Kapitalwert und interner Zinsfuß: was tun, wenn beide Regeln unterschiedlich reihen

Sie beantworten verschiedene Fragen

Der Kapitalwert fragt: Wenn Geld im nächsten Jahr weniger wert ist als heute und ein Satz r die Kapitalkosten abbildet, wie viel Überschuss schafft dieses Projekt in heutigem Geld? Du lieferst r, die Antwort kommt als Betrag. Der interne Zinsfuß fragt umgekehrt: Bei welchem Satz r wäre der Überschuss genau null? Du lieferst nichts, die Antwort kommt als Prozentsatz. Deshalb wirkt er attraktiv — er braucht keine Annahme — und deshalb täuscht dieser Eindruck: Die Annahme ist nicht verschwunden, sie ist nur in den Moment gerutscht, in dem du den internen Zinsfuß mit einer Mindestverzinsung vergleichst.

Bei einem einzelnen Projekt mit nur einem Vorzeichenwechsel stimmen beide Regeln stets überein: Der Kapitalwert ist bei r genau dann positiv, wenn der interne Zinsfuß über r liegt. Die Schwierigkeiten beginnen, sobald man zwischen Projekten wählen muss, denn ein Prozentsatz trägt keine Information über die Größe. Fünfzig Prozent von 10 000 € und dreißig Prozent von 100 000 € sind keine vergleichbaren Größen, und eine Reihungsregel, die sie so behandelt, wählt jedes Mal das kleinere. Investitionsplanung fragt, mit wie viel Wert man das Jahr beendet, nicht wie effizient eine kleine Summe gearbeitet hat.

Größe und Zeitpunkt: die zwei Wege des Widerspruchs

Zuerst die Größe. Die kleine Sanierung macht aus 10 000 € binnen eines Jahres 15 000 € — 50 Prozent intern und 3 889 € Kapitalwert bei 8 Prozent. Die große macht aus 100 000 € 130 000 € — 30 Prozent und 20 370 €. Der interne Zinsfuß reiht klein vor groß, der Kapitalwert groß vor klein. Welche Reihung stimmt, zeigt die Differenz beider Projekte: Die zusätzlichen 90 000 € bringen zusätzliche 115 000 €, eine Grenzrendite von 27,8 Prozent. Alles über den 8 Prozent Kapitalkosten lohnt sich, also lohnen sich die zusätzlichen 90 000 €, und das große Projekt gewinnt. Die 50 Prozent gab es nie auf mehr als 10 000 €.

Der Zeitpunkt richtet bei gleichem Einsatz denselben Schaden an. Der schnelle Rückfluss bringt nach einem Jahr 120 000 € auf 100 000 €: 20 Prozent intern und 11 111 € Wert. Die langlebige Anlage bringt zehn Jahre lang 20 000 € jährlich auf dieselben 100 000 €: 15,1 Prozent und 34 202 € Wert. Der Satz schmeichelt dem kurzen Projekt, weil ein hoher Satz über ein Jahr kaum aufzinst; das Geld belohnt das lange, weil es weiter produziert. Die beiden Kapitalwertkurven schneiden sich bei einem Diskontsatz von 13,7 Prozent — darunter ist die langlebige Anlage mehr wert, darüber die schnelle. Beide internen Zinsfüße liegen über 13,7 Prozent, und genau deshalb entsteht der Reihungskonflikt bei 8 Prozent Kapitalkosten.

Wenn der interne Zinsfuß zwei Antworten hat — oder keine

Der interne Zinsfuß ist die Nullstelle eines Polynoms und erbt dessen Verhalten: Eine Zahlungsreihe mit k Vorzeichenwechseln kann bis zu k reelle Nullstellen haben. Ein Wechsel, ein Zinsfuß. Zwei Wechsel — die Form jedes Projekts, das am Ende rückgebaut, saniert oder wieder aufgefüllt werden muss — und es können zwei sein. Nimm −100 000 € Bau, +230 000 € in Jahr eins, −132 000 € in Jahr zwei für die Wiederherstellung. Diskontiert man diese Reihe mit 10 Prozent, ist der Kapitalwert exakt null. Diskontiert man mit 20 Prozent, ist er wieder exakt null. Beides sind interne Zinsfüße; beide taugen nicht als Entscheidungsgröße, denn es ergibt keinen Sinn, dass ein Projekt 10 Prozent und zugleich 20 Prozent bringt.

Der Kapitalwert kennt diese Schwierigkeit nicht. Diskontiert man dieselbe Mine mit den tatsächlichen 8 Prozent Kapitalkosten, ist sie −206 € wert: knapp wertvernichtend, also nicht bauen. Bei 15 Prozent sind es +189 €, womit das Polynom sagt, dass diese Reihe nur für Sätze strikt zwischen ihren beiden Nullstellen positiven Wert hat — eine Tatsache ohne jede betriebswirtschaftliche Bedeutung. Reihen ganz ohne Vorzeichenwechsel, etwa ein Zuschuss, der nur auszahlt, haben überhaupt keinen internen Zinsfuß, und eine Tabellenkalkulation liefert einen Fehler oder, schlimmer, die Nullstelle nahe deinem Startwert. Wird für das Berichtswesen wirklich ein Satz verlangt, nimm den modifizierten internen Zinsfuß, der eine ausdrückliche Wiederanlagerendite festschreibt und daher stets genau eine Lösung hat. Reihe aber nach Kapitalwert, und für alle verglichenen Projekte mit demselben Diskontsatz.

Häufige Fragen

Wenn ich nur eine Zahl berichten kann — welche?

Den Kapitalwert, mit dem Diskontsatz daneben. Ein Kapitalwert von 34 202 € bei 8 Prozent ist eine vollständige Aussage: Er nennt die Annahme und den unter ihr geschaffenen Wert. Ein interner Zinsfuß von 15,1 Prozent nennt weder die Projektgröße noch den Vergleichssatz und unterstellt stillschweigend, dass Zwischenrückflüsse zu 15,1 Prozent wiederangelegt werden können, was meist falsch ist. Berichte ihn daneben, wenn dein Publikum es erwartet, aber reihe nie danach.

Was ist der Schnittzins, und wie finde ich ihn?

Es ist der Diskontsatz, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben; man findet ihn, indem man eine Zahlungsreihe von der anderen abzieht und den internen Zinsfuß der Differenz bildet. Bei den beiden Sanierungen lautet die Differenz −90 000 € und dann +115 000 €, mit einem internen Zinsfuß von 27,8 Prozent: Unterhalb dieses Satzes hat das große Projekt den höheren Kapitalwert. Beim Paar schnell gegen langlebig sind es 13,7 Prozent. Der Schnittzins ist die ehrliche Art, einen Reihungskonflikt zu benennen, denn er sagt genau, welche Annahme über die Kapitalkosten die Entscheidung kippen würde.

Meine Tabellenkalkulation gab nur einen internen Zinsfuß für die Mine aus. Ist er falsch?

Er ist nicht falsch, er ist unvollständig. Tabellenfunktionen für den internen Zinsfuß suchen numerisch ab einem Startwert und halten bei der ersten gefundenen Nullstelle an, dieselben Zahlungen liefern also je nach Startwert 10 oder 20 Prozent. Kein Ergebnis weist darauf hin, dass es das andere gibt. Die verlässliche Prüfung kostet nichts: Trage den Kapitalwert über einen Bereich von Diskontsätzen auf und zähle, wie oft die Kurve die Null schneidet. Schneidet sie mehr als einmal, verwirf den Satz ganz und entscheide über den Kapitalwert bei deinen tatsächlichen Kapitalkosten.