcela de 68,8 %, mas na outra resistência. A regra a guardar: em cada montagem, o membro que leva mais potência é aquele para o qual a calculadora tem menos hipóteses de o avisar, porque é aquele a que menos atenção presta.

O que as duas calculadoras aceitam e não aceitam

A ferramenta em série toma um só campo de texto com valores separados por vírgulas, pontos e vírgulas ou espaços, e é estrita sobre o que considera um número. Escreva 100, 220, 330 e funciona. Escreva 1k, 2k2 e devolve zero, porque nenhum dos dois elementos se analisa como número e ambos são descartados em silêncio. Escreva 10 kΩ e devolve 10 Ω, porque o espaço parte a entrada em 10 e kΩ, o segundo é deitado fora e o primeiro sobrevive como um dez nu — um fator mil silencioso, sem aviso nenhum. A mesma armadilha apanha o espaço usado como separador de milhares: 10 000 torna-se 10 e 0, e o total vale 10.

A ferramenta em paralelo é mais tolerante de uma forma provavelmente pior, porque usa uma análise permissiva por caixa: escreva 1k num campo e lê 1, escreva 4k7 e lê 4. Obtém um número em vez de um vazio, e esse número está errado em três ordens de grandeza sem nada que o sugira. Nas duas ferramentas o remédio é o mesmo e é aborrecido: escreva ohms em claro, só algarismos, com ponto decimal se for preciso. Escreva 4700, não 4k7.

Um comportamento merece ser assinalado como fisicamente errado, e não como mera mania. O cálculo em paralelo descarta qualquer valor que não seja estritamente positivo: meter 0 ao lado de 100 e 220 dá 68,75 Ω — o zero é ignorado. Eletricamente, um caminho de zero ohms em paralelo é um curto-circuito franco, e o total correto vale zero ohms — exatamente a resposta que se quereria ver se se acabasse de escrever uma ponte na netlist. A salvaguarda está lá para evitar uma divisão por zero, e custa que a única entrada que devia gritar volte muda. A ferramenta em série tem a lacuna oposta: não filtra nada, portanto um valor negativo é somado tal como está e 100 e −50 dão 150 Ω na ferramenta em paralelo mas 50 Ω na de série.

Perguntas frequentes

Porque é que o total em paralelo é sempre menor do que a resistência mais pequena?

Porque está a acrescentar caminhos, não obstáculos. A corrente que a resistência mais pequena já deixava passar continua a deixá-la passar quando liga outra ao lado — e a nova acrescenta corrente própria. Mais corrente total com a mesma tensão significa por definição menos resistência. A álgebra diz o mesmo: os inversos somam-se, portanto a soma das condutâncias é estritamente maior do que a maior condutância sozinha, e o inverso de um número maior é um número menor. Corolário útil para estimar de cabeça: uma resistência muito grande em paralelo quase nada muda — 1 MΩ sobre 1 Ω dá 0,999999 Ω, portanto se um membro valer cem vezes o outro, geralmente pode ignorar o grande com um erro de um por cento.

Posso pôr duas resistências em paralelo para obter um valor que não tenho?

Sim, e é uma técnica legítima com três custos a pesar. O primeiro é a tolerância: como este artigo mostrou, associar não aperta o pior caso, portanto se precisava de um valor preciso continua a precisar de um componente preciso. O segundo é a potência, porque os dois membros não a repartem por igual e a mais pequena leva a maior parte: dimensione-a para o que recebe de facto, não para metade do total. O terceiro é que duplicou o número de soldaduras e componentes que podem falhar, numa placa cujo objetivo era evitar encomendar uma peça. Onde a técnica se ganha mesmo é a ajustar ligeiramente para baixo um valor normalizado: uma resistência grande em paralelo com o valor preferido mais próximo desloca-o numa quantidade pequena e controlada, e como a sensibilidade à grande é baixa, a tolerância dela quase não conta.

Duas resistências de 0,25 W em paralelo dão uma de 0,5 W?

Só se forem iguais. Duas resistências idênticas em paralelo repartem de facto a potência por igual, portanto um par de componentes de 0,25 W do mesmo valor aguenta 0,5 W entre os dois — é um truque real e corrente, que além disso divide a resistência por dois, o que costuma ser a verdadeira razão para o fazer. Dois valores diferentes não repartem por igual de todo. Em 100 ∥ 220 o componente mais pequeno leva 68,8 % do total, portanto um par de um quarto de watt falha quando a rede passa cerca de 0,36 W, e não 0,5 W, porque a de 100 Ω chega primeiro ao seu limite. Verifique sempre o membro mais carregado e não o total: eleve ao quadrado a tensão sobre o par, divida pela resistência mais pequena, e esse é o número que o componente mais pequeno tem de sobreviver.

Porque é que a ferramenta em paralelo mostra correntes mas não potências?

Mostra a resistência total, a corrente total e a potência total, mais a discriminação da corrente em cada resistência — mas a potência por resistência não está no ecrã, e é precisamente o valor que decide se um componente sobrevive. Pode recuperá-la num passo a partir do que é mostrado: multiplique a corrente de cada resistência pela tensão que introduziu. No trio por omissão a 12 V as correntes são 120 mA, 55 mA e 36 mA, portanto as potências são 1,44 W, 0,65 W e 0,44 W. Repare que a primeira já é seis vezes um quarto de watt. Se levar um hábito deste artigo, que seja essa multiplicação: demora um segundo, usa só números que a ferramenta já lhe deu, e é a verificação que impede uma resistência de ficar castanha.

Como devo escrever valores como 4k7 ou 10 kΩ?

Não os escreva assim. Escreva o número de ohms em claro: 4700 para 4k7, 10000 para 10 kΩ, 0,22 para 220 mΩ. Nenhuma das duas ferramentas entende a notação de engenharia, e nenhuma o diz. A calculadora em série descarta qualquer elemento que não consiga ler como número, portanto 1k, 2k2 volta como um total de zero, e 10 kΩ volta como dez ohms porque o espaço o parte e as letras são deitadas fora. A análise por caixa da calculadora em paralelo é mais permissiva e por isso mais perigosa: lê os algarismos iniciais e para, de modo que 1k se torna 1 e 4k7 se torna 4. Nos dois casos a falha é silenciosa e o erro vale um fator mil — exatamente o tipo de erro que sobrevive a uma revisão de projeto, porque o número no ecrã parece um número.