O divisor de tensão: a fórmula é trivial, o pressuposto que a sustenta não é

O que a ferramenta calcula e a nota que interessa

A ferramenta resolve o divisor em três sentidos, o que é mais útil do que parece. No primeiro modo dá-lhe Vin, R1 e R2 e devolve Vout. No segundo dá-lhe a tensão de saída que quer e R2, e resolve R1 = R2 × (Vin − Vout) / Vout. No terceiro dá-lhe a saída que quer e R1, e resolve R2 = R1 × Vout / (Vin − Vout). Os dois últimos são a forma real de projetar um divisor, porque se parte da tensão necessária e de uma resistência já decidida. Peça-lhe 12 V baixados a 3,3 V com R1 fixado em 10 kΩ e devolve R2 = 3,793 kΩ, o número que depois arredonda para um componente real.

Também reporta a corrente e a potência, e é aí que começa a leitura honesta de um divisor. O par por omissão de 10 kΩ a 12 V consome 0,6 mA e queima 7,2 mW, em partes iguais porque as duas resistências são iguais. Mude a relação e a repartição segue as resistências: no caso de 12 V para 3,3 V acima, 10 kΩ sobre 3,793 kΩ, a corrente vale 0,87 mA e os 7,57 mW de R1 são quase o triplo dos 2,87 mW de R2. Essa assimetria merece ser notada, porque R1 é a resistência que absorve a diferença, e é sempre a que mais aquece num divisor que baixa muito.

E depois há a nota, impressa sob o esquema: a fórmula mostrada é a de vazio e assume que se retira uma corrente desprezável da saída. Não é uma cláusula de estilo, é toda a fronteira do que a ferramenta lhe pode dizer. Não existe em parte alguma da interface um campo para uma carga, portanto cada número no ecrã — a tensão de saída, a corrente, as duas potências — descreve um divisor com nada ligado ao seu ponto médio. Tudo o que se segue é sobre o que acontece quando se liga alguma coisa, e nada disso está na ferramenta.

Uma lei exata: o divisor é uma fonte com resistência interna

O teorema de Thévenin diz que toda a rede de fontes e resistências, vista de dois terminais, se comporta exatamente como uma fonte de tensão em série com uma resistência. Para um divisor, a fonte é a saída em vazio — o número que a ferramenta lhe deu — e a resistência vale R1 em paralelo com R2, obtida curto-circuitando mentalmente a alimentação e perguntando que resistência vê o terminal de saída a olhar para dentro. Para duas resistências de 10 kΩ são 5 kΩ. Para 100 kΩ sobre 22 kΩ, 18,03 kΩ.

Uma vez posto isso, a saída carregada forma um segundo divisor, desta vez entre a resistência interna e a sua carga, e o conjunto reduz-se a uma só expressão: Vout carregada é igual a Vout em vazio dividida por (1 + Rth / RL), onde Rth vale R1 ∥ R2. É exato, não é uma aproximação. Verifique no caso por omissão: 6 V divididos por (1 + 5000/100000) dão 6 / 1,05 = 5,714 V, que é o que dá o circuito completo. Verifique num monitor de bateria de 24 V feito com 100 kΩ e 22 kΩ a atacar uma entrada de 1 MΩ: 4,328 V em vazio, Rth de 18,03 kΩ, logo 4,328 / (1 + 0,01803) = 4,251 V, um erro de 1,77 %.

Esta é além disso a correção à regra do polegar. Toda a gente repete que a carga deve ser dez vezes a resistência baixa, mas a grandeza que governa o erro é R1 ∥ R2, não R2. As duas coincidem só quando R1 é muito maior do que R2. Quando R1 é igual a R2, a resistência interna vale metade de R2, e a regra popular acaba por valer um erro de exatamente um sobre (2k + 1) para uma carga de k vezes R2 — portanto dez vezes R2 dá 4,76 %, vinte vezes dá 2,44 %, e são precisas umas cinquenta vezes R2 para descer abaixo de um por cento. Se quer um alvo de precisão e não uma superstição, dimensione a carga face a R1 ∥ R2 e leia o erro diretamente: vale muito aproximadamente Rth / RL.

Onde um divisor tem lugar, e onde não tem

Tem lugar onde aquilo que lê a tensão não retira praticamente nada. A entrada de uma porta lógica CMOS, a entrada de um comparador, o pino de referência de um regulador, a porta de um MOSFET, a entrada de um amplificador operacional: todas são megaohms ou mais, e face a um divisor com uns poucos kiloohms de resistência interna o erro de carga é um arredondamento. Baixar a tensão de uma bateria para a gama de entrada de um conversor analógico-digital é o uso exemplar, e a aritmética acima é exatamente a verificação a fazer antes de acreditar na leitura.

Não tem lugar onde a carga retira corrente real, e a falha não é gradual: é um colapso. Um divisor não é uma fonte de alimentação. Não regula, porque a saída mexe com a carga e não há realimentação alguma que o note; não segura uma tensão quando a carga muda, coisa que toda a carga real faz; e a sua impedância de saída é fixada pelas resistências, portanto a única forma de o tornar firme é torná-lo esbanjador. O número que torna isto concreto: pendure uma carga de 1 kΩ no caso por omissão de 12 V e 10 kΩ, e a saída passa de 6 V para 1 V. Se a sua montagem precisa de um barramento mais baixo e pode consumir, a resposta é um regulador — linear se a corrente for pequena e a queda modesta, comutado se alguma delas for grande — e nunca duas resistências.

Um caso fica entre os dois e apanha muita gente: a entrada do conversor analógico-digital de um microcontrolador. É de alta impedância em regime permanente, portanto a aritmética acima conclui que um divisor serve; mas muitos conversores amostram sobre um pequeno condensador interno e retiram brevemente um pico de corrente para o carregar. Se a resistência interna do divisor for alta demais, esse condensador não termina a carga dentro da janela de amostragem e a leitura sai baixa — sem aviso, e de uma forma que parece um erro de calibração e não um problema de impedância de fonte. As folhas de dados dão uma impedância de fonte máxima recomendada precisamente por isso. O remédio padrão custa um componente: ponha um condensador entre a saída do divisor e a massa, para que o pico de amostragem seja fornecido pelo condensador e não através das resistências, o que baixa a impedância de fonte no instante que interessa sem subir nada a corrente permanente.

O compromisso da corrente permanente, em cinco décadas

Como o erro de carga depende de R1 ∥ R2, pode reduzi-lo a nada usando resistências baixas. O preço é que o divisor fica ligado permanentemente à alimentação e consome, esteja o circuito a fazer alguma coisa ou não. Essa corrente vale Vin dividida por (R1 + R2), e nunca para. A tabela abaixo fixa a relação em 12 V baixados a 6 V e percorre o par de resistências de 100 Ω a 1 MΩ, com uma carga de 100 kΩ pendurada na saída todo o tempo. A 100 Ω o resultado está certo com meio décimo de por cento, e o divisor queima 720 mW para sempre. A 1 MΩ queima 72 µW e marca 1 V em vez de 6.

Num equipamento alimentado da rede ninguém nota uns miliwatts, portanto pode dar-se ao luxo de ser firme. Em qualquer coisa a pilhas o cálculo inverte-se por completo: um divisor a consumir 0,6 mA continuamente esgota uma pilha pequena em semanas, e fá-lo enquanto o aparelho dorme, que é precisamente quando um projeto a pilhas não deveria gastar nada. É por isso que os monitores de bateria usam resistências grandes — o exemplo de 100 kΩ sobre 22 kΩ consome 197 µA e desperdiça 4,7 mW — e por isso os mais cuidadosos acrescentam um transístor que liga o divisor à massa só durante a leitura, baixando o custo permanente ao que o transístor fugir. Se o seu divisor está a pilhas e a corrente dele não consta do seu balanço energético, é a primeira coisa a auditar.

Mais duas coisas antes de confiar na saída

A saída segue a entrada, exatamente e para sempre. Um divisor não contém referência alguma: é uma razão, portanto uma alimentação que cai cinco por cento produz uma saída que cai cinco por cento. Isso é ótimo quando se mede a própria alimentação, que é o que faz um monitor de bateria, e é um problema real quando se queria uma referência estável para outra coisa. Se o que lê o seu divisor for um conversor analógico-digital cuja referência é essa mesma alimentação, os dois erros cancelam-se e obtém uma medida ratiométrica melhor do que qualquer das partes merece. Se o conversor tiver a sua própria referência precisa, não se cancelam, e a saída do divisor herda cada tremor do barramento.

E os dois estados por omissão da ferramenta não coincidem, o que convém saber se comparar a página com um exemplo calculado. O divisor interativo da página abre com 12 V e duas resistências de 10 kΩ, e mostra 6 V. A entrada de registo por trás — a definição que alimenta os exemplos gerados noutras partes do site — leva outros valores por omissão: 12 V com 1 kΩ e 2 kΩ, que dão 8 V. Ambos são aritmeticamente corretos para as suas próprias entradas; são simplesmente dois pontos de partida diferentes para a mesma ferramenta, e se vir 8 V citado nalgum sítio e 6 V no ecrã, é essa a razão e não uma falha de qualquer dos cálculos.

Perguntas frequentes

Posso alimentar um dispositivo de 3,3 V a partir de 5 V com um divisor de tensão?

Não. Um dispositivo consome corrente, e assim que o faz a saída do divisor desaba. Pior, um dispositivo consome de forma diferente em cada momento — mais quando um rádio transmite, menos quando dorme — pelo que o barramento de alimentação se moveria com a carga de trabalho, que é a única coisa que uma alimentação não pode fazer. Mesmo dimensionando o divisor firme o bastante para a queda ser pequena, estaria a dissipar várias vezes o consumo do próprio dispositivo em duas resistências, e é por isso que as contas nunca dão. A resposta é um regulador: linear se a corrente for modesta e a queda de 1,7 V for aceitável como calor, comutado se a corrente for grande ou o rendimento importar. Onde um divisor faz sentido entre 5 V e 3,3 V é em sinalização — baixar uma saída lógica de 5 V para uma entrada de 3,3 V que consome microamperes — e mesmo aí um adaptador de nível é melhor se o sinal for rápido.

A regra do fator dez chega?

É um piso, não um alvo, e está enunciada sobre a grandeza errada. O erro é governado por R1 em paralelo com R2, não por R2 sozinha, e as duas só coincidem quando R1 é muito maior. Para o caso corrente de duas resistências iguais, uma carga de dez vezes R2 dá um erro de exatamente um sobre vinte e um, ou seja 4,76 % — o suficiente para contar se está a ler uma tensão de bateria e a mostrá-la ao utilizador, e irrelevante se está a atacar um comparador que só se interessa por que lado do limiar está. O procedimento honesto é escolher a precisão de que precisa, calcular R1 ∥ R2, e exigir que a carga valha isso a dividir pelo seu alvo de erro: para um por cento é preciso uma carga de cem vezes R1 ∥ R2, o que com duas resistências iguais dá umas cinquenta vezes R2. Depois verifique com a expressão exata e não com a regra.

Porque é que a ferramenta se recusa a resolver quando peço uma saída maior do que a entrada?

Porque não há resposta a dar. Um divisor resistivo só pode tirar uma fração da entrada, portanto a saída está estritamente entre zero e Vin, e pedir algo fora dessa gama faz a álgebra produzir uma resistência negativa. No modo que resolve R2 a fórmula é R1 × Vout / (Vin − Vout), que vai a infinito quando Vout se aproxima de Vin e fica negativa para lá; no modo que resolve R1 é R2 × (Vin − Vout) / Vout, que explode quando Vout se aproxima de zero. A ferramenta protege os dois casos e mostra uma mensagem em vez de um valor de componente absurdo, o que é o comportamento certo — uma resistência negativa não é uma peça que se encomende. Se precisa mesmo de uma saída acima da entrada, precisa de um conversor elevador ou de uma bomba de carga, não de um divisor.

Como verifico o erro de carga se a ferramenta não tem campo para a carga?

Em dois passos, com uma segunda ferramenta. Leia primeiro a saída em vazio na calculadora de divisor. Calcule depois R1 em paralelo com R2 — a calculadora de resistências em paralelo fá-lo diretamente, e o seu resultado é a resistência interna do divisor. Divida-a pela sua resistência de carga, some um, e divida a saída em vazio pelo resultado. No caso por omissão: 6 V em vazio, R1 ∥ R2 = 5 kΩ, carga de 100 kΩ, portanto 6 dividido por 1,05 dá 5,714 V. Se só quiser o erro e não a tensão, vale quase exatamente a resistência interna dividida pela carga, em percentagem — 5 sobre 100 são cinco por cento, e a resposta exata era 4,76 %. Essa aproximação é boa a uma fração de por cento assim que a carga ultrapassa umas dez vezes a resistência interna, que é de qualquer forma a zona em que deveria projetar.

Um potenciómetro comporta-se como um divisor?

É um, com o ponto de repartição móvel. A pista entre os dois terminais extremos é a resistência total, e o cursor divide-a em R1 acima e R2 abaixo, portanto tudo neste artigo se aplica sem alterações — incluindo o comportamento em carga, com uma subtileza a mais que apanha as pessoas. A resistência interna R1 ∥ R2 não é constante quando se roda o botão: é zero nos dois extremos, onde uma das duas vale zero, e máxima no meio, onde vale um quarto da resistência de pista. Um potenciómetro carregado é por isso preciso nos extremos e pior no centro, o que curva a resposta de um comando que parecia linear em vazio. É também por isso que um controlo de volume que ataca uma carga de baixa impedância se porta mal a meio do curso, e por isso o remédio costuma ser tamponar o cursor e não trocar o potenciómetro.