Fréquence de capitalisation : d'où vient la capitalisation continue

Calcule la suite et tout le sujet s'effondre

Un taux nominal annuel r crédité n fois par an verse r/n à chaque fois, et chaque versement porte intérêt jusqu'à la fin de l'année. Une année de ce régime vaut (1 + r/n)^n. Pose r = 0,06 et fais monter n sur 10 000 € : annuel donne 10 600,00 €, semestriel 10 609,00 €, trimestriel 10 613,64 €, mensuel 10 616,78 €, quotidien 10 618,31 €, horaire 10 618,36 €, à la seconde 10 618,37 €. La suite croît strictement et pourtant elle cale visiblement. Du quotidien à la seconde — 86 400 fois plus d'événements de capitalisation — on gagne six centimes.

Elle cale parce que chaque découpage supplémentaire fait deux choses opposées. Diviser le crédit en deux fait démarrer plus tôt les intérêts sur intérêts, ce qui aide — mais chaque moitié est aussi deux fois plus petite, et la seconde n'a plus qu'un demi-an pour se capitaliser, ce qui annule l'essentiel du gain. L'effet net décroît comme 1/n. Le plafond, c'est e^r : 1,0618365465 pour r = 0,06, soit 10 618,37 €. Aucun calendrier de capitalisation, si fin soit-il, ne le franchit. C'est tout le contenu de la capitalisation continue, et c'est pourquoi l'expression intimide bien plus que l'arithmétique ne le mérite.

Pourquoi le plafond est e, précisément

La constante e est définie comme la limite de (1 + 1/k)^k quand k croît sans borne : 2 pour k = 1, 2,5937 pour k = 10, 2,7048 pour k = 100, 2,71815 pour k = 10 000, convergeant vers 2,718281828… Réécrivons notre suite avec k = n/r, de sorte que r/n = 1/k et n = k·r. Alors (1 + r/n)^n devient ((1 + 1/k)^k)^r, et quand n croît, k croît avec lui : la parenthèse tend vers e et l'ensemble tend vers e^r. Voilà toute la démonstration. La capitalisation continue n'est pas un autre type d'intérêt ; c'est le même intérêt, une fois la substitution faite.

Deux formules en découlent immédiatement et méritent d'être retenues à la place de tout le reste. Faire croître un montant P pendant t années à un taux capitalisé en continu r donne P·e^(r·t). Actualiser en sens inverse — l'opération derrière tout calcul de valeur actuelle, y compris ceux de notre article compagnon sur valeur actuelle et valeur future — donne P·e^(−r·t). Ce sont des inverses exacts, elles se composent proprement sur n'importe quel horizon, et contrairement à (1 + i)^n elles ne t'obligent pas à décider ce qu'est une période.

Un taux nominal n'est pas un taux que tu perçois

Le chiffre affiché sur un livret ou une carte est presque toujours nominal : une étiquette annualisée d'un taux périodique, obtenue par multiplication et non par capitalisation. Six pour cent nominal capitalisé mensuellement, cela veut dire 0,5 % par mois, et douze mois à 0,5 % font 6,1678 %, pas 6. Le taux effectif annuel vaut TEA = (1 + r/n)^n − 1 ; dans l'autre sens, le taux nominal qui produit un TEA visé vaut r = n·((1 + TEA)^(1/n) − 1). Rien dans ce couple de formules n'est facultatif : le taux nominal n'existe que comme convention d'affichage, le taux effectif, c'est l'argent.

C'est exactement là que TAEG et rendement effectif divergent, et pourquoi les deux se retrouvent de part et d'autre du même produit. Sur un dépôt, le chiffre de rendement est capitalisé : c'est donc le plus grand, celui que les banques aiment montrer. Sur du crédit, l'affichage est en général le taux nominal, si bien que 24 % nominal facturés mensuellement font 26,82 % effectifs, et facturés quotidiennement 27,11 % — le porteur de carte paie environ trois points de plus que ne le laisse croire l'affichage. Ajoute la seconde complication et l'écart s'élargit : un TAEG au sens de la réglementation européenne du crédit à la consommation intègre les frais obligatoires, et peut donc dépasser le taux d'intérêt effectif avant même de tenir compte de la capitalisation. Compare les dépôts sur le rendement effectif, compare les crédits sur le chiffre tout compris que définit ton régulateur, et ne compare jamais l'un à l'autre.

Quand la distinction vaut de l'argent, et quand elle n'en vaut pas

C'est la partie que la plupart des explications sautent, et c'est la seule qui dise au lecteur s'il doit s'en soucier. Sur 10 000 € pendant un an à 6 %, la capitalisation mensuelle rend 10 616,78 € et la continue 10 618,37 € : un écart de 1,59 €, soit 0,016 % du capital. Personne ne devrait changer une décision pour cela. À 24 % — un taux de carte plausible — le même écart annuel vaut 30,07 € sur 10 000 €, dix-neuf fois plus en euros mais toujours 0,24 % du solde. Ce n'est pas la distinction qui rend une carte chère ; c'est le 24 %.

C'est le temps qui transforme l'erreur d'arrondi en un vrai chiffre. Garde les 6 % pendant dix ans et l'écart mensuel-continu sur 10 000 € passe à 27,22 € ; garde-les trente ans et il atteint 270,72 €, toujours 0,45 %. Garde en revanche les 24 % trente ans et le mensuel donne 12 475 611 € contre 13 394 308 € en continu — un écart de 918 696 €, soit 7,4 % du capital. Voilà la règle honnête : la question de la fréquence est un détail d'arrondi sur les produits grand public aux taux ordinaires, et ne devient un vrai montant que là où le taux est élevé et l'horizon long, c'est-à-dire en pratique dans des modèles plutôt que sur des comptes.

Où la capitalisation continue sert vraiment

La valorisation d'options est le cas le plus net. Le cadre de Black-Scholes actualise en e^(−r·T) et modélise le prix de l'actif comme l'exponentielle d'un processus à dérive capitalisée en continu, parce que la mathématique d'une diffusion ne contient aucune période naturelle — il n'y a pas de mois, seulement un instant. Les tables obligataires et de swaps cotent de même en capitalisation continue quand elles veulent un taux qui s'additionne d'une maturité à l'autre sans qu'une convention de décompte des jours s'y mette. Dans aucun de ces cas personne ne prétend qu'une banque crédite des intérêts à chaque instant ; le taux continu est un changement de coordonnées qui rend l'algèbre docile.

Les rendements logarithmiques s'additionnent, pas les pourcentages

Prends 10 000 €, gagne 50 %, puis perds 50 %. Les pourcentages font zéro en moyenne ; l'argent, non. 10 000 € deviennent 15 000 €, puis 7 500 € — un rendement total de −25 %, et une moyenne par période de −13,40 %, pas 0. Les rendements en pourcentage se composent par multiplication, et la multiplication se moque de la moyenne des facteurs. Cette seule asymétrie est derrière la plupart des mauvaises lectures d'un historique de performance, et derrière toute affirmation qu'un fonds est « à l'équilibre » après un aller-retour violent.

Les rendements logarithmiques corrigent cela exactement. Définis le rendement logarithmique d'une période comme ln(fin ÷ début). Ici ln(1,5) = 0,405465 et ln(0,5) = −0,693147 ; leur somme vaut −0,287682, et e^(−0,287682) = 0,750000, le vrai facteur cumulé. Les rendements logarithmiques s'additionnent dans le temps parce que le logarithme transforme les produits en sommes — la propriété même qui fait du taux capitalisé en continu l'unité naturelle d'un modèle multipériodique. Le prix de ce confort : les logs ne s'additionnent pas entre actifs d'un portefeuille, là où les rendements simples le font. Utilise les logs sur l'axe du temps et les rendements simples sur l'axe des positions, jamais l'inverse.

Questions fréquentes

La capitalisation continue existe-t-elle vraiment dans une banque ?

Non. Les intérêts sont crédités à des dates discrètes — jour, mois, trimestre — parce qu'un compte est un livre de comptes et qu'un livre a des écritures. La capitalisation continue est la limite dont ces calendriers s'approchent, employée parce qu'elle rend les formules plus propres, pas parce que quelqu'un passe une écriture à chaque instant. Son intérêt pratique est d'éliminer la période de l'algèbre : e^(r·t) fonctionne pour tout t, donc un taux coté en continu se déplace entre horizons sans convention de capitalisation à débattre. Vois-la comme une unité de modélisation, et convertis-la en taux effectif annuel dès que tu veux la comparer à un produit.

Pourquoi le rendement de mon livret dépasse-t-il le taux affiché ?

Parce que les deux chiffres répondent à des questions différentes. Le taux affiché est en général nominal — le taux périodique multiplié pour couvrir l'année — tandis que le rendement capitalise les intérêts réellement crédités. À 6 % nominal crédités mensuellement, le rendement vaut (1,005)^12 − 1 = 6,17 % ; crédités quotidiennement, 6,18 %. L'écart s'élargit avec le taux, ce qui explique qu'il soit invisible sur un dépôt à taux bas et voyant sur une carte de crédit. Pour comparer deux comptes, exige le chiffre capitalisé pour les deux, et vérifie la fréquence de capitalisation écrite dans les conditions plutôt que de la supposer.

Une capitalisation plus fréquente m'aide-t-elle ou me pénalise-t-elle ?

Cela dépend entièrement du côté du bilan où tu es. Sur de l'argent qu'on te doit — dépôt, obligation, placement — une capitalisation plus fréquente est strictement meilleure, parce que les intérêts commencent plus tôt à produire des intérêts. Sur de l'argent que tu dois, elle est strictement pire pour la même raison : une carte capitalisant quotidiennement coûte plus qu'une carte au même taux nominal capitalisant mensuellement. Le sens ne change jamais ; seule l'ampleur change, et comme le montre l'article, elle est faible aux taux ordinaires. Si deux offres affichent le même taux nominal mais des fréquences différentes, convertis-les toutes deux en taux effectif annuel avant de choisir.

Comment convertir un taux continu en taux annuel ordinaire ?

Une exponentielle dans chaque sens. Un taux capitalisé en continu r correspond à un taux effectif annuel de e^r − 1 : à r = 0,06, cela fait 6,1837 %. En sens inverse, le taux continu équivalent à un taux effectif annuel vaut ln(1 + TEA) : 6 % effectifs font 5,8269 % en continu. Note le sens de chaque conversion — pour la même somme, le taux continu est toujours le plus petit des deux, parce qu'il capitalise le plus souvent et a donc besoin du plus petit affichage pour arriver au même point. Les confondre est l'erreur la plus fréquente dans un tableur qui mélange les deux conventions.

Pourquoi les analystes utilisent-ils des rendements logarithmiques plutôt que des pourcentages ?

Parce qu'ils s'additionnent, et que l'addition est ce dont la statistique a besoin. Sommer une colonne de rendements logarithmiques donne exactement le rendement logarithmique cumulé, si bien qu'une moyenne, un écart-type et une mise à l'échelle temporelle se comportent bien. Les rendements en pourcentage se composent multiplicativement, donc leur moyenne arithmétique surestime ce qui s'est réellement passé — l'exemple +50 puis −50 fait zéro en moyenne alors que l'argent a perdu 25 %. Les rendements logarithmiques sont aussi symétriques : un doublement vaut +0,693 et une division par deux −0,693, là où le couple en pourcentage vaut +100 et −50. La seule chose qu'ils ne savent pas faire est d'agréger un portefeuille à un instant donné, où les rendements simples sont l'outil correct.