Aportaciones periódicas: qué compras realmente

La identidad que casi nadie enuncia: tu coste medio es una media armónica

Supón que gastas un importe fijo C en cada uno de n periodos, a los precios p₁ … pₙ. Las unidades compradas en el periodo i son C ÷ pᵢ, así que el total de unidades es C·Σ(1 ÷ pᵢ) y el total gastado nC. Tu coste medio por unidad es el segundo dividido entre el primero: nC ÷ [C·Σ(1 ÷ pᵢ)] = n ÷ Σ(1 ÷ pᵢ). Esa expresión es la definición de la media armónica de los precios. La C se cancela, luego el resultado no depende de cuánto inviertas, solo de que el importe sea constante.

Cambia ahora la regla. Compra un número fijo de unidades U cada periodo en vez de gastar un importe fijo. El total gastado es U·Σpᵢ y el total de unidades nU, así que el coste medio es Σpᵢ ÷ n — la media aritmética de los precios, que es también sin más el precio medio que citaría un observador pasivo. Las dos reglas producen dos medias distintas de exactamente la misma serie de precios, y ese es todo el contenido matemático de las aportaciones periódicas.

Toma una trayectoria concreta de doce precios mensuales: 100, 84, 72, 95, 120, 140, 105, 88, 76, 92, 130, 118. La media aritmética es 101,6667. Gastar 200 € al mes compra 24,575589 unidades por 2 400 €, lo que es un coste medio de exactamente 97,6579 — y la media armónica de esos doce precios es 97,6579 hasta el último decimal que un ordenador quiera imprimir. Comprar 2 unidades al mes cuesta en cambio 2 440,00 € por 24 unidades, una media de exactamente 101,6667. La brecha es 4,0088, un 4,10 % de la media armónica, y ha aparecido sin más razón que la forma de la regla de gasto.

Por qué la media armónica es siempre la menor de las dos

La desigualdad no es una regularidad empírica, es un teorema. Para cualesquiera números positivos, la desigualdad de Cauchy-Schwarz da (Σpᵢ)·(Σ1÷pᵢ) ≥ n². Divide ambos miembros entre n²: (Σpᵢ ÷ n) · (1 ÷ [n ÷ Σ(1÷pᵢ)]) ≥ 1, que dice media aritmética ÷ media armónica ≥ 1. La igualdad solo se da si todos los precios son idénticos. Así que la media armónica es como mucho igual a la aritmética, siempre, para toda trayectoria de precios que haya existido o vaya a existir, sin ningún supuesto sobre tendencia, distribución o dirección del mercado.

El tamaño de la brecha lo gobierna lo dispersos que estén los precios. En buena aproximación, la diferencia entre ambas medias es la varianza de los precios dividida entre su media aritmética. En la trayectoria de arriba la desviación típica poblacional de los precios es 20,544 — un coeficiente de variación del 20,21 % — y la aproximación da 20,544² ÷ 101,6667 = 4,151 frente a una brecha real de 4,009. En una trayectoria más tranquila, 100, 102, 98, 101, 103, 99, 100, 102, 101, 99, 100, 101, la media aritmética es 100,5000, la armónica 100,4809, y la brecha se desploma al 0,019 %. El beneficio es real, es proporcional a la dispersión de los precios, y en un activo tranquilo se redondea a nada.

Lo que la media armónica no demuestra

La comparación que establece el teorema es entre un plan de importe fijo y uno de cantidad fija sobre los mismos precios. No es una comparación con invertirlo todo el día 1, y tomarla por tal es donde vive casi toda la confusión de este asunto. Ganar al precio medio es fácil y algo irrelevante: el inversor de golpe tampoco pagó el precio medio. Pagó el primer precio, 100, que en esta trayectoria está por debajo de ambas medias.

En esta trayectoria concreta el plan sí gana, y merece la pena ver por qué eso no prueba nada. Doce pagos de 200 € compran 24,575589 unidades, que valen 2 899,92 € al precio de cierre de 118 — una ganancia del 20,83 % sobre 2 400 € gastados. Los mismos 2 400 € comprometidos al precio de apertura de 100 compran 24 unidades que valen 2 832,00 €, un 18,00 % de ganancia. El plan aventaja en 67,92 € porque esta trayectoria cayó con fuerza en el medio, y el dinero del comprador mensual llegó cuando los precios estaban en 72, 76 y 88. Invierte la trayectoria para que suba primero y caiga después y la ordenación se invierte con ella. Una trayectoria no prueba nada; una distribución sí.

La comparación honesta: 200 000 trayectorias simuladas

Los parámetros hay que declararlos, porque son supuestos y no observaciones: un horizonte de doce meses, 12 000 € a invertir, rentabilidades mensuales lognormales con media aritmética del 8 % anual y volatilidad anualizada del 20 %, y un 2 % anual sobre la liquidez aún no invertida. El inversor de golpe mete 12 000 € el día 1. El del plan mete 1 000 € al principio de cada uno de doce meses y cobra el tipo de la liquidez sobre el saldo en espera. Ambos se valoran al final del mes doce. Sin comisiones, sin impuestos, sin horquilla — añadirlos no cambia el sentido del resultado.

La simulación no hace falta para obtener las esperanzas, lo que sirve para comprobarla. La riqueza invertida esperada del plan es Σ 1 000·(1,08)^((12−t)÷12) para t = 0 … 11, es decir 12 513,89 €, más 110,39 € de intereses de la liquidez, o sea 12 624,28 €. La esperanza de la aportación única es sencillamente 12 000 € × 1,08 = 12 960,00 €. La brecha es de 335,72 € y las medias simuladas, 12 623 € y 12 960 €, caen encima. La razón no es sutil: cada euro del plan está invertido 6,5 meses de media en vez de 12, así que gana aproximadamente la mitad de la rentabilidad esperada, y mientras tanto la mitad del dinero descansa en una cuenta poco remunerada.

Es en la distribución donde el plan se gana el sitio, y la tabla de arriba la da entera. La desviación típica de la riqueza final del plan es de 1 559 € frente a 2 625 € — un 41 % menos. Su percentil cinco es 10 262 € frente a 9 142 €, así que en la peor trayectoria de cada veinte el plan está 1 120 € mejor. Su percentil noventa y cinco es 15 352 € frente a 17 661 €, así que en la mejor de cada veinte está 2 309 € peor. Ambas afirmaciones son la misma afirmación. El plan cedió 2 309 € de subida para comprar 1 120 € de protección a la baja, y terminó por delante en el 44,43 % de las trayectorias.

Dos variantes afinan el cuadro. Sube la volatilidad al 40 % y el plan gana en el 53,39 % de las trayectorias y en la mediana — 12 187 € frente a 11 958 € — mientras la brecha de la media sigue en 340 €, porque la media la gobierna el tiempo en el mercado y la mediana la forma de la distribución. Pon la rentabilidad esperada a cero y el plan gana en el 57,47 % de las trayectorias y también en la media, con 12 109 € frente a 12 000 €. Esa es la regla general dicha con limpieza: el coste del plan es la rentabilidad esperada a la que renuncia por mantener liquidez, así que donde no hay rentabilidad esperada no hay coste. Quita el 2 % de la liquidez y la media del plan cae a 12 513 € y su tasa de victoria al 41,15 %, recordatorio de que dónde espera el dinero forma parte de la decisión.

La razón real por la que se usa, y es buena

El argumento de la riqueza esperada supone un inversor que ejecuta con calma, una vez, el plan que la aritmética recomienda. Los inversores reales afrontan una decisión que hay que seguir tomando, y el plan escalonado es muy a menudo el que de verdad seguirán. Meter el ahorro de un año entero en un mercado en una sola mañana exige una tolerancia al arrepentimiento que muchas personas descubren, tarde, que no tienen; un plan ya montado y automatizado no exige nada en el mes en que los precios caen, que es exactamente el mes en que un inversor discrecional se detiene.

Esa es una ventaja real y no está medida en ninguna parte de la tabla de arriba, porque la simulación compara dos planes que ambos se llevan a cabo. La comparación a la que un particular se enfrenta de verdad suele ser entre un plan escalonado ejecutado y una aportación única abandonada — y frente a un plan que nunca ocurre, 12 623 € es una cifra muy buena. El planteamiento honesto es por tanto: el coste esperado de escalonar, bajo estos supuestos, es de unos 337 € sobre 12 000 € en un año, un 2,8 % de la suma, y ese es el precio de un plan que vas a mantener. Si merece la pena pagarlo es una pregunta sobre ti, no sobre la aritmética.

El caso en que domina de verdad

Todo lo anterior compara un plan con una aportación única. Esa comparación presupone que existe una suma. Para la mayoría de quienes ahorran de su renta, no existe: el dinero llega mensualmente y la aportación de cada mes se invierte en cuanto existe. No hay estrategia alternativa a la que se renuncie, ni liquidez ociosa, ni rentabilidad esperada cedida. Invertir el ahorro de cada mes el mes en que llega es sencillamente invertir de inmediato — es la estrategia de la aportación única, aplicada doce veces a doce sumas pequeñas.

La distinción importa porque las dos situaciones reciben el mismo nombre y solo una conlleva un coste. Si has heredado, vendido algo o cobrado un bonus, y el dinero está parado en una cuenta, escalonarlo tiene un coste esperado medible y compra una reducción de dispersión medible: puedes sopesar ambas cosas con las cifras de arriba. Si inviertes una parte de cada nómina, no hay nada que sopesar. El efecto de la media armónica es entonces un bonus auténtico y gratuito: tu coste medio del año saldrá igualmente por debajo del precio medio, sin gasto alguno, únicamente porque una aportación fija compra más unidades cuando los precios están bajos.

Preguntas frecuentes

¿Las aportaciones periódicas ganan a invertir de golpe?

No en riqueza final esperada, bajo los supuestos usados aquí. En doce meses con 12 000 €, un 8 % de rentabilidad media supuesta, un 20 % de volatilidad y un 2 % sobre la liquidez en espera, la aportación única promedia 12 960 € y el plan mensual 12 623 € — un déficit de 337 €, un 2,8 % de la suma. La razón es el tiempo invertido: cada euro del plan lo está 6,5 meses de media en vez de 12. El plan gana en el 44,43 % de las 200 000 trayectorias simuladas. Lo que sí compra es una desviación típica un 41 % menor y un percentil cinco 1 120 € mejor. Cambia el supuesto a rentabilidad esperada cero y el plan gana también en la media, con 12 109 € frente a 12 000 € — lo que muestra que el coste es exactamente la rentabilidad a la que se renuncia, nada más.

¿La ventaja de la media armónica es real o un truco de presentación?

Es real y demostrable, pero responde a una pregunta más estrecha de lo que parece. Es un teorema que gastar un importe fijo produce un coste medio igual a la media armónica de los precios, que nunca está por encima de la aritmética — 97,66 frente a 101,67 en la trayectoria de este artículo, un 4,10 % de ventaja. Es una afirmación cierta sobre tu coste respecto al precio medio de la misma ventana. No es una afirmación sobre tu coste respecto a ninguna otra estrategia, y en particular el comprador de golpe pagó el primer precio, no el medio, así que el teorema no dice nada sobre cuál de los dos sale mejor parado. La brecha además se reduce a casi nada cuando los precios son estables: en una trayectoria tranquila de este artículo era del 0,019 %.

¿En cuántos periodos debo repartir el dinero?

Los dos efectos tiran en sentidos opuestos y ambos escalan con la duración del calendario. Un calendario más largo deja más dinero en liquidez durante más tiempo, así que el coste esperado sube aproximadamente en proporción; bajo los supuestos de aquí, repartir 12 000 € en doce meses cuesta unos 337 € en esperanza, y un calendario del doble de largo dejaría cada euro invertido 12,5 meses de 24 en vez de 6,5 de 12, con un coste proporcionalmente mayor. Un calendario más largo también reduce más la dispersión, aunque con rendimientos decrecientes, ya que buena parte de la reducción de varianza se logra ya en las primeras aportaciones. No hay un óptimo válido para todos, porque el intercambio enfrenta una cantidad calculable con una tolerancia que solo tú puedes valorar. Lo que conviene evitar es un calendario tan largo que sea la asignación a liquidez, y no la inversión, la que determine el resultado.

¿Un plan mensual con cargo a la nómina tiene el mismo inconveniente?

No, y esta es la distinción más importante del asunto. El coste esperado de un plan escalonado es la rentabilidad a la que se renuncia al dejar el dinero en liquidez en vez de invertirlo. Si el dinero aún no existe — porque llega con cada nómina — no hay liquidez ociosa y no se renuncia a nada. Invertir la aportación de cada mes en cuanto llega es invertir de inmediato, no escalonar. En esa situación el efecto de la media armónica es un bonus gratis: tu coste medio del año sale por debajo del precio medio únicamente porque una aportación fija compra más unidades cuando los precios están bajos. La comparación con la aportación única sencillamente no aplica, porque nunca hubo una suma que desplegar.

¿Las comisiones de transacción cambian la conclusión?

Empujan en el mismo sentido que el efecto de rentabilidad esperada, así que ensanchan la brecha en vez de cerrarla. Un plan hace doce compras donde una aportación única hace una, así que cualquier cargo fijo por orden se paga doce veces; 2 € por orden cuestan 24 € frente a 2 €, y sobre 12 000 € eso es un 0,18 % más entregado. Las comisiones porcentuales y las horquillas son en general neutras, ya que escalan con el importe negociado y no con el número de operaciones. Consecuencias prácticas: preferir, para un plan regular, un proveedor sin cargo por orden, y desconfiar de calendarios muy frecuentes — un plan semanal paga cuatro veces los costes fijos de uno mensual a cambio de una reducción adicional de dispersión pequeña.