Tensorprodukt-Rechner (Kronecker-Produkt A ⊗ B)

Das Kronecker-Produkt zweier Matrizen beliebiger Form, Block für Block, in exakten Brüchen oder 6 / 10 signifikanten Stellen — mit der Größenregel (m·p) × (n·q) und den Identitäten zu Rang, Transponierter und Determinante.

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Kreuzprodukt-Rechnera × b in 3D mit der Entwicklung der Determinante, dem Betrag |a||b|sin θ, den Flächen von Parallelogramm und Dreieck, der Einheitsnormalen und der Rechte-Hand-Regel.Skalarprodukt-Rechnera·b in 2 bis 10 Dimensionen mit der Summe Term für Term, beiden Beträgen als exakte Wurzelausdrücke, dem Winkel in Grad und Bogenmaß, den Projektionen und einer Abbildung. Parallelität und Orthogonalität werden in exakten Brüchen entschieden: (1,1,1)·(2,2,2) liefert 0°, nicht NaN.Produkt-Notation-Rechner (Pi-Notation)Werte ein Produkt ∏ f(n) von einem unteren bis zu einem oberen Index aus — das multiplikative Pendant zur Summe. Tippe einen Ausdruck in n, setze die Grenzen, und es berechnet das exakte Produkt mit Term-für-Term-Aufschlüsselung. Ideal für Fakultäten und Teleskopprodukte.Winkel-zwischen-zwei-Vektoren-Rechnerθ = arccos(a·b / (|a||b|)) in 2D oder 3D, in Grad und Bogenmaß, mit Skalarprodukt, beiden Beträgen, den Projektionen und dem Urteil parallel / senkrecht / spitz / stumpf.Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten)Eine Basis des Spaltenraums jeder Matrix bis 6×6, genommen aus den URSPRÜNGLICHEN Pivotspalten statt aus den reduzierten — mit Rang, freien Spalten, vollständiger RREF und jeder Zeilenoperation.Cramersche-Regel-RechnerLöst ein 2×2- oder 3×3-System in exakten Brüchen, entwickelt jede Determinante Term für Term und trennt bei D = 0 die beiden Fälle, die die meisten Rechner vermengen: abhängiges System mit unendlich vielen Lösungen oder unlösbares System ohne jede Lösung.Eigenwert- und Eigenvektor-Rechner (2×2 und 3×3, komplex möglich)Charakteristisches Polynom, exakte Eigenwerte — rational, als Wurzelausdruck wie (1±√5)/2 oder komplex wie ±i bei einer Drehung — mit Eigenvektoren, algebraischer und geometrischer Vielfachheit und einem klaren Urteil zur Diagonalisierbarkeit.Jordansche-Normalform-Rechner (J, P und Blockstruktur)Exakte Jordanform einer 1×1- bis 6×6-Matrix: die Blöcke aus den Rängen von (A−λI)ᵏ, die Transformationsmatrix P aus Ketten verallgemeinerter Eigenvektoren und A·P = P·J exakt geprüft. Zerfällt das charakteristische Polynom nicht über ℚ, sagt das Werkzeug es, statt zu raten.

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Häufige Fragen

Was ist Tensorprodukt-Rechner (Kronecker-Produkt A ⊗ B)?

Wann brauche ich das konkret?

Eine von Hand ausgeführte Zerlegung prüfen, ein lineares System lösen und die Eigenwerte finden, die beschreiben, wie eine Abbildung den Raum dehnt.

Was ist der häufigste Fehler?

Eine Matrix invertieren, um ein System zu lösen. Elimination oder eine Faktorisierung ist schneller und numerisch weit stabiler; eine explizite Inverse verstärkt Rundungsfehler, besonders nahe der Singularität.

Worin unterscheidet sich Tensorprodukt-Rechner (Kronecker-Produkt A ⊗ B) von Kreuzprodukt-Rechner?

Sie liegen nah beieinander, beantworten aber verschiedene Fragen. Kreuzprodukt-Rechner: a × b in 3D mit der Entwicklung der Determinante, dem Betrag |a||b|sin θ, den Flächen von Parallelogramm und Dreieck, der Einheitsnormalen und der Rechte-Hand-Regel. Nimm das, was zu deinem Ausgangspunkt passt — beide sind kostenlos.

Gibt es ein Werkzeug für den nächsten Schritt?

Skalarprodukt-Rechner ist das nächstliegende danach: a·b in 2 bis 10 Dimensionen mit der Summe Term für Term, beiden Beträgen als exakte Wurzelausdrücke, dem Winkel in Grad und Bogenmaß, den Projektionen und einer Abbildung. Parallelität und Orthogonalität werden in exakten Brüchen entschieden: (1,1,1)·(2,2,2) liefert 0°, nicht NaN.

Was lohnt sich sonst noch daneben offen zu haben?

Produkt-Notation-Rechner (Pi-Notation) und Winkel-zwischen-zwei-Vektoren-Rechner — sie tauchen in derselben Aufgabe oft genug auf, um einen zweiten Tab zu verdienen.

Woher stammen die Daten?

Die Zerlegungen folgen ihren Lehrbuchdefinitionen, mit Teilpivotisierung wo sinnvoll. Ergebnisse sind exakt für kleine ganzzahlige Matrizen und sonst der Gleitkommarundung unterworfen.

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ErklärungDie Diagonalen eines Vielecks sind ein Vollnetz minus dem UmfangEin Sechseck hat 9 Diagonalen, ein Zwanzigeck 170 und ein Hundertecken 4.850. Dieselbe Zählung liefert die Verbindungszahl eines Vollnetzes: 190 Verbindungen für 20 Knoten, 4.950 für 100.ErklärungEin Zwanzig-Gallonen-Becken fasst in Großbritannien sechzehn60 × 30 × 40 cm sind 72 Liter — 19,0 US-Gallonen oder 15,8 imperiale. Die beiden Gallonen unterscheiden sich um 20 %, und 5 cm unter dem Rand zu füllen kostet weitere 9 Liter.ErklärungEine Ellipse hat eine einfache Fläche und keinen einfachen UmfangHalbachsen von 5 und 3 ergeben einen Umfang von 25,5270, und der exakte Wert weicht um ein Zweimillionstel ab. Die naheliegende Schätzung π(a+b) liegt 1,5 % zu tief — und bei einer langen dünnen Ellipse 15 % zu tief.ErklärungEine Formel deckt Kugel, Ei und Planet abVier Drittel π mal den drei Halbachsen: 5, 3 und 4 ergeben 251,33, und setzt man alle drei gleich, kommt die Kugel zurück. Der Äquatorwulst kostet die Erde 0,34 % des Kugelvolumens.ErklärungSechzig Meter Zaun umschließen umso mehr Fläche, je runder man sie legtDieselben 60 m Zaun ergeben 173 m² als Dreieck, 225 als Quadrat, 260 als Sechseck und 286 als Kreis. Die Form ist 65 % mehr wert als das Material.ErklärungDas äußere Zehntel einer Scheibe ist ein Fünftel ihrer FlächeEin Ring von Radius 9 bis 10 bedeckt 59,7 Flächeneinheiten einer 314,2er Scheibe — 19 %, bei einem Rand von einem Zehntel des Radius. Ein 60-mm-Rohr mit 3-mm-Wand folgt derselben Rechnung.