Jordansche-Normalform-Rechner (J, P und Blockstruktur)

Exakte Jordanform einer 1×1- bis 6×6-Matrix: die Blöcke aus den Rängen von (A−λI)ᵏ, die Transformationsmatrix P aus Ketten verallgemeinerter Eigenvektoren und A·P = P·J exakt geprüft. Zerfällt das charakteristische Polynom nicht über ℚ, sagt das Werkzeug es, statt zu raten.

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RREF-Rechner (reduzierte Zeilenstufenform)Gauß-Jordan-Elimination bis 10×10 in exakter rationaler Arithmetik, jede Zeilenumformung als R₂ ← R₂ − 2R₁ ausgeschrieben und die Matrix danach neu gezeichnet. Der erweiterte Modus klassifiziert das System und gibt die Lösungsmenge an.Normalverteilungs-RechnerBerechne Normalwahrscheinlichkeiten P(X≤x), P(X>x), P(a≤X≤b) oder finde x für ein Perzentil aus Mittelwert und Standardabweichung.Punkt-Steigungs-Form-RechnerSchreibe y − y1 = m(x − x1) aus Punkt und Steigung oder zwei Punkten, mit den übrigen Formen.Steigungs-Achsenabschnitt-RechnerBring jede Gerade — aus zwei Punkten, Punkt und Steigung oder Normalform — auf y = mx + b.Winkel-zwischen-zwei-Vektoren-Rechnerθ = arccos(a·b / (|a||b|)) in 2D oder 3D, in Grad und Bogenmaß, mit Skalarprodukt, beiden Beträgen, den Projektionen und dem Urteil parallel / senkrecht / spitz / stumpf.Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten)Eine Basis des Spaltenraums jeder Matrix bis 6×6, genommen aus den URSPRÜNGLICHEN Pivotspalten statt aus den reduzierten — mit Rang, freien Spalten, vollständiger RREF und jeder Zeilenoperation.Cramersche-Regel-RechnerLöst ein 2×2- oder 3×3-System in exakten Brüchen, entwickelt jede Determinante Term für Term und trennt bei D = 0 die beiden Fälle, die die meisten Rechner vermengen: abhängiges System mit unendlich vielen Lösungen oder unlösbares System ohne jede Lösung.Kreuzprodukt-Rechnera × b in 3D mit der Entwicklung der Determinante, dem Betrag |a||b|sin θ, den Flächen von Parallelogramm und Dreieck, der Einheitsnormalen und der Rechte-Hand-Regel.

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So funktioniert's

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Häufige Fragen

Was ist Jordansche-Normalform-Rechner (J, P und Blockstruktur)?

Wann brauche ich das konkret?

Eine von Hand ausgeführte Zerlegung prüfen, ein lineares System lösen und die Eigenwerte finden, die beschreiben, wie eine Abbildung den Raum dehnt.

Was ist der häufigste Fehler?

Eine Matrix invertieren, um ein System zu lösen. Elimination oder eine Faktorisierung ist schneller und numerisch weit stabiler; eine explizite Inverse verstärkt Rundungsfehler, besonders nahe der Singularität.

Worin unterscheidet sich Jordansche-Normalform-Rechner (J, P und Blockstruktur) von RREF-Rechner (reduzierte Zeilenstufenform)?

Sie liegen nah beieinander, beantworten aber verschiedene Fragen. RREF-Rechner (reduzierte Zeilenstufenform): gauß-Jordan-Elimination bis 10×10 in exakter rationaler Arithmetik, jede Zeilenumformung als R₂ ← R₂ − 2R₁ ausgeschrieben und die Matrix danach neu gezeichnet. Der erweiterte Modus klassifiziert das System und gibt die Lösungsmenge an. Nimm das, was zu deinem Ausgangspunkt passt — beide sind kostenlos.

Gibt es ein Werkzeug für den nächsten Schritt?

Normalverteilungs-Rechner ist das nächstliegende danach: Berechne Normalwahrscheinlichkeiten P(X≤x), P(X>x), P(a≤X≤b) oder finde x für ein Perzentil aus Mittelwert und Standardabweichung.

Was lohnt sich sonst noch daneben offen zu haben?

Punkt-Steigungs-Form-Rechner und Steigungs-Achsenabschnitt-Rechner — sie tauchen in derselben Aufgabe oft genug auf, um einen zweiten Tab zu verdienen.

Woher stammen die Daten?

Die Zerlegungen folgen ihren Lehrbuchdefinitionen, mit Teilpivotisierung wo sinnvoll. Ergebnisse sind exakt für kleine ganzzahlige Matrizen und sonst der Gleitkommarundung unterworfen.

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ErklärungDer Erwartungswert ist eine Zahl, die nie eintrittErgebnisse von 10, 20 und −5 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,5, 0,3 und 0,2 ergeben einen Erwartungswert von 10. Verschiebe die Wahrscheinlichkeiten leicht, und er wird 10,5 — ein Wert, den keines der drei Ergebnisse hervorbringen kann.ErklärungEin Fehlerbalken, der schrumpft, ist nicht die StandardabweichungFür 10, 12, 15, 11, 13, 14 beträgt die Standardabweichung 1,87 und der Standardfehler 0,76. Sie beantworten verschiedene Fragen, und nur einer von beiden wird mit mehr Daten kleiner.ErklärungEin r von 0,85, das nichts beweistFünf Punkte ergeben r = 0,853, was stark klingt. Die Signifikanzschwelle bei fünf Punkten liegt bei 0,878 — dieser Wert verfehlt sie, und eine perfekte Parabel erreicht exakt null.ErklärungDie Stichprobe vervierfachen, um das Intervall zu halbierenEin Mittelwert von 100 mit einer Standardabweichung von 15 bei 30 Beobachtungen ergibt 100 ± 5,37 auf dem 95-%-Niveau. Mit 120 Beobachtungen sind es ± 2,68 — genau die Hälfte, denn die Stichprobengröße steht unter einer Wurzel.ErklärungDieselben drei Temperaturen ergeben drei verschiedene VariationskoeffizientenFür 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 beträgt der Variationskoeffizient 42,76 %. Er ist das richtige Werkzeug, um Streuung über verschiedene Skalen zu vergleichen — und völlig falsch für jede Skala, deren Null per Konvention gewählt wurde.ErklärungDrei Würfel drängen sich zusammen, ein Würfel nicht3W6 und 1W20 haben fast denselben Mittelwert und sonst nichts gemeinsam. Gegen eine Zielzahl von 12 sind die drei Würfel besser, gegen 18 fünfmal schlechter — und der Rechner liefert die exakten Zahlen, keine Simulation.