Vierzig hin und sechzig zurück ergeben im Mittel achtundvierzig

Die drei Mittel stehen stets in dieser Reihenfolge

Das harmonische ist nie größer als das geometrische, und das geometrische nie größer als das arithmetische Mittel — für jede Menge positiver Zahlen. Sie fallen nur zusammen, wenn alle Werte gleich sind, und ihr Abstand wächst mit der Streuung; damit ist die Differenz zweier von ihnen ein grobes Maß dafür, wie ungleich die Daten sind. Für 40 und 60 liegen alle drei innerhalb zweier Einheiten; für 1 und 100 beträgt das harmonische 1,98 und das arithmetische 50,5 — Faktor fünfundzwanzig. Ein arithmetisches Mittel weit über dem harmonischen derselben Daten ist ein verlässliches Zeichen dafür, dass wenige große Werte den Schnitt tragen.

Es taucht auch dort auf, wo niemand es so nennt

Der F1-Wert, mit dem ein Klassifikator zusammengefasst wird, ist das harmonische Mittel aus Präzision und Trefferquote — gerade deshalb gewählt, weil es sich von einer der beiden nicht schmeicheln lässt: Ein System mit Präzision 0,6 und Trefferquote 0,8 erreicht 0,686, näher an der schwächeren Zahl, als ein arithmetisches Mittel es setzte. Dieselbe Überlegung liefert das durchschnittliche Kurs-Gewinn-Verhältnis eines Portfolios, das harmonisch zu rechnen ist, weil jedes Verhältnis den Gewinn im Nenner trägt. Überall, wo die gemittelte Größe ein Verhältnis ist und die Nenner das Feste sind, hält das harmonische Mittel die Summe richtig.

Häufige Fragen

Was passiert, wenn ein Wert null ist?

Das Mittel ist undefiniert, denn der Kehrwert von null hat keinen Wert. Das ist keine Schwäche der Formel, sondern eine richtige Beschreibung der abgebildeten Lage: Ein mit null Geschwindigkeit zurückgelegter Abschnitt endet nie, die Durchschnittsgeschwindigkeit der ganzen Fahrt ist also keine Zahl. Dasselbe gilt für den F1-Wert eines Klassifikators, der nichts erkennt. Wo Nullen legitime Daten sind und kein Zeichen dafür, dass etwas nicht geschah, ist das harmonische Mittel die falsche Kennzahl und ein arithmetisches oder ein Median die richtige.

Woran erkenne ich, welches Mittel eine Aufgabe verlangt?

Frage, was nach dem Mitteln wahr bleiben muss. Ist die Summe das Ganze — an Kosten, Massen, Anzahlen —, erhält sie das arithmetische Mittel. Ist das Ganze ein Produkt, wie bei aufeinanderfolgenden Wachstumsraten, das geometrische. Sind die Größen Raten und ist das Feste in ihrem Nenner, lässt das harmonische Mittel die Gesamtrate richtig herauskommen. Die zu erhaltende Größe aufzuschreiben dauert einen Augenblick und wählt das Mittel ohne jede auswendig gelernte Regel.