Miete teilen, wenn die Zimmer nicht gleich sind

Gleiche Drittel: die Methode, die nur zufällig gerecht ist

Beginnen wir mit der Wohnung, die uns durchgehend dient: 2 400 € im Monat, drei Schlafzimmer. Zimmer A hat 18 m² und ist schlicht. Zimmer B hat 12 m² und ist schlicht. Zimmer C hat nur 10 m², das kleinste der Wohnung, dafür ein eigenes Duschbad — und deshalb lohnt sich dieses Beispiel, weil Fläche und Begehrtheit in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Die Gleichteilung verlangt je 800 €. Sie hat eine echte Tugend: Sie braucht weder Information noch Diskussion und ist in genau einem Fall die richtige Antwort — wenn die Zimmer wirklich austauschbar sind, wie in manchem eigens gebauten Studentenwohnheim. Überall sonst ist sie eine Steuer auf die Person im schlechtesten Zimmer, still erhoben, Monat für Monat, über die ganze Mietdauer. In unserer Wohnung bepreist sie 18 m² genauso wie 10 m², was niemand laut verteidigen würde — und deshalb überlebt die Regelung meist nur, weil niemand sie anspricht.

Fläche und gewichtete Fläche: bessere Maßbänder, dieselbe unbeantwortete Frage

Nach Fläche zu teilen ist die naheliegende Verbesserung und wirklich besser als nichts. Die drei Zimmer ergeben zusammen 40 m², Zimmer A trägt also 18 ÷ 40 = 45 Prozent der Miete, Zimmer B 30 Prozent und Zimmer C 25 Prozent: 1 080,00 €, 720,00 € und 600,00 €. Die Rechnung ist transparent, mit dem Maßband prüfbar und beseitigt die gröbste Ungerechtigkeit der Gleichteilung.

Sie verlangt zudem vom kleinsten Zimmer am wenigsten — in einer Wohnung, in der das kleinste Zimmer das mit dem eigenen Duschbad ist. Der naheliegende Flicken ist, die Fläche nach Ausstattung zu gewichten: Gib Zimmer C für das Duschbad einen Faktor 1,35, dann werden die gewichteten Einheiten 18, 12 und 13,5, zusammen 43,5. Zimmer A trägt nun 18 ÷ 43,5 = 41,379 Prozent, Zimmer B 27,586 Prozent und Zimmer C 31,034 Prozent, also 993,10 €, 662,07 € und 744,83 €, in der Summe genau die Miete.

Das ist eine echte Verbesserung und immer noch die falsche Art Antwort, denn das Gewicht ist erfunden. Warum 1,35 und nicht 1,2 oder 1,6? Ein eigenes Duschbad ist einer Person, die früh aus dem Haus muss, sehr viel wert und einer, die im Fitnessstudio duscht, gar nichts. In dem Moment, in dem du ein Gewicht aufschreibst, behauptest du eine Vorliebe im Namen aller, und die folgende Arithmetik kleidet deine Behauptung nur in Nachkommastellen. Der nächste Abschnitt zeigt, was das in dieser Wohnung kostet: Selbst die gewichtete Teilung lässt eine Person strikt das Zimmer einer anderen bevorzugen.

Neidfreiheit: die richtige Definition von gerecht

Hör auf zu fragen, was jedes Zimmer wert ist, und stell eine schärfere Frage: Gibt es eine Zuordnung der Zimmer und ein Preisbündel, das die Miete ergibt, sodass niemand lieber das Zimmer einer anderen Person zu deren Preis hätte? Eine Aufteilung mit dieser Eigenschaft heißt neidfrei, und sie ist das richtige Ziel, weil sie prüfbar ist. Du musst den Bewertungen anderer nicht zustimmen; du musst nur für dich selbst bestätigen, dass du dein eigenes Paket jedem anderen auf dem Tisch vorziehst.

Beruhigend ist, dass es eine solche Aufteilung gibt. Francis Sus Aufsatz von 1999 im American Mathematical Monthly bewies die Mietharmonie mit Sperners Lemma, aufbauend auf dem früheren Existenzresultat von Alkan, Demange und Gale in Econometrica, und die praktische Fassung der Aussage lässt sich leicht mitnehmen: Ergeben die eigenen Bewertungen jeder Person mindestens die Miete, dann gibt es eine Zimmerzuordnung samt Preisen in Höhe der Miete, unter denen niemand jemanden beneidet und niemand für sein Zimmer mehr zahlt, als er selbst gesagt hat, dass es wert sei. Du suchst nicht nach etwas, das es womöglich nicht gibt.

Drei Mitbewohner, drei Zimmer, vollständig gerechnet

Ana, Ben und Clara schreiben je auf, was ihnen jedes Zimmer wert ist, wobei ihre eigenen drei Zahlen die Miete von 2 400 € ergeben. Ana arbeitet von zu Hause und tauschte Fläche gegen das eigene Duschbad: A 750, B 600, C 1 050. Ben will das größte Zimmer, sonst zählt nichts: A 1 050, B 750, C 600. Clara will Licht und Bodenfläche und schert sich nicht ums Duschbad: A 900, B 900, C 600. Niemand muss das begründen; es sind Vorlieben, und der ganze Witz ist, dass das Verfahren keine Einigkeit darüber braucht.

Prüfe nun alle sechs Arten, die Zimmer zu verteilen, und summiere jeweils die Gebote. Ana in A, Ben in B, Clara in C ergibt 750 + 750 + 600 = 2 100. Ana in A, Ben in C, Clara in B ergibt 750 + 600 + 900 = 2 250. Ana in B, Ben in A, Clara in C ergibt 600 + 1 050 + 600 = 2 250. Ana in B, Ben in C, Clara in A ergibt 600 + 600 + 900 = 2 100. Ana in C, Ben in B, Clara in A ergibt 1 050 + 750 + 900 = 2 700. Und Ana in C, Ben in A, Clara in B ergibt 1 050 + 1 050 + 900 = 3 000, der klare Sieger. Alle bekommen das Zimmer, das sie am meisten wollten — ein hübscher Zufall in diesem Beispiel und nicht der Zweck der Regel: Die Regel maximiert die Summe, nicht eine einzelne Person.

Die Siegersumme 3 000 übersteigt die Miete um 600. Dieser Überschuss ist der Gewinn daraus, die Zimmer denen zuzuteilen, die sie am höchsten bewerten; er gehört dem Haushalt und nicht einem Mitglied, also teilt man ihn zu dritt: je 200. Der Preis jeder Person ist dann ihr eigenes Gebot minus ihrem Anteil am Überschuss. Ana zahlt 1 050 − 200 = 850 € für Zimmer C. Ben zahlt 1 050 − 200 = 850 € für Zimmer A. Clara zahlt 900 − 200 = 700 € für Zimmer B. Die drei Preise ergeben 2 400 €, genau die Miete — kein Glück, sondern die Folge davon, dass die Siegersumme 3 000 betrug und 600 zurückgegeben wurden.

Nun die Neidfreiheit prüfen, Person für Person. Ana bewertet ihr Zimmer C mit 1 050 und zahlt 850, ihr Überschuss ist also 200; Zimmer A brächte ihr 750 − 850 = −100 und Zimmer B 600 − 700 = −100, beides schlechter. Ben bewertet Zimmer A mit 1 050 und zahlt 850, Überschuss 200; Zimmer B brächte ihm 750 − 700 = 50 und Zimmer C 600 − 850 = −250, beides schlechter als 200. Clara bewertet Zimmer B mit 900 und zahlt 700, Überschuss 200; Zimmer A brächte ihr 900 − 850 = 50 und Zimmer C 600 − 850 = −250. Neun Vergleiche, kein Neid, und die Überschüsse sind bauartbedingt gleich, genau 200 je Person. Eine Warnung gehört dazu: Die Preise mit gleichem Überschuss sind der natürliche erste Kandidat, aber nicht in jedem Problem neidfrei. Fällt eine Prüfung durch, passt man die Preise an, bis alle Ungleichungen gleichzeitig gelten — ein kleines lineares Programm, und genau das lösen die öffentlichen Umsetzungen.

Wo die Flächenteilung wirklich jemanden neidisch lässt

Schick dieselben drei Personen und dieselbe Zuordnung durch die Flächenpreise — Zimmer A zu 1 080,00 €, Zimmer B zu 720,00 €, Zimmer C zu 600,00 € — und der Fehler springt sofort ins Auge. Ana in Zimmer C ist begeistert: Sie bewertet es mit 1 050 und zahlt 600, Überschuss 450. Clara in Zimmer B bewertet es mit 900 und zahlt 720, Überschuss 180. Ben in Zimmer A bewertet es mit 1 050 und zahlt 1 080, sein Überschuss beträgt also minus 30. Er hätte lieber Claras Zimmer B zu 720, das ihm 750 wert ist und ihm plus 30 ließe. Er hätte sogar lieber Anas Zimmer C zu 600, das er mit genau 600 bewertet, was ihn auf null brächte. Ben beneidet beide strikt — und die Messung, die zu diesem Ergebnis führte, war völlig korrekt.

Auch die gewichtete Teilung rettet es nicht — das ist das interessantere Ergebnis. Bei 993,10 €, 662,07 € und 744,83 € behält Ana 305,17 Überschuss und Clara 237,93, während Ben in seinem eigenen Zimmer 1 050 − 993,10 = 56,90 hat und in Claras 750 − 662,07 = 87,93 bekäme. Er beneidet sie weiterhin um 87,93 €. Ein Koeffizient machte die Zahlen feiner, aber nicht richtig, denn das Gewicht drückte die Ansicht seines Urhebers darüber aus, was ein Duschbad wert ist — und die einzigen Ansichten, die zählen, sind die drei in der Wohnung.

Merkwürdigerweise erzeugt die Gleichteilung in dieser Wohnung keinen strikten Neid: Bei je 800 € behält Ana 250, Ben 250 und Clara 100, und Clara ist zwischen ihrem Zimmer zu 800 und Anas Zimmer A zu 800 genau indifferent. Sieh aber die Überschüsse an: 250, 250, 100. Zwei Personen haben den zweieinhalbfachen Vorteil der dritten, und Clara ist eine Einheit vom strikten Neid entfernt. Neidfreiheit ist ein Boden, keine Decke; eine Aufteilung kann ihn erfüllen und den Gewinn dennoch ungleich verteilen — deshalb gleicht das gebotsbasierte Verfahren den Überschuss aus und beseitigt nicht nur den Neid.

Gemeinschaftsflächen, Paare und die Regel, die den Streit wirklich verhindert

Gemeinschaftsflächen regeln sich von selbst, was viele überrascht. Da jede Person auf das ganze Paket bietet — ein Schlafzimmer samt derselben Küche, demselben Wohnzimmer und derselben Warteschlange vor dem Bad wie alle anderen — heben sich die Gemeinschaftsflächen im Vergleich auf, weil sie für alle Bietenden identisch sind. Nicht auf hebt sich die Alleinnutzung: Bekommt die Person in Zimmer A den einzigen Balkon, oder stellt die in Zimmer C ein Fahrrad in den Flur, muss das vor dem Bieten in die Zimmerbeschreibung, sonst beziehen sich die Gebote nicht auf dieselben Dinge.

Ein Paar in einem Zimmer ist der Fall, den man am häufigsten falsch macht, weil zwei Fragen vermischt werden. Für die Miete ist ein Paar in einem Schlafzimmer ein Bieter mit einem Budget: Es belegt ein Zimmer und gibt einen Satz Zahlen ab. Für alles, was mit der Personenzahl skaliert, sind es zwei — Wasser, Heizung, Strom, Putzmittel, die Schlange vors Bad. Die praktikable Konvention lautet: Miete nach Zimmer mit der obigen Methode, Verbrauch pro Kopf — und das von Anfang an schriftlich, denn ein Haushalt, der diese Uneinigkeit im siebten Monat entdeckt, hat ein schwierigeres Gespräch als einer, der sie in der ersten Woche geklärt hat.

Zwei weitere Vorkehrungen ersparen späteren Ärger. Legt vorher fest, was beim Auszug geschieht: Entweder übernimmt die nachrückende Person das Zimmer der ausziehenden zum bisherigen Preis — einfach und für Neuankömmlinge mit anderem Geschmack leicht unfair — oder die ganze Wohnung wird mit neuen Geboten neu aufgeteilt, was gerechter ist und bedeutet, dass sich die Miete aller ändern kann. Beides ist in Ordnung; nichts zu entscheiden nicht. Und prüfe, wie dein Mietvertrag tatsächlich verfasst ist, denn wer dem Vermieter was schuldet, ist eine andere Rechtsfrage als wer wem was schuldet: Ein gemeinsamer Vertrag mit Solidarklausel kann jede mietende Person für die gesamte Miete haften lassen, unabhängig von jeder privaten Absprache — lies also den Vertrag und hole, wo es darauf ankommt, örtlichen Rat ein.

Häufige Fragen

Warum müssen meine Gebote die gesamte Miete ergeben?

Weil diese Bedingung die Zahlen verschiedener Personen vergleichbar macht. Ohne sie könnte eine Person alles aufblähen und eine andere alles kleinrechnen, und die Summen würden Begeisterung statt Vorliebe messen. Zu verlangen, dass die drei Zahlen jeder Person die Miete ergeben, macht daraus die Aufteilung derselben Geldsumme: Information trägt die Form deiner Gebote — um wie viel dir ein Zimmer mehr wert ist als ein anderes — nicht ihr Niveau. Es trägt auch die Garantie: Ergeben die Werte jeder Person mindestens die Miete, existiert ein neidfreies Preisbündel, in dem niemand für sein Zimmer mehr zahlt, als er selbst angegeben hat.

Was, wenn zwei Personen dasselbe Zimmer am höchsten bieten?

Nichts geht kaputt; genau dafür ist das Verfahren gebaut. Die Zuordnung wird so gewählt, dass die Summe der Gebote über alle Zimmer maximal wird, nicht Zimmer für Zimmer: Eine der beiden Personen bekommt es, und die Preise passen sich so an, dass es der anderen nichts ausmacht. In der Praxis zahlt, wer das umstrittene Zimmer bekommt, sichtbar mehr dafür, und die andere wird durch einen niedrigeren Preis für ihres entschädigt; die Neidprüfung bestätigt, dass die Entschädigung reicht. Fällt die Prüfung bei gleichen Überschüssen durch, verschiebt man die Preise, bis jede Ungleichung gilt — das Existenzresultat garantiert, dass eine Lösung da ist.

Kann jemand das Verfahren mit strategischen Geboten austricksen?

Im Prinzip ja, in der Praxis sind die Anreize unangenehm genug, um es zu bremsen. Ein Zimmer zu hoch anzusetzen erhöht den Preis, den du zahlst, wenn du es bekommst; eines zu niedrig anzusetzen riskiert, dass du ein ungewolltes Zimmer zu einem aus deiner eigenen Untertreibung errechneten Preis bekommst. Zwei Schutzmaßnahmen zählen mehr als jede Theorie. Erstens müssen die Gebote verdeckt und gleichzeitig offengelegt werden, denn eine Offenlegung nacheinander lässt die letzte Person gegen Menschen statt auf Zimmer bieten. Zweitens muss allen vor dem Bieten bekannt sein, wie die Preise berechnet werden, damit niemand das Verfahren erraten muss, während er die Zimmer errät.

Funktioniert die Methode bei vier, fünf oder mehr Mitbewohnern?

Ja, und die Mathematik bleibt gleich; nur die Suche wird größer. Drei Personen ergeben sechs mögliche Zuordnungen, vier vierundzwanzig, fünf hundertzwanzig — irgendwann ist Prüfen von Hand nicht mehr sinnvoll. Der Schritt, den du ausführst, ist das klassische Zuordnungsproblem, das Standardalgorithmen bei jeder Haushaltsgröße effizient lösen, und der Preisschritt bleibt ein kleines Ungleichungssystem. Öffentliche Umsetzungen gibt es — Spliddits Mietaufteilungswerkzeug und das um Sus Methode gebaute Interaktiv sind die bekanntesten — nutze also ab vier Zimmern einen Löser statt Tabellenkalkulation und Samstagnachmittag.

Wie zählt ein Paar, das ein Schlafzimmer teilt?

Trenne die beiden Fragen. Für die Miete sind sie ein Bieter mit einem Budget: Sie belegen ein Zimmer, reichen einen Satz Werte in Höhe der Miete ein und zahlen einen Preis. Für alles, was mit der Personenzahl in der Wohnung skaliert — Wasser, Heizung, Strom, Putzmittel und der reale Druck auf Bad und Küche — sind sie zwei, und eine Aufteilung dieser Kosten pro Kopf ist die ehrliche Behandlung. Einigt euch darauf vor dem Einzug und schreibt es auf, denn das ist eine der zwei, drei Streitfragen, die später zuverlässig auftauchen und sehr schwer zu klären sind, sobald sich jemand seit Monaten übervorteilt fühlt.

Ändert eine private Aufteilung, was wir dem Vermieter schulden?

Nein, und hier hört gerechte Aufteilung auf und Mietrecht fängt an. Wer wem innerhalb der Wohnung was schuldet, ist eine private Absprache unter Mitbewohnern; wer dem Vermieter was schuldet, bestimmt der Mietvertrag. Ein gemeinsamer Mietvertrag, zumal mit Solidar- oder Gesamtschuldklausel, kann jede mietende Person dem Vermieter gegenüber für die gesamte Miete haften lassen, unabhängig von jeder internen Aufteilung — wer aufhört zu zahlen, setzt die anderen dem vollen Betrag aus. Getrennte Verträge je Zimmer funktionieren wieder anders. Lies das tatsächliche Dokument und hole, wo es der Einsatz rechtfertigt, Rat in dem Land ein, in dem du mietest, statt dich auf eine allgemeine Beschreibung zu verlassen.