Dividir pessoas em grupos justos: aleatório e justo não são a mesma exigência

A aritmética que ninguém faz primeiro

Peça 23 pessoas em grupos de quatro e algo tem de ceder, porque 23 a dividir por 4 dá 5 e resto 3. Há exatamente três políticas sensatas. Encher os grupos até ao tamanho alvo e deixar o último curto: 4, 4, 4, 4, 4, 3. Manter os cinco grupos cheios e distribuir por eles os três sobrantes: 5, 5, 5, 4, 4. Ou arredondar o número de grupos para seis e equilibrar pelos seis: 4, 4, 4, 4, 4, 3. A primeira e a terceira dão aqui os mesmos tamanhos, o que surpreende quem supõe que três políticas significam três respostas.

Mude ligeiramente os números e separam-se. 23 pessoas em cincos dão 5, 5, 5, 5, 3 na primeira política, 6, 6, 6, 5 na segunda e 5, 5, 5, 4, 4 na terceira — três resultados genuinamente diferentes, e o primeiro deixa um grupo 40 % mais pequeno do que os vizinhos. 30 pessoas em quatros é pior: a política A produz sete quartetos e um par, uma diferença de dois entre o maior e o menor grupo, ao passo que as outras duas mantêm a diferença em um. A lição é que a abordagem ingénua de encher e truncar é a única que pode deixar um grupo gravemente encalhado, e é também aquela que a maioria das ferramentas aplica por omissão.

O acaso pode ser espetacularmente injusto

Pegue em 24 pessoas classificadas de 1 a 24 por nível e divida-as uniformemente ao acaso em seis grupos de quatro. Pontue cada grupo pela soma das posições dos seus membros: o grupo médio soma 50, e uma boa divisão mantém toda a gente perto disso. Não mantém. A variância da soma de um grupo é 4 × ((24² − 1)/12) × (24 − 4)/(24 − 1) = 166,67, logo o desvio-padrão é 12,91. O intervalo alcançável vai de 10, se as posições 1 a 4 caírem juntas, até 90. Esse extremo é raro — a probabilidade de os quatro melhores partilharem grupo é (3/23)(2/22)(1/21), uma em 1 771 — mas os quase-extremos não são nada raros.

Simular 200 000 divisões aleatórias tornou concreto o caso do dia a dia. A diferença entre o grupo mais forte e o mais fraco, medida como diferença de somas de posições, teve média 36,04 e chegou a 77 no pior caso. Em 20,97 % das divisões — mais de uma em cinco — algum grupo tinha três ou mais das seis melhores pessoas. Não é um acontecimento excêntrico que se possa descartar: é o que sucede numa sessão em cada cinco, e é exatamente o que os participantes notam e criticam. O acaso dá-lhe a ausência de favoritismo, uma propriedade real e útil, mas não lhe dá equilíbrio — e ninguém que pediu grupos justos estava a pensar na primeira.

Atribuição estratificada: continua aleatória, mas limitada

A correção é deixar de baralhar a lista inteira. Ordene por nível, corte o ranking em tantos estratos quantas as pessoas por grupo — para 24 pessoas em grupos de quatro são quatro estratos de seis — baralhe dentro de cada estrato e distribua uma pessoa de cada por cada grupo. Cada grupo fica então com exatamente uma das posições 1 a 6, uma das 7 a 12, uma das 13 a 18 e uma das 19 a 24. Dentro de um estrato a atribuição continua uniformemente aleatória, portanto ninguém pode prever nem influenciar onde cai; entre estratos, a composição está fixada.

A melhoria não é qualitativa, é mensurável. A variância da soma de um grupo desce de 166,67 para 4 × ((6² − 1)/12) = 11,67, portanto o desvio-padrão cai de 12,91 para 3,42 — um fator de 3,78. O intervalo alcançável estreita-se de 10-90 para 40-60, porque a menor soma estratificada possível é 1 + 7 + 13 + 19 = 40 e a maior 6 + 12 + 18 + 24 = 60. Nas mesmas 200 000 simulações a diferença média entre grupo mais forte e mais fraco caiu de 36,04 para 9,52, o pior caso de 77 para 20, e a fração de divisões em que algum grupo tinha três ou mais dos seis melhores passou de 20,97 % para zero — não rara, impossível, porque cada grupo recebe por construção exatamente um membro do estrato de topo.

As repetições de duplas chegam mais depressa do que se espera

Corra o mesmo gerador de grupos semana após semana e as pessoas começam a reparar que calham sempre com os mesmos parceiros. A aritmética explica. Numa única ronda de n pessoas em grupos de tamanho s, a hipótese de duas pessoas concretas partilharem grupo é (s − 1)/(n − 1) — para 24 pessoas em quatros é 3/23, cerca de 13,0 %. Ao longo de r rondas o número esperado de encontros de um dado par é r × 3/23, e a probabilidade de se encontrarem duas ou mais vezes decorre da binomial: 1,70 % após duas rondas, 4,66 % após três, 8,52 % após quatro, 12,99 % após cinco.

Essas percentagens parecem pequenas até as multiplicar pelo número de pares. Com 24 pessoas há C(24,2) = 276 pares, portanto após cinco rondas aleatórias independentes deve esperar cerca de 36 pares que se encontraram pelo menos duas vezes, e após oito rondas cerca de 78 — mais de um quarto de toda a gente. Aleatorizar de forma independente todas as semanas é, assim, a predefinição errada para uma sessão recorrente. O que quer é um calendário que se lembre de quais pares já se cruzaram e evite repeti-los, o que é um problema completamente diferente e muito mais difícil.

Calendários de rotação e porque são genuinamente difíceis

A forma geral tem nome — o problema do golfista social — e um limite superior simples que se deduz numa linha. Em cada ronda uma pessoa encontra s − 1 outras, e só há n − 1 outras pessoas, portanto nenhum calendário pode durar mais do que a parte inteira de (n − 1)/(s − 1) rondas sem repetir um par. Para 24 pessoas em quatros é 23/3, ou seja no máximo 7 rondas. Para 32 em quatros é 31/3, no máximo 10. Para 9 pessoas em trios é 8/2, no máximo 4. O limite é fácil; atingi-lo não é, e para muitas combinações de n e s continua em aberto se um calendário perfeito sequer existe.

Onde os números são simpáticos, um calendário perfeito constrói-se em vez de se procurar. Nove jogadores em grupos de três é um desses casos: etiquete os jogadores com as nove células de uma grelha 3 × 3 e tome como quatro rondas as linhas, as colunas e as duas famílias de diagonais quebradas. Construir esse calendário e verificá-lo deu ADG / BEH / CFI, depois ABC / DEF / GHI, depois AFH / BDI / CEG, depois AEI / CDH / BFG — quatro rondas cobrindo os C(9,2) = 36 pares exatamente uma vez, com zero repetições. O limite atingido. Para tamanhos sem uma construção destas, a regra prática é guardar um registo das duplas passadas e fazer o seu gerador rejeitar uma divisão que repita demasiadas; tentar algumas centenas de divisões candidatas e ficar com a de menos repetições dá quase todo o benefício sem nenhuma teoria.

Escolher uma política antes da sessão, não durante

Três decisões resolvem quase toda a discussão de agrupamento, e as três saem mais baratas tomadas de antemão. Primeiro, fixe a política de resto: se um grupo curto for incómodo — um debate, um jogo de cartas, uma escada de pares — use a política que espalha o resto em vez da que o abandona. Segundo, decida se a divisão precisa de estar equilibrada em alguma coisa. Se precisar, nomeie a variável de ordenação em voz alta, porque a estratificação exige uma ordem, e uma ordem não dita será fornecida por quem operar a ferramenta. Terceiro, decida se a sessão se repete; se sim, guarde o histórico desde a primeira ronda em vez de o reconstruir depois.

Uma advertência sobre a estratificação: é uma ferramenta poderosa e pode servir para defender um ranking mau. Equilibrar sobre uma variável medida e acordada — uma classificação, uma nota, um nível atribuído pelos próprios participantes — é defensável. Equilibrar sobre uma variável que alguém improvisou é apenas uma mão escondida disfarçada de aritmética. O método estratificado é honesto precisamente porque a ordem que usa é visível; se não puder mostrar a ordem, faça a divisão puramente aleatória e aceite a variância, porque um equilíbrio inauditável é pior do que um desequilíbrio visível.

Perguntas frequentes

Como se dividem 23 pessoas em grupos de quatro?

Há duas respostas distintas, não três. 23 = 5 × 4 + 3, portanto pode ter seis grupos de 4, 4, 4, 4, 4, 3, ou cinco grupos de 5, 5, 5, 4, 4. A terceira política que costuma ser nomeada — arredondar o número de grupos para cima e equilibrar — dá 4, 4, 4, 4, 4, 3, que é de novo a primeira resposta, porque 23 repartido por seis grupos dá 3 e resto 5 e cai no mesmo multiconjunto. Escolha pela consequência e não pelo princípio: se a atividade funciona mal com três pessoas, use a versão de cinco grupos; se um grupo de cinco for pesado, use a de seis. Note que não há forma de chegar a um único grupo de cinco com todo o resto a quatro, porque 23 − 5 = 18 e 18 não é múltiplo de 4.

Uma divisão estratificada continua aleatória?

Sim, dentro de cada estrato, e essa é a propriedade que importa para a equidade do processo. Se cortar um ranking de 24 pessoas em quatro estratos de seis e baralhar cada estrato antes de distribuir, cada pessoa do top seis tem exatamente a mesma hipótese de cair em qualquer um dos seis grupos. Ninguém é favorecido, ninguém pode prever a sua colocação e ninguém a pode influenciar. O que já não é aleatório é o perfil de composição: cada grupo tem garantido um membro de cada estrato. Essa restrição é o que baixa o desvio-padrão da força do grupo de 12,91 para 3,42 e limita as somas possíveis ao intervalo 40-60 em vez de 10-90. Está a ceder resultados que não queria em troca de uma garantia que queria.

Com que frequência as mesmas duas pessoas acabam juntas?

Numa única ronda é (s − 1)/(n − 1): com 24 pessoas em grupos de quatro, 3/23, ou seja 13,0 %. Ao longo de rondas independentes repetidas acumula-se. A probabilidade de um dado par se encontrar pelo menos duas vezes é de 1,70 % após duas rondas, 4,66 % após três, 8,52 % após quatro e 12,99 % após cinco. Multiplique pelo número de pares e o quadro muda de natureza: 24 pessoas formam 276 pares, portanto cinco rondas de aleatorização independente devem produzir cerca de 36 duplas repetidas, e oito rondas cerca de 78. Se as repetições lhe importam, não volte a aleatorizar do zero em cada sessão — guarde o histórico e faça o gerador rejeitar divisões que repitam demasiadas duplas passadas. Um calendário perfeito sem repetições não pode durar mais do que a parte inteira de (n − 1)/(s − 1) rondas, que é 7 para 24 pessoas em quatros.

Posso construir um calendário em que ninguém repita parceiro?

Às vezes, e há um teto duro sobre quanto pode durar. Em cada ronda uma pessoa encontra s − 1 outras entre n − 1 candidatos, portanto o calendário não pode exceder a parte inteira de (n − 1)/(s − 1) rondas — 4 rondas para 9 pessoas em trios, 7 para 24 em quatros, 10 para 32 em quatros. Atingir o teto exige um desenho combinatório, e existe um para o caso de nove jogadores: etiquete os jogadores como as células de uma grelha 3 × 3 e tome as linhas, as colunas e as duas famílias de diagonais como as suas quatro rondas. Construído e verificado, dá ADG / BEH / CFI, ABC / DEF / GHI, AFH / BDI / CEG, AEI / CDH / BFG, cobrindo os 36 pares exatamente uma vez. Para a maioria dos outros tamanhos não se conhece tal construção, o problema é o conhecido problema do golfista social, e a resposta prática é uma busca: gerar divisões candidatas, pontuá-las por quantas duplas passadas repetem e ficar com a melhor.

E se não tiver nenhum ranking para estratificar?

Então use a divisão puramente aleatória e diga explicitamente que os grupos estão desequilibrados por construção. A estratificação exige uma ordem, e inventar uma na hora é pior do que não ter nenhuma — converte a opinião do organizador em algo que parece aritmética. Se precisa de uma ordem defensável, tome uma que já exista e que os participantes possam ver: uma classificação de sessões anteriores, uma nota de avaliação, um nível autodeclarado, a antiguidade, ou o resultado de uma ronda curta de apuramento. Se nada disso estiver disponível ou for aceitável, aceite a variância: com 24 pessoas em seis grupos de quatro, o desvio-padrão da força do grupo é 12,91 em vez de 3,42, e cerca de uma divisão em cada cinco juntará três ou mais dos seis melhores. Anuncie isso como o custo conhecido de um sorteio não estratificado, em vez de o descobrir à frente da sala.