Probabilidades das mãos de póquer, deduzidas em vez de memorizadas

Tudo é uma fatia de 2 598 960

Uma mão de cinco cartas de um baralho de 52 é uma seleção sem ordem, portanto o seu número é C(52,5) = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 311 875 200 / 120 = 2 598 960. Toda a probabilidade no póquer é algum subconjunto dessas mãos dividido por esse total, e cada subconjunto conta-se com a mesma receita: escolher os valores, escolher os naipes, multiplicar. Em todo o artigo não é preciso nada além da multiplicação e do coeficiente binomial.

Duas das contagens são triviais e vale a pena fazê-las primeiro, porque fixam o padrão. Uma sequência real são cinco cartas em sequência do mesmo naipe: há dez sequências possíveis, de A-2-3-4-5 até 10-J-Q-K-A, e quatro naipes, logo 10 × 4 = 40. Uma quadra são as quatro cartas de um valor mais uma quinta qualquer: 13 valores × 48 cartas restantes = 624. Repare que ambas as contagens são exatas e completas por si; não há nada a subtrair, porque uma mão não pode ser sequência real de duas formas nem quadra de duas formas.

Os sete que exigem algum cuidado

Um full house é um valor em triplicado e outro diferente em duplicado: 13 escolhas para o trio, C(4,3) = 4 formas de escolher os seus naipes, 12 valores restantes para o par, C(4,2) = 6 formas de escolher os seus naipes. 13 × 4 × 12 × 6 = 3 744. Aqui a ordem importa — três do valor A com dois do valor B é uma mão diferente de três de B com dois de A, e daí o fator ser 13 × 12 e não C(13,2). O trio prolonga a mesma ideia: 13 valores × C(4,3) naipes para o trio, depois C(12,2) = 66 formas de escolher dois valores de kickers distintos e 4 × 4 naipes para eles, dando 13 × 4 × 66 × 16 = 54 912. Os kickers têm de ser de valores distintos, ou a mão seria um full house.

Dois pares usa C(13,2) = 78 para os valores dos pares, porque aqui os dois pares são intercambiáveis, vezes C(4,2)^2 = 36 para os seus naipes, vezes 44 para a quinta carta — 52 menos as 8 cartas dos dois valores escolhidos. 78 × 36 × 44 = 123 552. O par simples é 13 valores × C(4,2) = 6 pares de naipes × C(12,3) = 220 valores de kickers × 4^3 = 64 naipes de kickers = 1 098 240. A carta alta é tudo o que sobra: escolher cinco valores distintos que não formem sequência, C(13,5) − 10 = 1 277, e depois qualquer padrão de naipes que não seja monocor, 4^5 − 4 = 1 020, dando 1 277 × 1 020 = 1 302 540. Essa última linha subtrai discretamente as duas exclusões de uma vez.

As duas exclusões e a sequência baixa

Quatro cartas de um naipe e uma quinta do mesmo dão 4 × C(13,5) = 5 148 mãos monocor, mas 40 delas são também sequências reais e seriam contadas duas vezes. Subtraia-as e a contagem de flushes é 5 108. A sequência tem o problema espelhado: 10 sequências de valores, cada carta livre de tomar qualquer um dos 4 naipes, dão 10 × 4^5 = 10 240, das quais as mesmas 40 são sequências reais, deixando 10 200. Salte qualquer uma das duas subtrações e as suas nove contagens somam 2 599 040 — oitenta a mais — que é exatamente como apanha o erro sem saber onde está.

O número dez merece a sua própria frase. Há treze valores, portanto uma contagem ingénua de cinco em linha dá nove sequências, de 2-3-4-5-6 até 10-J-Q-K-A. Mas o ás joga tanto em baixo como em cima, logo A-2-3-4-5 — a sequência baixa — é uma décima sequência válida, ao passo que Q-K-A-2-3, que dá a volta ao baralho, não é sequência de todo. Erre por baixo e a contagem de sequências cai para 9 180 em vez de 10 200; permita a volta e sobe para 13 260. Ambos os erros aparecem de imediato na soma, e é por isso que a soma vale a pena calcular.

A soma é a prova

40 + 624 + 3 744 + 5 108 + 10 200 + 54 912 + 123 552 + 1 098 240 + 1 302 540 = 2 598 960. Não aproximadamente — exatamente. Essa igualdade é a verificação mais forte disponível, porque os nove argumentos foram construídos independentemente uns dos outros e do total. Se algum deles contasse uma mão duas vezes, falhasse um caso ou aplicasse o coeficiente binomial errado, a soma falharia. Não falha, o que significa que as nove categorias particionam todas as mãos de cinco cartas sem sobreposição nem lacuna. Toda a tabela publicada que não feche nesta identidade tem um erro algures, e é assim que se descobre em dez segundos.

Como segunda verificação independente, as 2 598 960 mãos foram enumeradas em código e classificadas uma a uma. O programa devolveu 40, 624, 3 744, 5 108, 10 200, 54 912, 123 552, 1 098 240 e 1 302 540 — os mesmos nove números que a álgebra produziu, e confirmou ainda ter visitado exatamente C(52,5) mãos. Dois métodos que não partilham pressupostos e concordam até à unidade é o mais perto da certeza que a contagem oferece.

A ordem das mãos é uma consequência, não uma convenção

Leia a coluna das contagens de cima para baixo: 40, 624, 3 744, 5 108, 10 200, 54 912, 123 552, 1 098 240, 1 302 540. É estritamente crescente, e é também a ordem que todo o regulamento de póquer imprime. Não é coincidência nem escolha estética de algum redator antigo. Se uma mão mais rara perdesse para uma mais comum, o jogo premiaria o feito mais fácil, e qualquer jogador que reparasse poderia explorá-lo. A ordem é imposta pela contagem, e por isso é idêntica em todas as jurisdições e em todas as variantes que usam mãos de cinco cartas.

A relação é mais do que uma ordem — é uma razão. Uma sequência real é 15,6 vezes mais rara do que uma quadra, que é 6 vezes mais rara do que um full house, que é apenas 1,36 vezes mais raro do que um flush. Esse último intervalo é o mais apertado da tabela, e é por isso que a fronteira flush/full house é a que mais vezes se recorda mal: 5 108 contra 3 744, uma diferença de 1 364 mãos em dois milhões e meio. A fronteira par/carta alta, lá em baixo, é quase um cara ou coroa, 42,3 % contra 50,1 %, e juntas essas duas categorias cobrem 92,4 % de todas as distribuições.

Com sete cartas é outro problema

Tudo o que está acima descreve uma mão de exatamente cinco cartas. O Hold'em dá sete a cada jogador e pontua as melhores cinco, o que não é o mesmo cálculo nem tem as mesmas respostas. O espaço cresce para C(52,7) = 133 784 560, e cada mão tem de ser avaliada procurando o seu melhor subconjunto de cinco cartas em vez de simplesmente classificada. Enumerá-las todas dá 41 584 sequências reais, 224 848 quadras, 3 473 184 full houses, 4 047 644 flushes, 6 180 020 sequências, 6 461 620 trios, 31 433 400 duplos pares, 58 627 800 pares e 23 294 460 cartas altas — somando, de novo exatamente, C(52,7).

Dois desses números derrubam a narrativa arrumada acima. Uma sequência, com 6 180 020, é mais rara do que um trio, com 6 461 620 — e ainda assim continua a ganhar-lhe, porque a ordem é fixada pelas contagens de cinco cartas, não pelas de sete. E a carta alta, que é o resultado mais frequente a cinco cartas com 50,1 %, cai para 17,4 % com sete cartas, abaixo dos dois pares com 23,5 %. A ordem do póquer coincide portanto exatamente com a raridade nos jogos de cinco cartas e apenas aproximadamente nos de sete. É uma incoerência real e documentada do jogo, não um erro de aritmética, e uma boa razão para desconfiar de qualquer tabela de sete cartas publicada sem enumeração.

Perguntas frequentes

Porque é que a contagem de flushes subtrai 40?

Porque as nove categorias têm de ser mutuamente exclusivas para que as suas contagens somem o total. Escolher cinco cartas de um naipe dá 4 × C(13,5) = 5 148 mãos, e 40 dessas quintetas calham ser consecutivas em valor, o que faz delas sequências reais. Se as deixar no balde dos flushes estão também no das sequências reais, e as nove contagens somam 2 599 040 em vez de 2 598 960. Exatamente as mesmas 40 mãos têm de sair da contagem de sequências, baixando 10 240 para 10 200. É o defeito mais comum das tabelas publicadas: aplica-se uma das duas subtrações e a outra não, e o erro são oitenta mãos, invisível a não ser que some a coluna.

A-2-3-4-5 é mesmo uma sequência?

Sim, e é a razão pela qual as sequências de valores são dez e não nove. O ás pode jogar como carta mais baixa além de mais alta, portanto as sequências válidas vão de A-2-3-4-5 até 10-J-Q-K-A: dez ao todo. É o padrão em todos os regulamentos importantes. O que não é permitido é dar a volta por cima: K-A-2-3-4 e Q-K-A-2-3 não são sequências, porque a sequência tem dois extremos e o ás pode ocupar qualquer um deles mas não ligá-los. Tire a sequência baixa e a contagem cai para 9 180; permita a volta e sobe para 13 260. Nenhum dos números deixa as nove categorias somar 2 598 960, e é assim que se apanha o erro sem discutir a regra.

Porque é que o flush está acima da sequência?

Porque é mais raro, e por uma margem clara: 5 108 flushes contra 10 200 sequências, portanto um flush é quase exatamente duas vezes mais difícil de receber. A intuição que engana é que há apenas quatro naipes e treze valores, pelo que igualar naipes pareceria mais fácil — mas um flush exige que as cinco cartas concordem numa de quatro coisas, ao passo que uma sequência só pede que os cinco valores caiam numa janela de cinco em treze e deixa cada naipe totalmente livre. A contagem resolve: 4 × C(13,5) − 40 = 5 108 contra 10 × 4^5 − 40 = 10 200. As ordens no póquer nunca são questão de gosto; cada fronteira da tabela é uma comparação de duas contagens.

Estas probabilidades aplicam-se ao Texas hold'em?

Não. Descrevem uma mão de exatamente cinco cartas distribuídas ao acaso, ou seja draw ou stud de cinco cartas, não hold'em. No hold'em cada jogador forma as melhores cinco de sete, portanto o espaço é C(52,7) = 133 784 560 e toda a categoria fica mais provável — um full house passa de 0,14 % para 2,60 %, um flush de 0,20 % para 3,03 %. Enumerar todas as mãos de sete cartas produz ainda duas inversões que vale a pena conhecer: uma sequência, com 6 180 020, torna-se mais rara do que um trio com 6 461 620, e a carta alta cai do resultado mais frequente com 50,1 % para 17,4 %, abaixo dos dois pares. A ordem das mãos não acompanha, porque é fixada pelas contagens de cinco cartas. Se quer números de hold'em, use números de hold'em; a tabela de cinco cartas é a ferramenta errada.

Como verifico uma tabela de probabilidades que encontrei algures?

Some as contagens de mãos. Se não derem exatamente 2 598 960, a tabela está errada, e o tamanho da discrepância costuma nomear o erro. Errar por exatamente 40 significa que falta uma das duas subtrações de sequências reais. Errar por 1 020 significa que a sequência baixa foi retirada da contagem de sequências, porque uma sequência de valores vale 4^5 − 4 = 1 020 mãos e 10 200 menos 9 180 dá exatamente isso. Errar por 3 060 no outro sentido significa que a contagem permitiu sequências que dão a volta passando o ás. Se a tabela só der percentagens, multiplique cada uma por 2 598 960 e verifique se os resultados são inteiros; uma contagem genuína é-o sempre. As percentagens sozinhas escondem erros que os inteiros não escondem.