La formule de la mensualité expliquée — et pourquoi allonger la durée profite surtout au prêteur

Ce que fait vraiment chaque lettre de la formule

M = P·i·(1+i)^n ÷ ((1+i)^n − 1) paraît arbitraire tant qu'on n'en voit pas l'origine. Un prêt est un échange : le prêteur remet P aujourd'hui, l'emprunteur rend n versements égaux. Pour que l'échange soit équitable au taux contracté, la valeur actuelle de ces n versements doit égaler P. Actualiser un versement constant M sur n périodes donne M·(1 − (1+i)^−n) ÷ i ; poser cette expression égale à P et résoudre en M produit la formule. Chaque terme a un rôle : (1+i)^n mesure la croissance d'une unité de monnaie sur toute la durée, le numérateur facture les intérêts sur le capital entier, le dénominateur répartit cette charge sur les échéances.

Le piège, c'est i. C'est le taux périodique, pas le taux annuel, et dans presque tous les contrats de crédit à la consommation il vaut le taux nominal annuel divisé par 12, et non la racine douzième de un plus le taux annuel. Sur un prêt à 6 %, i vaut exactement 0,005. Cette convention implique que le taux effectif annuel dépasse légèrement le taux affiché — 1,005 à la puissance douze vaut 1,0617, soit 6,17 % — ce qui explique en partie qu'un TAEG coïncide rarement avec le taux nominal du même contrat. Trompe-toi sur i en prenant le taux annuel, ou sur n en prenant des années au lieu de mois, et le résultat n'est pas légèrement faux : c'est un autre prêt.

Doubler la durée gagne 29 %, et coûte 123 %

La mensualité n'est pas proportionnelle à la durée, parce que les intérêts se composent. Étale 300 000 € à 6 % de 15 à 30 ans et l'échéance tombe de 2 532 € à 1 799 € — 29 % de moins pour un engagement deux fois plus long. Les intérêts totaux, eux, grimpent de 155 683 € à 347 515 €, soit 123 % de plus. La raison se lit dans la formule : quand n augmente, (1+i)^n augmente avec lui, si bien que numérateur et dénominateur gonflent tous deux et que le rapport s'aplatit. Au-delà d'un certain point, la mensualité tend vers les seuls intérêts sur le capital — 1 500 € par mois ici — et aucun allongement ne peut la faire descendre plus bas.

La façon la plus nette de voir ce qu'est vraiment l'allongement : l'emprunteur sur 30 ans conserve 733 € par mois que celui sur 15 ans n'a pas, pendant 180 mois, soit 131 925 € de liquidité supplémentaire. Puis, de la 16e à la 30e année, il verse 180 échéances de 1 799 € que l'autre ne verse pas, soit 323 757 €. Soustrais l'un de l'autre et tu obtiens 191 832 € — exactement le surcroît d'intérêts. Rien n'a été créé : 131 925 € de trésorerie ont été achetés au prix de 323 757 € de versements ultérieurs. Que ce soit un bon échange dépend entièrement de l'usage de la trésorerie libérée. Si elle rapporte plus de 6 % net d'impôt, la durée longue gagne ; si elle finance de la dépense courante, non.

Pourquoi les premières années semblent ne rien changer

Comme les intérêts portent sur le capital restant, la répartition à l'intérieur d'une mensualité constante se déplace mois après mois. La première échéance du prêt sur 30 ans comprend 1 500 € d'intérêts et 299 € de capital : 83 % ne touchent jamais la dette. Sur la version 15 ans, les mêmes 1 500 € d'intérêts s'insèrent dans une mensualité de 2 532 €, donc 59 % vont aux intérêts et 1 032 € au capital dès le premier mois. Cette seule différence de structure résume tout le tableau ci-dessus.

Déroule l'échéancier sur 30 ans et l'effet saute aux yeux. Au bout de dix ans, l'emprunteur a versé 215 838 € — plus des deux tiers de la somme empruntée — et doit encore 251 057 €. Seuls 48 943 € de capital sont partis ; 166 895 € sont allés aux intérêts. Le capital ne diminue de moitié qu'au 252e mois, vingt et un ans après le départ d'un prêt de trente ans. Sur le prêt de 15 ans, ce point médian arrive au 110e mois, neuf ans et deux mois. C'est pourquoi un accident de paiement tardif sur une longue durée est si dangereux : la valeur nette qui permettrait de refinancer ou de vendre pour s'en sortir n'est tout simplement pas encore constituée.

Questions fréquentes

La mensualité inclut-elle les taxes, l'assurance et les frais ?

Non. La formule ne rend que le capital et les intérêts. Taxe foncière, assurances habitation et emprunteur, frais de garantie, frais de tenue de compte et frais de dossier restent en dehors, et sur un crédit immobilier ils peuvent ajouter un cinquième ou davantage à ce qui quitte réellement ton compte chaque mois. Ils modifient aussi le coût effectif du crédit : c'est pourquoi le TAEG — qui intègre les frais obligatoires — est le bon chiffre pour comparer des offres, et non la mensualité. Demande à chaque prêteur le coût total du crédit à côté du montant mensuel.

Pourquoi le chiffre de ma banque diffère-t-il de la formule de quelques unités ?

Trois causes expliquent presque tous les petits écarts. D'abord l'arrondi : les prêteurs arrondissent l'échéance au centime ou à l'unité et absorbent le reliquat dans la dernière, souvent supérieure ou inférieure de quelques unités aux autres. Ensuite la convention de calcul : certains contrats font courir les intérêts en jours réels plutôt qu'en douzièmes, si bien qu'un mois de 31 jours coûte un peu plus qu'un mois de 30. Enfin des frais intégrés à l'échéance — prime d'assurance mensuelle, frais de compte — que la formule ne voit jamais. Un écart de quelques unités est normal ; un écart de plusieurs dizaines signifie que tu compares deux taux ou deux durées différents.

Qu'est-ce qui réduit le plus les intérêts : une durée plus courte ou un taux plus bas ?

Sur ce prêt, les deux sont presque équivalents, et c'est une surprise utile. Diviser la durée par deux, de 30 à 15 ans à 6 %, fait passer les intérêts de 347 515 € à 155 683 €, soit 191 832 € d'économie. Diviser le taux par deux, de 6 % à 3 % en gardant 30 ans, les ramène à 155 332 €, soit 192 183 € d'économie — à 351 € près du premier. La différence pratique est que la durée se choisit et le taux rarement, et que la durée courte exige 733 € de plus chaque mois alors que le taux plus bas n'exige rien. Si une baisse de taux est accessible par un rachat, prends-la et garde la durée ; sinon, la durée est le seul levier que tu maîtrises.