Uma elipse tem uma área simples e nenhum perímetro simples

A aproximação também se degrada, só que muito mais tarde

Com semieixos de 5 e 3, a resposta da calculadora e o integral exato coincidem em seis algarismos. Estica a forma até 10 e 1 e a coincidência afrouxa para cerca de oito partes em dez mil — ainda muito melhor do que uma fita métrica distinguiria, e já não é a exatidão que as casas decimais mostradas sugerem. É essa a leitura honesta de qualquer número saído de uma aproximação: está certo a uma precisão declarada que depende das entradas, não certo em absoluto. Onde a elipse é quase circular a aproximação é essencialmente perfeita; onde é uma lasca longa e fina, dá menos algarismos do que o ecrã oferece.

Onde o problema aparece de facto

Onde quer que seja preciso cortar um comprimento para cingir um oval. A moldura de um espelho elíptico, o remate de um canteiro oval, a correia à volta de duas polias desiguais e a costura de um tampo oval precisam todos do perímetro, e a nenhum serve a área. O caso histórico é o das órbitas planetárias: a distância que um planeta percorre numa volta é exatamente este integral, e a família de funções inventada para o tratar tomou o nome do problema. Regra prática quando a forma é desenhada e não especificada: mede o contorno com fita flexível em vez de o calcular, porque um oval real raramente é uma elipse matemática, para começar.

Perguntas frequentes

O que significa não existir fórmula?

É uma afirmação sobre um vocabulário concreto, não uma confissão de ignorância. O perímetro está perfeitamente definido e calcula-se com tantas casas decimais quantas se queira; o que ele não pode ser é escrito usando apenas as operações familiares — raízes, potências, logaritmos, funções trigonométricas e as suas combinações. Os matemáticos demonstraram que tal expressão não existe, depois definiram funções novas expressamente para nomear a grandeza, e essas funções são hoje tão calculáveis como um seno. O círculo é a exceção, não a regra: a maioria das curvas tem comprimentos que se comportam como este, e o arrumado 2πr do círculo é um golpe de sorte e não o estado normal das coisas.

Pôr os dois eixos iguais dá mesmo um círculo?

Sim, e é a verificação mais rápida disponível sobre qualquer fórmula de elipse. Semieixos de 5 e 5 dão um perímetro de 31,4159, que é 2π vezes 5 em todos os algarismos mostrados, e a fórmula da área desaba em πr² no mesmo instante. Qualquer aproximação digna de uso reproduz o círculo exatamente e não aproximadamente, porque a parte incómoda do integral desaparece quando os dois eixos coincidem. Uma expressão que errasse ligeiramente no círculo estaria a avisar-te de que faz algo diferente do que diz — daí convir começar por este teste com qualquer fórmula encontrada numa mensagem de fórum.