Comment fonctionne la demi-vie : ce qu'il reste après 1, 3 et 10 demi-vies

Une formule écrite de deux façons

La forme en base deux est celle avec laquelle il faut raisonner : restant = initial × (1/2)^(t / t½). L'exposant t / t½ est un nombre de demi-vies, et comme c'est un rapport de deux durées il n'a pas d'unité — raison pour laquelle les deux durées doivent être exprimées dans la même unité avant d'être divisées. Donne-lui 11 460 ans contre une demi-vie de 5 730 ans et l'exposant vaut 2 : il reste un quart. Donne-lui un temps en heures contre une demi-vie en minutes et tu te trompes d'un facteur soixante sur l'exposant, soit un facteur d'environ 10^18 sur le résultat.

La physique et la pharmacologie écrivent d'ordinaire la même courbe N(t) = N0 × e^(−λt), avec λ = ln 2 / t½. Il n'y a rien de plus profond dans cette seconde forme : ln 2 vaut 0,6931, donc une demi-vie de 10 unités donne λ = 0,06931 par unité, et les deux expressions renvoient le même nombre. Ce que la forme exponentielle met en évidence, c'est la durée de vie moyenne, τ = 1/λ = t½ / ln 2 = 1,4427 × t½. Elle est plus longue que la demi-vie, ce qui surprend régulièrement. La raison tient à la queue de distribution : un petit nombre d'entités persiste pendant de nombreuses demi-vies et tire la moyenne vers le haut, tandis que la médiane — le point où exactement la moitié a disparu — est par définition la demi-vie elle-même.

Rien n'atteint jamais zéro : la pratique adopte donc une convention

Diviser par deux est une multiplication, pas une soustraction, et multiplier un nombre positif par un demi peut se répéter indéfiniment sans jamais donner zéro. La courbe est asymptotique : elle s'approche de l'axe sans jamais le toucher. La question courante — au bout de combien de temps a-t-il totalement disparu — n'est donc pas une question difficile, c'est une question sans réponse mathématique, et toute source qui te donne un nombre a choisi un seuil en silence. La version honnête consiste à nommer le seuil voulu. Dix pour cent restants sont atteints à 3,32 demi-vies, un pour cent à 6,64 et un dixième de pour cent à 9,97. Ces chiffres sont les logarithmes en base deux de 10, 100 et 1000, d'où vient la fameuse règle des dix demi-vies.

Il existe une seconde raison, physique, pour laquelle la courbe lisse cesse un jour de décrire la réalité : un échantillon réel contient un nombre entier fini d'entités, et la désintégration est un événement aléatoire par entité, non un écoulement régulier. L'exponentielle est l'espérance de ce processus aléatoire. Pars d'une mole d'isotope radioactif, environ 6,022 × 10^23 atomes : après dix demi-vies il en reste à peu près 5,9 × 10^20 — moins d'un millième de la quantité initiale, et pourtant un nombre absolu colossal. Pars plutôt de mille atomes et après dix demi-vies tu en attends environ un, moment où parler de fraction n'a plus d'intérêt : tu comptes des événements individuels. La règle des dix demi-vies porte sur des proportions, jamais sur des quantités absolues, et un échantillon suffisamment grand peut rester mesurable bien au-delà.

Une demi-vie n'est constante que si le processus est du premier ordre

Tout ce qui précède suppose que la vitesse de disparition est proportionnelle à la quantité présente. C'est la définition du premier ordre, et la désintégration radioactive en est le cas d'école : chaque noyau se désintègre avec une probabilité fixe par unité de temps, indépendamment de ses voisins. Sous cette hypothèse, la demi-vie est une propriété de la substance et ne change jamais — la deuxième demi-vie dure exactement autant que la première. L'IUPAC est prudente sur ce point. Sa fiche sur la demi-vie d'une réaction précise que le terme n'a de sens que dans des cas particuliers, principalement la cinétique du premier ordre ; pour une réaction du second ordre, la demi-vie dépend de la concentration initiale et chaque demi-vie successive dure deux fois plus longtemps que la précédente. Si tu calcules une demi-vie pour un processus dont la vitesse ne suit pas sa propre taille, le nombre obtenu ne décrit qu'un point de départ précis, rien de plus.

La même prudence s'impose quand deux voies d'élimination indépendantes agissent en même temps. Un radionucléide présent dans un organisme vivant disparaît par deux mécanismes — il se désintègre et l'organisme l'excrète — et les deux constantes de vitesse s'additionnent : 1 / t_eff = 1 / t_phys + 1 / t_bio. Comme ce sont les inverses qui s'ajoutent, la demi-vie effective est toujours plus courte que chacune des deux prise seule. Prends une demi-vie physique de 8 jours et une demi-vie biologique de 24 jours : les inverses donnent 0,125 + 0,041667 = 0,166667, donc t_eff = 6 jours, moins que la plus courte des deux. Additionner les demi-vies, ou en faire la moyenne, se trompe lourdement, et dans le sens qui surestime la persistance de la substance.

Questions fréquentes

Comment déduire une demi-vie de deux mesures ?

Réarrange la loi de décroissance : t½ = t × ln 2 / ln(N0 / N), où N0 est la première mesure, N la seconde et t le temps qui les sépare. Supposons qu'il reste 30 % après 12 heures. Alors ln(1 / 0,30) = 1,2040 et t½ = 12 × 0,6931 / 1,2040 = 6,91 heures. Vérifie en repartant en avant : (1/2)^(12 / 6,91) = 0,300. Deux mesures sont le minimum, mais c'est aussi l'estimation la moins robuste possible — le rapport N0 / N est à l'intérieur d'un logarithme, si bien que quelques pour cent de bruit de mesure déplacent sensiblement le résultat. Quand les données le permettent, ajuste une droite de ln N en fonction de t sur de nombreux points et prends la pente comme −λ.

La demi-vie est-elle la même chose que la durée de vie moyenne ?

Non, et c'est la moyenne qui est la plus longue des deux. La durée de vie moyenne vaut τ = 1 / λ = t½ / ln 2, soit 1,4427 fois la demi-vie — un isotope de demi-vie 10 jours a donc une durée de vie moyenne de 14,4 jours. La demi-vie est la médiane de la distribution des durées de vie individuelles, le point où la moitié des entités a disparu ; la moyenne est tirée vers la droite par le petit nombre qui survit plusieurs demi-vies. Confondre les deux, c'est une erreur de 44 %, et toujours dans le même sens : il vaut donc la peine de vérifier de quelle grandeur relève un chiffre publié.

Toute quantité qui diminue a-t-elle une demi-vie ?

Seulement si elle décroît exponentiellement, c'est-à-dire si la vitesse de perte est proportionnelle à la quantité encore présente. Cela couvre la désintégration radioactive, les réactions chimiques du premier ordre, la décharge d'un condensateur dans une résistance et les processus d'élimination non saturés. Cela ne couvre pas une quantité qui baisse d'un montant fixe par unité de temps : une cuve qui se vide à 10 litres par minute met 5 minutes pour passer de 100 à 50 litres et seulement 2,5 minutes pour passer de 50 à 25, si bien que le temps de moitié rétrécit sans cesse et qu'aucune demi-vie unique n'est citable. Le test rapide consiste à vérifier si les divisions par deux successives prennent le même temps. Sinon, utilise la loi de vitesse sous-jacente au lieu de lui imposer une demi-vie.