De combien se trompe « nominal moins inflation » ? D'exactement une année d'inflation

Une ligne d'algèbre remplace tout le débat

Pars de ce que le rendement réel est censé signifier : combien tu peux acheter en plus, pas combien d'unités monétaires tu détiens en plus. Si un panier coûte 100 aujourd'hui et 103 l'an prochain, et que ton argent passe de 100 à 108, alors l'an prochain tu peux acheter 108 ÷ 103 = 1,048544 panier — un gain de 4,8544 % en choses. Cette division est la définition, pas un raffinement de la définition. En la réécrivant on obtient (n − i) ÷ (1 + i), ce qui montre exactement d'où vient la soustraction et exactement ce qui lui manque : la soustraction, c'est le numérateur tout seul, le dénominateur oublié. Comme le dénominateur vaut (1 + i), l'oublier multiplie la réponse par (1 + i), et multiplier par (1 + i), c'est exactement omettre de convertir la monnaie de l'an dernier en monnaie d'aujourd'hui.

Les marchés qui n'ont pas le droit de se tromper ne soustraient pas. Les obligations d'État indexées sur l'inflation fonctionnent en indexant le nominal par un coefficient bâti sur l'indice des prix à la consommation — une multiplication, appliquée quotidiennement, précisément pour que le coupon réel du titre soit un coupon réel et non un coupon réel diminué d'une convention d'arrondi. Les instituts statistiques déflatent les séries nominales en les divisant par un indice de prix, pour la même raison. Partout où la réponse doit survivre au contact d'un système de règlement, l'opération est la division ; la soustraction ne survit que là où personne n'a à payer la différence.

Pourquoi le produit des deux taux est la mauvaise intuition

La règle populaire veut que le raccourci soit acceptable quand les taux sont bas et qu'il craque quand ils sont hauts, et elle explique généralement cela par le terme croisé n × i. Ce terme croisé figure bel et bien dans le développement — l'erreur absolue vaut (n − i) × i ÷ (1 + i), soit, pour i petit, environ n × i moins i au carré — mais prendre le produit pour le moteur produit une prédiction fausse qu'on construit facilement. Maintiens n × i fixé à 0,0060 et parcours cette courbe. À n = 60 % et i = 1 %, l'erreur vaut 0,5842 point. À n = 20 % et i = 3 %, elle vaut 0,4951. À n = 6 % et i = 10 %, elle vaut −0,3636, et à n = 2 % et i = 30 %, elle vaut −6,4615. Même produit, des erreurs qui couvrent sept points et les deux signes. Le moteur n'est pas le produit, c'est l'écart entre n et i, mis à l'échelle par i.

La règle qui tient est la règle relative, et elle tient sans exception parce que c'est une identité et non une approximation : le raccourci est toujours trop haut d'exactement i de la vraie réponse. Cela te donne une correction mentale applicable sans machine. Calcule n − i, puis retire-en autant de pourcents que l'inflation. À 8 % nominal et 3 % d'inflation, 5 % moins 3 % de 5 %, cela fait 4,85 — la réponse exacte à trois chiffres. La déflation renverse le sens : avec 2 % nominal et des prix en baisse de 1 %, le rendement réel exact vaut 3,0303 % et le raccourci annonce 3,0000, si bien que le raccourci est désormais trop bas de 1 % de la réponse, parce que i est négatif. L'identité tient dans les deux sens et se moque du signe.

Quinze centièmes de point deviennent 1 762,61 € en trente ans

Un écart de 0,1456 point de pourcentage a l'air d'une querelle d'arrondi jusqu'à ce qu'on le capitalise. Place 10 000 € à 8 % nominal pendant trente ans avec une inflation de 3 %. Le capital nominal atteint 100 626,57 €. Déflate-le correctement — divise par 1,03 puissance trente, ou de façon équivalente capitalise au taux réel exact — et il vaut 41 456,81 € en monnaie d'aujourd'hui. Capitalise plutôt les 5 % du raccourci et tu obtiens 43 219,42 €. Le raccourci surestime donc le résultat de 1 762,61 €, soit 4,25 % du capital réel. Si l'erreur relative passe de 3,00 % sur un an à 4,25 % sur trente, c'est parce que les deux facteurs de croissance diffèrent d'un rapport constant, et qu'un rapport constant se capitalise : 1,05 × 1,03 ÷ 1,08 vaut 1,0013889, et 1,0013889 puissance trente vaut 1,0425.

La même logique de capitalisation ruine un second raccourci d'apparence inoffensive : moyenner l'inflation sur plusieurs années et l'appliquer une fois. Prends trois années à 8 % de rendement nominal contre une inflation de 2, 7 et 3 %. Chaîne les rendements réels exacts année après année : la croissance réelle cumulée vaut 12,0599 %, soit une moyenne géométrique de 3,8684 % par an. Applique à la place l'inflation moyenne arithmétique de 4 % et tu obtiens 3,8462 %. L'écart ne fait ici que 0,0222 point, et il va toujours dans le même sens — moyenner l'inflation sous-estime le rendement réel — parce que le déflateur est convexe en le taux. Il est petit quand l'inflation est stable et grandit avec la variance, c'est-à-dire précisément quand on est tenté de prendre la moyenne.

L'impôt frappe le rendement nominal, et cela écrase la correction de Fisher

Presque tous les systèmes fiscaux imposent le nombre d'unités monétaires gagnées, pas le pouvoir d'achat gagné. Cela a une conséquence dont la forme fermée est propre. Si l'impôt prend une fraction t du rendement nominal, le rendement réel que tu conserves baisse de t × n ÷ (1 + i), et rapporté au rendement réel que tu aurais eu, le taux effectif d'imposition de ton rendement réel vaut t × n ÷ (n − i). À 8 % nominal, 3 % d'inflation et 30 % d'impôt, cela fait 0,30 × 8 ÷ 5 = 48 % : un taux affiché de 30 % prend 48 % de ce que tu as réellement gagné. Déroule l'échelle et l'arithmétique est sans pitié — 15 % d'impôt nominal, c'est 24,0 % du rendement réel ; 26,375 %, c'est 42,2 % ; 30 %, c'est 48,0 % ; 40 %, c'est 64,0 %.

La même formule donne le taux d'inflation auquel ton rendement réel après impôt atteint zéro : en résolvant pour i, on obtient i = n × (1 − t). À 8 % nominal avec 30 % d'impôt, une inflation de 5,6 % te laisse exactement au point de départ en pouvoir d'achat, malgré un gain positif, imposable et déclarable chaque année. Voilà le classement honnête des trois effets de cette page. La correction de Fisher vaut 0,15 point sur notre exemple. L'impôt vaut 2,33 points. Et l'impôt et l'inflation interagissent au lieu de s'additionner, parce que l'impôt frappe un rendement qui inclut la compensation de l'inflation. Règle d'abord l'enveloppe fiscale, règle ensuite la formule, et ne laisse jamais le second débat chasser le premier.

Questions fréquentes

La soustraction est-elle parfois la bonne opération ?

Oui, dans deux cas honnêtes. Le premier est le calcul mental où tu connais le sens du biais et où il ne change pas la décision : à 2 % d'inflation, le raccourci est trop haut de 2 % de la réponse, ce qui sur un rendement réel de 3 % fait six centièmes de point, et aucune décision d'épargne ne bascule là-dessus. Le second est le travail en rendements composés en continu, où la relation est réellement une soustraction : si tu définis le rendement logarithmique comme le logarithme népérien de un plus le rendement simple, alors le rendement réel logarithmique vaut exactement le rendement nominal logarithmique moins le taux d'inflation logarithmique, sans aucun terme correctif, parce que les logarithmes transforment la division en différence. C'est pourquoi les grandeurs en composition continue sont la convention dans une bonne partie du travail obligataire et académique. Le piège, c'est de mélanger les conventions — soustraire une inflation logarithmique d'un rendement nominal simple produit un nombre qui n'est ni l'un ni l'autre.

Quel taux d'inflation dois-je saisir — l'indice publié ou le mien ?

Cela dépend de l'usage, et les deux usages exigent réellement des entrées différentes. Si tu compares ton résultat à un indice de référence, à un fonds, à un rendement obligataire ou à un autre investisseur, utilise l'indice publié de ta zone monétaire, parce que c'est par lui que tous les autres déflatent et qu'une comparaison n'a de sens que dans une unité commune. Si tu te demandes si tu pourras t'offrir quelque chose plus tard, l'indice publié est une moyenne pondérée d'un panier national, et ton panier n'est pas ce panier : quelqu'un dont les dépenses sont dominées par un loyer dans une ville donnée, ou par la garde d'enfants, ou par l'énergie, subit une inflation personnelle qui peut s'écarter durablement du chiffre national. Fais les deux. Le chiffre publié te dit comment tu te en es tiré ; le vôtre te dit ce que cela achètera. Et note l'asymétrie qu'implique l'identité ci-dessus : puisque l'erreur croît avec i, un taux personnel supérieur de quelques points au taux national ne déplace pas seulement la réponse, il dégrade aussi le raccourci dans la même proportion.

Et si l'inflation est négative ?

La formule ne change pas et le biais s'inverse. Avec 2 % nominal et des prix en baisse de 1 %, le rendement réel exact vaut 1,02 ÷ 0,99 − 1 = 3,0303 %, alors que le raccourci annonce 3,0000 — le raccourci est désormais trop bas, d'exactement 1 % de la réponse, c'est-à-dire i de nouveau, avec son signe. La déflation flatte l'épargnant exactement comme l'inflation le punit, et l'effet sur un rendement réel est plus grand qu'on ne l'attend : des prix en baisse de 5 % transforment 2 % nominal en 7,3684 % réel, là où le raccourci dirait 7. Le seul endroit où l'arithmétique casse vraiment, c'est une inflation d'exactement moins 100 %, où le dénominateur s'annule et le rendement réel n'est pas défini — curiosité mathématique plutôt que scénario économique, mais la raison pour laquelle un calculateur bien construit refuse cette entrée au lieu de renvoyer un infini.

En quoi est-ce différent de simplement déflater le montant final à la fin ?

Cela ne diffère en rien, et c'est la meilleure vérification de tout l'exercice. Capitaliser au taux réel exact et déflater le résultat nominal par l'indice des prix sont la même opération écrite de deux façons, parce que diviser une fois à la fin par (1 + i) puissance le nombre d'années est algébriquement identique à diviser par (1 + i) à l'intérieur de chaque année. Nos chiffres le montrent : 10 000 € à 8 % pendant trente ans donnent 100 626,57 €, divisés par 1,03 puissance trente cela fait 41 456,81 €, et capitaliser 10 000 € au taux réel exact de 4,8544 % pendant trente ans donne aussi 41 456,81 €. Si tes deux chemins ne concordent pas, l'un des deux contient une soustraction. La raison pratique de préférer le taux réel, c'est qu'il rend la comparaison à un objectif lisible : un rendement réel de 4,8544 % te dit immédiatement que le pouvoir d'achat quadruple à peu près en trente ans, alors qu'un 8 % nominal et une série d'inflation à part ne te disent rien tant que tu n'as pas fait la division de toute façon.