La volatilidad no es el riesgo, y la raíz del tiempo es una elección

De dónde sale realmente la raíz cuadrada

Volatilidad significa desviación típica de las rentabilidades, pero una desviación típica solo existe respecto a un periodo. Una desviación típica diaria y una mensual son números distintos que describen el mismo activo, así que para comparar algo hay que acordar un periodo, y la convención es el año. El puente es: volatilidad anualizada = desviación típica del periodo × √(periodos por año).

La deducción cabe en dos líneas. La rentabilidad anual es la suma de las rentabilidades de periodo — en logaritmos, exactamente. La varianza de una suma de variables aleatorias independientes es la suma de sus varianzas, así que si hay n periodos en el año y cada uno tiene varianza σ², la varianza anual es nσ². Toma la raíz y la desviación típica anual es σ√n. Eso es todo. Para datos diarios de un activo que cotiza todos los días, √365 = 19,105; para un mercado con 252 sesiones, √252 = 15,875; el semanal da √52 = 7,211; el mensual da √12 = 3,464; el trimestral da exactamente 2.

Fíjate en lo que hubo que suponer para llegar ahí: que las rentabilidades consecutivas son independientes, de modo que los términos de covarianza en la varianza de la suma se anulan todos. Nada en los datos lo garantiza. La raíz del tiempo es consecuencia de un modelo de cómo se mueven los precios — incrementos independientes — y cuando el modelo es falso, el factor lo es con él. Esa es la diferencia entre una operación aritmética y una elección de modelización, y casi toda cifra de volatilidad que leerás se presenta como si fuera lo primero.

Cuánto se mueve la respuesta cuando las rentabilidades no son independientes

Mantén el supuesto de una varianza constante por periodo pero permite que las rentabilidades estén serialmente correlacionadas con coeficiente ρ de decaimiento geométrico. La varianza de una suma de n periodos es entonces σ²·[n + 2·Σₖ₌₁^(n−1)(n − k)·ρᵏ] en vez de nσ². Divide entre nσ² y obtienes un cociente de varianzas que dice exactamente cuánto se equivoca el escalado ingenuo.

Toma un activo cuya desviación típica diaria es del 3,141 % — exactamente la cifra que se anualiza al 60,0 % bajo el supuesto de independencia con 365 días. Si la autocorrelación diaria es 0,05, la volatilidad anualizada honesta es del 63,1 % y la cifra publicada se queda corta un 4,9 %. Con 0,1 es del 66,3 %, un 9,5 % corta. Con 0,2 es del 73,4 %, un 18,3 %. Los mercados en tendencia, movidos por el momento, están de este lado de la línea, y la fórmula estándar te dice que están más tranquilos de lo que están.

La corrección va en sentido contrario para series que revierten a la media. Con una autocorrelación diaria de −0,1 la cifra anualizada honesta es del 54,3 % en lugar del 60,0, y con −0,2 es del 49,0: la fórmula estándar sobrevalora un 10,5 % y un 22,4 % respectivamente. Ninguna de las dos direcciones es un efecto pequeño, y ninguna se ve en una cifra de volatilidad citada sola. Siempre que una volatilidad importe — dimensionar una posición, valorar una opción, comparar dos activos — vale la pena medir la autocorrelación de la serie subyacente antes de aplicar el factor √t.

Rentabilidades logarítmicas, simples, y por qué la fórmula quiere las primeras

Una rentabilidad simple es (P₁ − P₀) ÷ P₀. Una logarítmica es ln(P₁ ÷ P₀). La deducción de arriba exigía que la rentabilidad anual fuera la suma de las de periodo, lo cual es cierto de las logarítmicas y falso de las simples. Dos meses de +50 % y −50 % suman cero como rentabilidades simples; el resultado real es 1,50 × 0,50 − 1 = −25 %. Como logarítmicas suman ln(1,5) + ln(0,5) = −28,768 %, y exp(−0,28768) − 1 = −25 % exactamente. Solo una de las dos convenciones tiene la aditividad de la que depende el argumento de la varianza.

Para movimientos pequeños ambas coinciden, y por eso la elección suele ser invisible. Una rentabilidad simple del 1 % es un 0,995 % logarítmico, una diferencia de 0,005 puntos. Al 5 % la brecha es de 0,121 puntos, al 10 % de 0,469, al 20 % de 1,768 y al 50 % de 9,453. Las pérdidas también divergen, y de forma asimétrica: una rentabilidad simple del −20 % es un −22,314 % logarítmico, y una del −50 % es un −69,315 %. En un índice tranquilo la convención apenas importa. En un activo que se mueve con regularidad un 10 o un 20 % en un día, la volatilidad calculada sobre rentabilidades simples y la calculada sobre logarítmicas son números distintos, y solo uno pertenece a la fórmula del √t.

Hay una segunda dependencia, más discreta: la frecuencia de muestreo elegida. Un activo con un 60 % de volatilidad anualizada tiene una desviación típica diaria del 3,141 %, semanal del 8,321 % y mensual del 17,321 %. Son la misma volatilidad expresada de tres formas, mientras se sostenga el supuesto de independencia — y cuando no se sostiene, se anualizan a tres números distintos. Muestrear por horas en lugar de por días sobre el mismo activo recoge ruido de microestructura que no forma parte del riesgo que preocupa a nadie, y √8760 = 93,595 lo amplifica. Elegir una frecuencia es elegir qué cuenta como movimiento de precio.

Lastre de volatilidad: por qué una rentabilidad media positiva puede aun así perder dinero

Aquí es donde está el dinero. La media de un conjunto de rentabilidades y la tasa a la que el dinero capitaliza realmente a través de ellas son dos magnitudes distintas, y la segunda es siempre la menor. La demostración más limpia cabe en dos periodos: +50 % y luego −50 %. La media aritmética es cero. El resultado compuesto es 1,5 × 0,5 = 0,75, una pérdida del 25 %, y la media geométrica por periodo es √0,75 − 1 = −13,397 %. Nada ha salido mal; eso es lo que hace una media cuando las magnitudes se multiplican en vez de sumarse.

El tamaño de la brecha lo gobierna la volatilidad. Para movimientos simétricos de ±x con media aritmética nula, la media geométrica es √(1 − x²) − 1, y la desviación típica poblacional es exactamente x. Con ±10 % la media geométrica es −0,501 % frente a un −σ² ÷ 2 = −0,500 previsto. Con ±20 % es −2,020 frente a −2,000; con ±30 %, −4,606 frente a −4,500; con ±50 %, −13,397 frente a −12,500. La regla empírica — la media aritmética supera a la tasa compuesta en unos σ² ÷ 2 — es muy buena a baja volatilidad y empieza a subestimar el daño a alta volatilidad.

Apliquémoslo ahora a algo que se parezca a una inversión. Toma un activo cuyas rentabilidades tienen una media aritmética del 8,00 % anual — una cifra perfectamente respetable y sin duda positiva — y haz variar solo la volatilidad. Con rentabilidades lognormales la tasa de crecimiento compuesto es exacta y no aproximada, y la tabla de arriba da ambas. Con un 10 % de volatilidad el activo capitaliza al 7,46 %. Con un 30 % capitaliza al 3,25 %, habiendo perdido más de la mitad de su rentabilidad media solo por la variabilidad. Con un 39,23 % de volatilidad capitaliza exactamente a cero. Con un 60 % capitaliza al −9,79 % anual: rentabilidad media positiva, y 10 000 € se convierten en 3 569 € en diez años.

Una simulación de 400 000 extracciones confirma la forma cerrada en vez de sustituirla: con un 30 % de volatilidad la media simple simulada salió al 7,97 % con una tasa compuesta del 3,23; con un 60 %, al 8,24 % y −9,65. La volatilidad de equilibrio para una rentabilidad media del 8 % es del 39,23 % — por encima, la rentabilidad media es positiva y el dinero mengua. Este es el mecanismo detrás del aviso clásico de que los productos apalancados con reajuste diario no siguen a su índice en periodos largos de tenencia: multiplicar por dos la rentabilidad diaria multiplica el lastre por cuatro.

Por qué la volatilidad no es lo mismo que el riesgo

La volatilidad mide cuánto se mueven los precios. El riesgo es la posibilidad de un resultado que no puedes aceptar. Se solapan pero no son lo mismo, y hay tres brechas que importan. Primero, la volatilidad es simétrica: cuenta igual una subida del 10 % y una bajada del 10 %, que es lo que desarrolla en detalle el artículo compañero sobre el ratio de Sharpe. Segundo, la volatilidad se mide sobre las rentabilidades ocurridas, así que es ciega a una pérdida que aún no ha sucedido — un activo puede estar perfectamente tranquilo hasta el momento en que deja de estarlo, y ninguna cantidad de datos pasados contendrá el suceso. Tercero, la volatilidad no dice nada sobre permanencia: un índice diversificado que cae un 30 % y una posición única que cae un 30 % se registran igual, aunque solo uno de los dos tiene un mecanismo para volver.

Para lo que la volatilidad sirve de verdad es para dimensionar posiciones y comparar. Un activo con un 60 % de volatilidad anualizada pasará, bajo un supuesto de normalidad que ya de por sí es imperfecto, la mayor parte del tiempo dentro de una banda de aproximadamente el 60 % en torno a su tendencia, y eso basta para decidir cuánto puedes tener de él sin que todo el resultado de la cartera dependa de ello. Es además el insumo correcto para valorar una opción, y el denominador correcto al comparar dos rentabilidades. No es una afirmación sobre cuánto puedes perder.

Qué declarar siempre que se cite una volatilidad

Cuatro cosas, ninguna opcional. La frecuencia de muestreo, porque los datos horarios, diarios, semanales y mensuales dan respuestas distintas para el mismo activo. La ventana, porque una volatilidad calculada a 30 días y otra a dos años describen periodos distintos y no son intercambiables. La convención de rentabilidad, logarítmica o simple, porque divergen en cuanto los movimientos son grandes. Y el factor de anualización realmente usado, ya que 365 y 252 difieren un 20 % y ambos son defendibles según si el activo cotiza todos los días.

Una última distinción que conviene tener clara: todo lo anterior es volatilidad realizada, calculada hacia atrás sobre precios ya ocurridos. La volatilidad implícita es un objeto completamente distinto — es la cifra de volatilidad que hace que un modelo de valoración reproduzca el precio cotizado de una opción, es decir, un número prospectivo extraído de lo que la gente paga y no una medición de lo ocurrido. Ambas se citan en las mismas unidades y se confunden con frecuencia, y responden a preguntas distintas.

Preguntas frecuentes

¿Debo anualizar con 365 días o con 252?

Usa el número de periodos en los que el activo puede moverse de verdad. Un mercado que cierra fines de semana y festivos produce unas 252 observaciones al año, así que √252 = 15,875 es lo correcto; un activo que cotiza en continuo produce 365, así que √365 = 19,105 es lo correcto. Ambos difieren un 20,4 %, demasiado para dejarlo sin declarar: la misma desviación típica diaria del 3,141 % se anualiza al 60,0 % con 365 días y al 49,9 % con 252. Lo que no se debe hacer es comparar una cifra calculada de un modo con otra calculada del otro, que es exactamente lo que ocurre cuando se pone un activo de negociación continua junto a uno de bolsa sin comprobar la convención.

¿Una volatilidad más alta significa siempre una peor inversión?

No, pero siempre significa una brecha mayor entre la rentabilidad media y la compuesta, y esa brecha crece con el cuadrado de la volatilidad. Duplicar la volatilidad del 20 al 40 % no duplica el lastre de 2,00 a 4,00 puntos — lo cuadruplica a 8,00. Por eso la pregunta no es si un activo es volátil sino si su rentabilidad media basta para pagar su propia volatilidad. Con un 8 % de rentabilidad media el umbral está en un 39,23 % de volatilidad. Un activo que promedie un 25 % podría soportar un 60 % de volatilidad y aun así capitalizar en positivo; uno que promedie un 8 % no. La cifra de volatilidad sola no responde a nada.

¿Por qué dos sitios publican volatilidades distintas para el mismo activo?

Porque al menos cuatro elecciones entran en el número y casi nadie publica las cuatro. La frecuencia de muestreo cambia la respuesta en cuanto las rentabilidades no son independientes. La ventana de observación la cambia siempre — 30 días y 730 días describen periodos distintos. La convención de rentabilidad la cambia en cuanto los movimientos son grandes, ya que una rentabilidad simple del −20 % es un −22,314 % logarítmico. Y el factor de anualización la cambia un 20,4 % entre 252 y 365. Añade la elección entre desviación típica muestral y poblacional, que importa en ventanas cortas, y dos cálculos honestos del mismo activo en aproximadamente el mismo periodo pueden diferir en un tercio. Antes de comparar dos volatilidades, comprueba que las cuatro convenciones coinciden; si una página no las declara, su cifra no es reproducible.

¿El lastre de volatilidad es un coste real o una ilusión contable?

Es enteramente real, en el sentido de que es la diferencia entre el dinero con el que acabas y el que la rentabilidad media sugiere que deberías tener. No es una comisión, y nadie la cobra: es una propiedad de la multiplicación. El ejemplo de dos periodos zanja la cuestión — +50 % y luego −50 % promedian cero y te dejan con el 75 % de lo que empezaste, y una media no se gasta. Lo ilusorio es la propia media aritmética, que describe un periodo típico aislado y no el resultado de una sucesión de ellos. Si la pregunta es cuánto dinero tendrás, la tasa de crecimiento compuesto es el único número relevante, y siempre es igual o menor que la media aritmética, con igualdad solo si todas las rentabilidades son idénticas.

¿Cuántas observaciones hacen falta para que una estimación de volatilidad sea utilizable?

Más de las que usa la mayoría, y la exigencia crece si las rentabilidades se alejan de la normalidad. El error típico de una desviación típica estimada cae aproximadamente como uno partido por la raíz del tamaño muestral, así que pasar de 30 observaciones a 120 reduce la incertidumbre a la mitad y pasar de 120 a 480 la reduce otra vez a la mitad. Esa es la razón de que una volatilidad a 30 días se mueva tanto de una semana a otra: la mayor parte del movimiento es ruido de estimación y no un cambio en el activo subyacente. El compromiso es real, ya que una ventana más larga es más precisa sobre un periodo más antiguo, que puede ya no describir el presente. La solución práctica es mirar dos ventanas — una corta y una larga — y tratar una divergencia grande entre ellas como información y no como dos números que promediar.