Matrizen & Vektoren
Matrizenrechnung, Determinanten, Inverse und die klassischen Zerlegungen (LU, QR, SVD, Eigenwerte). 22 Werkzeuge, darunter Adjazenzmatrix-Rechner, Winkel-zwischen-zwei-Vektoren-Rechner, Cholesky-Zerlegung-Rechner und Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten). Alle kostenlos, ohne Konto und ohne Installation.
Adjazenzmatrix-RechnerWandle jeden Graphen in seine Adjazenzmatrix um. Füge eine Kantenliste (A-B), eine Adjazenzliste (A: B C D) oder eine Binärmatrix ein — das Tool erkennt das Format, baut die beschriftete Adjazenzmatrix und nennt die Gradfolge, die Ein-/Ausgangsgrade bei gerichteten Graphen sowie die Knoten- und Kantenzahl.Winkel-zwischen-zwei-Vektoren-Rechnerθ = arccos(a·b / (|a||b|)) in 2D oder 3D, in Grad und Bogenmaß, mit Skalarprodukt, beiden Beträgen, den Projektionen und dem Urteil parallel / senkrecht / spitz / stumpf.Cholesky-Zerlegung-RechnerZerlege eine symmetrisch positiv definite Matrix A in L·Lᵀ, wobei L eine untere Dreiecksmatrix ist — die Cholesky-Zerlegung. Gib A in einem editierbaren quadratischen Raster ein, und es liefert L, Lᵀ und das Produkt L·Lᵀ; ist die Matrix nicht symmetrisch oder nicht positiv definit, nennt es die verletzte Bedingung. Doppelt so schnell wie LU wird Cholesky in Optimierung, Kalman-Filtern und Monte-Carlo-Simulation genutzt.Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten)Eine Basis des Spaltenraums jeder Matrix bis 6×6, genommen aus den URSPRÜNGLICHEN Pivotspalten statt aus den reduzierten — mit Rang, freien Spalten, vollständiger RREF und jeder Zeilenoperation.Cramersche-Regel-RechnerLöst ein 2×2- oder 3×3-System in exakten Brüchen, entwickelt jede Determinante Term für Term und trennt bei D = 0 die beiden Fälle, die die meisten Rechner vermengen: abhängiges System mit unendlich vielen Lösungen oder unlösbares System ohne jede Lösung.Kreuzprodukt-Rechnera × b in 3D mit der Entwicklung der Determinante, dem Betrag |a||b|sin θ, den Flächen von Parallelogramm und Dreieck, der Einheitsnormalen und der Rechte-Hand-Regel.Skalarprodukt-Rechnera·b in 2 bis 10 Dimensionen mit der Summe Term für Term, beiden Beträgen als exakte Wurzelausdrücke, dem Winkel in Grad und Bogenmaß, den Projektionen und einer Abbildung. Parallelität und Orthogonalität werden in exakten Brüchen entschieden: (1,1,1)·(2,2,2) liefert 0°, nicht NaN.Eigenwert- und Eigenvektor-Rechner (2×2 und 3×3, komplex möglich)Charakteristisches Polynom, exakte Eigenwerte — rational, als Wurzelausdruck wie (1±√5)/2 oder komplex wie ±i bei einer Drehung — mit Eigenvektoren, algebraischer und geometrischer Vielfachheit und einem klaren Urteil zur Diagonalisierbarkeit.Gram-Schmidt-Rechner (Orthonormalbasis)Verwandle eine Menge von Vektoren mit dem Gram-Schmidt-Verfahren in eine Orthonormalbasis: jeder Vektor wird orthogonal zu den vorherigen gemacht und dann auf Einheitslänge normiert. Gib einen Vektor pro Zeile in einem editierbaren Raster ein, und es liefert die Orthonormalbasis, wobei linear abhängige Vektoren verworfen werden. Orthonormalbasen sind die Grundlage der QR-Faktorisierung, der Fourier-Analyse und von Projektionen.Matrix-RechnerAddiere, subtrahiere und multipliziere Matrizen, skalieren, transponieren, Determinante und Inverse von A.Determinanten-Rechner (2×2-Matrix)Berechne die Determinante einer 2×2-Matrix (ad − bc).LU-Zerlegungs-RechnerZerlege eine quadratische Matrix in eine untere L und obere U Dreiecksmatrix (Doolittle-Verfahren).Matrixpotenz-Rechner (Aⁿ, n von −10 bis 20)Potenziere eine 1×1- bis 5×5-Matrix mit jeder Potenz von −10 bis 20 in exakten Brüchen: A⁰ = I, binäre Exponentiation für positives n, exakte Inverse für negatives n und ein ehrliches det(A) = 0, wenn keine Inverse existiert.Matrix-Rang-RechnerDer Rang einer Matrix durch Zeilenstufenform — die Zahl linear unabhängiger Zeilen.Matrix-Spur-RechnerDie Spur einer quadratischen Matrix — die Summe ihrer Hauptdiagonalelemente.Kern-Rechner (Basis von Nul(A), Defekt, parametrische Lösung)Löse Ax = 0 für jede Matrix bis 8×8: eine Basis des Kerns in exakten Brüchen und in ganzen Zahlen, die freien Variablen, die parametrische Lösung, die Probe der Dimensionsformel und A·v = 0 exakt geprüft.QR-Zerlegung-RechnerZerlege eine Matrix A in Q·R, wobei Q orthonormale Spalten hat und R eine obere Dreiecksmatrix ist, per modifiziertem Gram-Schmidt-Verfahren. Gib A in einem editierbaren Raster ein (Zeilen ≥ Spalten), und es liefert Q, R und das Produkt Q·R, sodass du die Faktorisierung auf einen Blick prüfst. QR ist das Arbeitspferd hinter der Kleinste-Quadrate-Regression und Eigenwertalgorithmen.RREF-Rechner (reduzierte Zeilenstufenform)Gauß-Jordan-Elimination bis 10×10 in exakter rationaler Arithmetik, jede Zeilenumformung als R₂ ← R₂ − 2R₁ ausgeschrieben und die Matrix danach neu gezeichnet. Der erweiterte Modus klassifiziert das System und gibt die Lösungsmenge an.SVD-Rechner (Singulärwertzerlegung)Berechne die Singulärwertzerlegung A = U·Σ·Vᵀ jeder Matrix. Die Singulärwerte sind die Wurzeln der Eigenwerte von AᵀA, ermittelt mit dem Jacobi-Eigenwertalgorithmus; U und V sind orthogonal. Gib A in einem editierbaren Raster ein (bis 6×6), und es liefert die Singulärwerte, U, Σ, Vᵀ und die Rekonstruktion U·Σ·Vᵀ. Die SVD ist die Grundlage von PCA, Bildkompression, Empfehlungssystemen und der Pseudoinversen.Tensorprodukt-Rechner (Kronecker-Produkt A ⊗ B)Das Kronecker-Produkt zweier Matrizen beliebiger Form, Block für Block, in exakten Brüchen oder 6 / 10 signifikanten Stellen — mit der Größenregel (m·p) × (n·q) und den Identitäten zu Rang, Transponierter und Determinante.Einheitsvektor-Rechnerv̂ = v / |v| in 2 bis 10 Dimensionen, mit |v| als vereinfachtem Wurzelausdruck, jeder Komponente exakt ((−3,6,−2) ergibt −3/7, 6/7, −2/7), dem Anteil jeder Komponente an |v|², den Richtungskosinus und einer Abbildung mit Einheitskreis.Vektorbetrag-RechnerBerechne den Betrag (Länge) eines 3D-Vektors aus seinen Komponenten.