Ordre des opérations (PEMDAS / BODMAS) : pourquoi l'ordre compte

Ce que signifient vraiment PEMDAS et BODMAS

PEMDAS signifie Parenthèses, Exposants, Multiplication, Division, Addition, Soustraction. BODMAS signifie Crochets (Brackets), Ordres, Division, Multiplication, Addition, Soustraction. Les mots diffèrent mais la règle est identique : crochets = parenthèses, ordres = exposants. Ce ne sont que des moyens mnémotechniques pour un même ordre convenu.

Un point piège tout le monde : multiplication et division sont au même niveau, tout comme addition et soustraction. À l'intérieur d'un niveau, on va strictement de gauche à droite. Ainsi 8 ÷ 2 × 4 ne vaut pas 1 — on fait 8 ÷ 2 = 4, puis 4 × 4 = 16. L'ordre des lettres dans PEMDAS ne signifie pas que la multiplication passe toujours avant la division.

Pourquoi un ordre commun est nécessaire

Prends 3 + 4 × 2. En lisant de gauche à droite et en additionnant d'abord, on obtient 7 × 2 = 14. En multipliant d'abord, on obtient 3 + 8 = 11. Les deux semblent plausibles, mais un seul est le résultat admis. L'ordre des opérations tranche : la multiplication passe avant l'addition, donc la valeur correcte est 11.

Ce n'est pas qu'une convention scolaire — calculatrices, tableurs et langages de programmation la suivent tous. Sans ordre convenu, la même formule écrite une fois donnerait un résultat différent sur chaque machine. C'est cette règle qui fait qu'une formule a un sens unique, quel que soit le lecteur.

Un exemple entièrement résolu

Évalue 6 + 2 × (3 + 1)² ÷ 4. Commence dans la parenthèse : 3 + 1 = 4, d'où 6 + 2 × 4² ÷ 4. Puis l'exposant : 4² = 16, d'où 6 + 2 × 16 ÷ 4. Ensuite multiplication et division de gauche à droite : 2 × 16 = 32, puis 32 ÷ 4 = 8, d'où 6 + 8. Enfin l'addition : 6 + 8 = 14.

Remarque comment chaque passe supprime un niveau de la hiérarchie : parenthèses, puis exposant, puis le couple multiplication-division, puis le couple addition-soustraction. Traiter un niveau à la fois, de gauche à droite, c'est toute la méthode — ainsi toute expression se réduit à un seul nombre.

Questions fréquentes

PEMDAS et BODMAS sont-elles des règles différentes ?

Non. C'est la même règle avec des acronymes différents. Crochets = parenthèses et ordres = exposants, donc les deux donnent le même ordre d'évaluation.

La multiplication passe-t-elle toujours avant la division ?

Non. Elles partagent un niveau et se font de gauche à droite. Dans 8 ÷ 2 × 4, la division passe d'abord car elle apparaît en premier, donnant 16.

Et les parenthèses imbriquées ?

Travaille de la paire la plus interne vers l'extérieur. Évalue d'abord la parenthèse la plus profonde, remplace-la par sa valeur, puis traite celle qui l'entoure, et ainsi de suite.

Où placer un signe négatif ou une racine ?

Une racine est un exposant (la racine carrée est la puissance ½), donc au niveau des exposants. Un signe négatif de tête revient à multiplier par −1 et s'applique au niveau de la multiplication.