Uma só fórmula cobre a esfera, o ovo e o planeta

Esticar um eixo estica o volume na mesma proporção

Como os três semieixos se multiplicam, cada um entra linearmente na resposta: tornar uma forma metade do comprimento numa direção reduz o volume a metade, e fazê-lo nas três direções divide-o por oito. É uma relação mais suave do que a lei do cubo que rege a escala de um objeto inteiro, e é por isso que o elipsoide é o modelo natural assim que algo está achatado numa só direção — um glóbulo vermelho, uma lente, um planeta esmagado. Significa também que os três números se reordenam livremente: 5, 3, 4 e 3, 4, 5 descrevem formas orientadas de outro modo com volumes idênticos, o que por vezes serve para verificar que um dado não foi metido na casa errada.

Porque um planeta não é uma esfera

A rotação lança material para fora no equador e não nos polos, pelo que qualquer corpo fluido em rotação assenta como um elipsoide achatado. O achatamento da Terra é pequeno — cerca de uma parte em 298, ou vinte e um quilómetros de diferença entre os dois raios — e chega para contar na navegação, nas órbitas de satélites e na definição dos sistemas de coordenadas que qualquer mapa usa, construídos sobre um elipsoide de referência e não sobre uma esfera. Júpiter, que roda em menos de dez horas, vê-se achatado num telescópio pequeno. A regra é geral: quanto mais rápida a rotação e menos rígido o corpo, mais longe da esfera ele assenta.

Perguntas frequentes

A área da superfície é igualmente simples?

Nem de longe. O volume tem uma fórmula elementar exata e a área de um elipsoide geral não — precisa de integrais elípticos, e os valores que se citam vêm de aproximações e não de uma expressão exata. A área que a ferramenta dá é uma dessas aproximações, certa a uma fração de por cento para formas que não sejam extremamente alongadas: suficiente para qualquer uso prático, não para a dar com cinco algarismos. A esfera é o caso particular em que tudo sai limpo, e é uma das razões por que tanta física se faz sobre esferas.

Como meço os semieixos de um objeto real?

Toma as três maiores larguras perpendiculares entre si e divide cada uma por dois. Um paquímetro fá-lo bem; uma fita métrica não, porque segue a superfície em vez de a atravessar, e a diferença num objeto arredondado é exatamente o erro que se queria evitar. O resultado só vale o que valer a hipótese de o objeto ser mesmo um elipsoide — um ovo visivelmente não é, sendo mais bojudo numa ponta, pelo que tratá-lo como forma simétrica sobrestima ligeiramente o volume. Quando a exatidão conta mais do que a comodidade, deslocar água mede o volume diretamente e salta toda a geometria.