Si la varianza no es la media, no es una Poisson

Una capacidad ajustada a la media se supera con regularidad

Cinco de media no significa cinco la mayor parte del tiempo. Exactamente cinco ocurre en torno al 17 % de los intervalos, y todo lo demás pasa en el 83 restante — incluidos ninguno en uno de cada ciento cincuenta, y diez o más en el 3,2 %, es decir aproximadamente un intervalo de cada treinta y uno. Una cola, una centralita o un cuadrante construido sobre la media estará por tanto desbordado varias veces por hora si el intervalo es el minuto. Dimensiona en cambio contra un percentil alto elegido, y di cuál: apuntar al noventa y cinco es aceptar que un intervalo de cada veinte se desborda, y esa es una decisión de política y no de aritmética.

El ritmo constante es el supuesto que falla primero

Casi nada llega a un ritmo verdaderamente constante. El tráfico web tiene una forma diaria y una semanal; los tickets de soporte se disparan tras una puesta en producción; los accidentes de tráfico se agrupan alrededor del tiempo atmosférico. Ajustar un único ritmo sobre un periodo que contiene varios regímenes produce una distribución más ancha que la Poisson que dice ser — exactamente el exceso de varianza descrito arriba, que a menudo se confunde con agrupamiento cuando en realidad es una media móvil. El remedio es partir los datos en ventanas donde el ritmo sea plausiblemente estable — horas del día, días de la semana — y ajustar cada una por separado, lo que suele restablecer la igualdad de media y varianza dentro de cada ventana.

Preguntas frecuentes

¿En qué se diferencia de la distribución binomial?

La binomial cuenta éxitos entre un número fijo de ensayos, así que tiene techo — veinte lanzamientos de moneda no pueden dar veintiuna caras. Poisson cuenta sucesos en una ventana sin cota superior: nada en el modelo prohíbe cien llegadas en un minuto que promedia cinco, solo lo vuelve astronómicamente improbable. Ambas convergen cuando el número de ensayos es grande y la probabilidad de cada uno pequeña, y por eso Poisson es la elección práctica para sucesos raros entre muchas oportunidades — unos pocos defectos en una serie larga, un puñado de clics entre muchas impresiones.

¿Puede el ritmo ser fraccionario?

Sí, y normalmente lo es. El parámetro es una media sobre una ventana: medio suceso por hora describe perfectamente algo que ocurre una docena de veces al día, y los recuentos que predice siguen siendo enteros. Cambiar la ventana reescala el parámetro proporcionalmente — cinco por minuto son trescientos por hora — y las probabilidades cambian en consecuencia, por lo que la ventana debe enunciarse junto al ritmo. Un modelo ajustado por minuto y aplicado por hora se equivoca en un factor sesenta en el parámetro y en mucho más en la cola.