Combinações vs. permutações: quando a ordem importa

A única pergunta que decide

Antes de escolher uma fórmula, pergunte-se se reordenar os mesmos elementos produz um resultado diferente. Se sim, a ordem importa e precisa de uma permutação. Se reordenar nada muda, a ordem é irrelevante e precisa de uma combinação.

Um teste rápido: um pódio de corrida é uma permutação, porque ouro, prata e bronze são posições distintas. Um punhado de números de lotaria é uma combinação, porque o bilhete ganha independentemente da ordem em que as bolas são sorteadas.

As duas fórmulas lado a lado

A fórmula das permutações é nPr = n! / (n − r)!, onde n é o número de elementos disponíveis e r quantos dispõe. A fórmula das combinações divide esse resultado por r! para cancelar as ordenações: nCr = n! / (r! · (n − r)!). Esse r! extra no denominador é exatamente por que as combinações são sempre a contagem menor.

Repare que n! (fatorial de n) é o produto 1 × 2 × ... × n, e 0! define-se como 1. Essa convenção mantém as fórmulas válidas quando r é igual a n, onde há exatamente uma forma de dispor ou selecionar tudo.

Um exemplo com os mesmos números

Tome 5 pessoas e escolha 3. As permutações são nPr = 5! / (5 − 3)! = 120 / 2 = 60 alinhamentos ordenados. As combinações são nCr = 5! / (3! · 2!) = 120 / (6 × 2) = 10 grupos sem ordem. A razão 60 / 10 = 6 é exatamente 3!, confirmando que cada grupo de 3 pode ser ordenado de 6 maneiras.

Esta relação generaliza-se: nPr = nCr × r!. Sempre que já tiver uma contagem de combinações, multiplique por r! para obter a de permutações, e divida por r! no sentido inverso.

Perguntas frequentes

Uma «combinação» de cadeado é mesmo uma combinação?

Não, matematicamente é uma permutação. Num cadeado, 1-2-3 e 3-2-1 abrem cadeados diferentes, logo a ordem importa e o termo correto é permutação apesar do nome corrente.

Qual é sempre maior para os mesmos n e r?

As permutações são sempre pelo menos tão grandes, porque nPr = nCr × r!. São iguais só quando r é 0 ou 1, já que 0! e 1! valem ambos 1.

A repetição altera as fórmulas?

Sim. As fórmulas aqui assumem cada elemento usado no máximo uma vez (sem repetição). Se os elementos podem repetir-se, usam-se fórmulas diferentes, como n^r para seleções ordenadas com repetição.

Como se relaciona nCr com o triângulo de Pascal?

Cada entrada do triângulo de Pascal é uma contagem de combinações: o valor na linha n, posição r, é nCr. É por isso que esses números surgem como coeficientes ao desenvolver (a + b)^n.