O que é um fatorial? n! explicado de forma simples

A definição numa linha

Para um inteiro positivo n, o fatorial n! vale n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1. Assim 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24, e 6! = 720. Cada fatorial apoia-se no anterior: n! = n x (n-1)!, por isso 5! é apenas 5 vezes 4!.

O valor que confunde é 0!, que vale 1 e não 0. Parece estranho, mas mantém a regra recursiva e as fórmulas de combinação. Existe exatamente uma forma de ordenar nada — a disposição vazia — por isso contá-la como 1 é o coerente.

A rapidez com que os fatoriais crescem

Os fatoriais disparam. 5! é 120, 10! já é 3.628.800, e 20! ronda os 2,43 triliões. Este crescimento ultrapassa qualquer exponencial como 2^n, porque cada passo multiplica por um número maior, não pelo mesmo. Por isso ordenar mesmo poucos objetos dá um número astronómico de disposições.

Por que os fatoriais importam para contar

Um fatorial responde a uma pergunta precisa: de quantas formas se podem ordenar n objetos distintos? Com 3 livros há 3! = 6 disposições. As permutações de r objetos entre n usam n! / (n-r)!, e as combinações — onde a ordem não importa — usam n! / (r! (n-r)!). Ambas as fórmulas assentam em fatoriais.

Perguntas frequentes

Por que 0! é igual a 1?

Há exatamente uma forma de ordenar um conjunto vazio — não fazer nada — por isso 0! = 1. Também mantém válida a regra n! = n x (n-1)! em n = 1 e faz funcionar as combinações.

Pode-se calcular o fatorial de um número negativo?

Não com a definição padrão — os fatoriais definem-se para inteiros não negativos. Uma função relacionada, a função gama, estende a ideia a outros valores, mas n! comum para em 0.

Até onde vai um fatorial antes de estourar uma calculadora?

Muitas calculadoras de bolso chegam a 69!, cerca de 1,7 x 10^98. Além disso é preciso software que lide com inteiros muito grandes, pois os fatoriais crescem mais depressa que quase qualquer outra função.

Qual é a diferença entre um fatorial e um expoente?

Uma potência como 3^4 multiplica o mesmo número quatro vezes (81). Um fatorial multiplica números decrescentes, então 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Os fatoriais usam um número diferente a cada passo e crescem muito mais depressa em valores grandes.