Prozessfähigkeit: Cp, Cpk und was Six Sigma wirklich behauptet

Cp: die Spezifikation gegen die Streuung

Cp ist ein Verhältnis zweier Breiten. Der Zähler ist die Breite der Spezifikation, OSG − USG, der Raum, den die Zeichnung lässt. Der Nenner ist 6σ, die Breite, die der Prozess einnimmt — sechs Standardabweichungen, denn ±3σ deckt 99,73 % einer Normalverteilung ab, und 6σ ist die übliche Kurzform für „den ganzen Prozess“. Also Cp = (OSG − USG) ÷ 6σ, und es beantwortet genau eine Frage: Würde dieser Prozess in diese Toleranz passen, wäre er perfekt eingestellt? Ein Cp von 1,00 heißt, der Prozess füllt die Toleranz genau aus, ohne Reserve. Ein Cp von 1,33 heißt, die Toleranz ist ein Drittel breiter, als der Prozess braucht.

Rechnen wir eins. Eine Welle ist zwischen 9,80 und 10,20 Millimetern spezifiziert — eine Toleranzbreite von 0,40 — und der Prozess hat eine Standardabweichung von 0,05 Millimetern. Cp = 0,40 ÷ (6 × 0,05) = 0,40 ÷ 0,30 = 1,333. Beachte genau, was in diese Rechnung nicht einging: der Mittelwert. Cp ist blind für die Lage des Prozesses, und jede Folge in diesem Artikel ergibt sich aus dieser Blindheit.

Cpk: die Strafe für Dezentrierung

Cpk behebt diese Blindheit, indem es jede Seite getrennt misst und die schlechtere behält. Cpk = min[(OSG − μ) ÷ 3σ, (μ − USG) ÷ 3σ]. Das 3σ in jedem Nenner ist die Hälfte des 6σ im Cp, denn jeder Term misst nun eine Seite der Verteilung statt der ganzen. Liegt der Prozess genau in der Mitte der Toleranz, sind beide Terme gleich und Cpk gleich Cp. Jede Abweichung von der Mitte verkleinert einen Term, weshalb Cpk stets kleiner oder gleich Cp ist und der Abstand zwischen beiden ein reines Maß für die Dezentrierung.

Das Paar gehört zusammen, weil es zwei verschiedene Führungsfragen beantwortet. Cp fragt, ob Maschine und Methode überhaupt fähig sind — ob die Streuung für das Teil klein genug ist. Cpk fragt, ob der Prozess aktuell richtig eingestellt ist. Ein niedriges Cp ist ein Engineering-Problem: Es braucht eine bessere Maschine, eine bessere Vorrichtung oder eine engere Methode. Ein hohes Cp bei niedrigem Cpk ist ein Einstellproblem: Die Anlage kann es, jemand muss nur die Lage verschieben — meist billig und schnell.

Gleiche Streuung, 359-mal so viel Ausschuss

Nimm dieselbe Spezifikation und dasselbe σ = 0,05, Cp ist also in beiden Fällen 1,333, und schick zwei Mittelwerte hindurch. Zentriert bei 10,00 liegt jede Grenze (0,20 ÷ 0,05) = 4 Standardabweichungen entfernt, also Cpk = 4 ÷ 3 = 1,333, gleich Cp. Der Anteil außerhalb ist Φ(−4) je Seite, also 31,671 pro Million je Flanke und 63,34 pro Million insgesamt — ein Teil von 15 787.

Verschiebe nun den Mittelwert auf 10,10, zwei Standardabweichungen nach oben, ohne die Streuung anzurühren. Cp ist weiter 1,333 — der Prozess ist genauso eng wie zuvor. Doch die obere Grenze liegt jetzt nur (10,20 − 10,10) ÷ 0,05 = 2 Standardabweichungen entfernt, die untere 6, also Cpk = min(2 ÷ 3, 6 ÷ 3) = 0,667. Die Ausschussrate ist Φ(−2) oberhalb der oberen Grenze, 22 750,13 pro Million, plus ein völlig vernachlässigbares Φ(−6) = 0,000987 pro Million unterhalb der unteren. Summe: 22 750 Fehler pro Million, 2,275 %, ein Teil von 44.

Genau darum gibt es beide Kennzahlen. Zwei Prozesse mit identischem Cp von 1,333 — gleiche Maschinen, gleiche Streuung, gleiche Fähigkeit im ingenieurtechnischen Sinn — erzeugen 63 Fehler pro Million und 22 750 Fehler pro Million, ein Faktor 359. Ein Fähigkeitsbericht, der nur Cp nennt, hat dir nichts über Ausschuss gesagt. Willst du nur eine Zahl ansehen, nimm Cpk; willst du handeln, nimm beide, denn sie zeigen auf verschiedene Abhilfen.

3,4 pro Million — und die 1,5σ-Drift, die sie erzeugt

„Six Sigma“ als Qualitätsniveau heißt, dass die nächste Spezifikationsgrenze sechs Standardabweichungen vom Mittelwert liegt — für einen zentrierten Prozess also Cp und Cpk von 2,00. Rechne die Fehlerrate direkt aus der Normalverteilung, und du erhältst 2 × Φ(−6) = 0,00197 Fehler pro Million. Das sind rund zwei Teile pro Milliarde. Es sind nicht 3,4, und es liegt nicht in der Nähe von 3,4 — die beiden Zahlen unterscheiden sich um den Faktor 1 722.

Die 3,4 stammt aus einer zusätzlichen Annahme. Die Konvention lautet, dass ein Prozessmittelwert nicht stillsteht: über Stunden, Schichten, Werkzeugwechsel und Materialchargen driftet er, und die anerkannte Zugabe für diese Langzeitdrift beträgt 1,5σ. Setz den Mittelwert 1,5σ neben das Ziel, und die nahe Grenze liegt nur noch 6 − 1,5 = 4,5 Standardabweichungen entfernt. Rechne diese Flanke: Φ(−4,5) = 3,398 pro Million. Die ferne Grenze liegt nun 7,5σ entfernt und steuert 0,0000000319 pro Million bei, also nichts. Die Zahl ist damit 3,398, zitiert als 3,4 Fehler pro Million Möglichkeiten. Sie ist arithmetisch exakt — sofern man die Drift zugesteht.

Dieselbe Konvention schreibt die ganze Tabelle um. Auf Drei-Sigma-Niveau liefert die zentrierte Normalverteilung 2 699,80 Fehler pro Million; mit Drift 66 810,6, fünfundzwanzigmal mehr. Bei vier Sigma werden aus 63,34 dann 6 209,68. Bei fünf Sigma aus 0,573 dann 232,6. Der Abstand wächst mit dem Sigma-Niveau, weil man feste 1,5σ von einer immer steileren Flanke abzieht. Deshalb wiegt die Drift genau dort am schwersten, wo die Werbeaussagen am lautesten sind.

Woher die Drift stammt und wie umstritten sie ist

Die 1,5σ-Zugabe stammt nicht aus der Messung eines bestimmten Prozesses. Sie geht auf statistische Toleranzrechnungen der 1970er zurück — Benders Faustregel zur Toleranzaddition sah einen Faktor dafür vor, dass Mittelwerte wandern — und wurde bei Motorola in den 1980ern als Standardkorrektur zwischen der Kurzzeitfähigkeit, gemessen an einer Reihe aufeinanderfolgender Teile, und der Langzeitleistung über Wochen der Fertigung übernommen. Die Absicht war vernünftig: Eine Fähigkeitsuntersuchung in einer Schicht, mit einem Bediener und einer Materialstange, unterschätzt die Streuung, die der Kunde sieht, tatsächlich.

Umstritten ist die Allgemeingültigkeit der Zahl. Es gibt keinen Grund, warum ein gut beherrschter kontinuierlicher Prozess um genau 1,5σ driften sollte, und keinen, warum ein schlecht beherrschter Chargenprozess nur so viel driften sollte. Die statistischen Begründungen für 1,5 als allgemeine Größe — auch die bekannteste, die sie aus der Wahrscheinlichkeit ableitet, dass eine Regelkarte auf kleinen Untergruppen eine Verschiebung dieser Größe nicht erkennt — sind nachträgliche Konstruktionen, und die Qualitätsliteratur streitet seit Jahrzehnten darüber. Nimm 1,5σ als das, was es ist: eine dokumentierte Konvention, die veröffentlichte Sigma-Niveaus vergleichbar macht, keine empirische Eigenschaft deines Prozesses.

Die praktische Folge ist eine Kennzeichnungsregel. Jedes Sigma-Niveau und jede DPMO-Zahl sollte den Zusatz „mit 1,5σ-Drift“ oder „ohne“ tragen, denn beide unterscheiden sich am Sechs-Sigma-Ende um drei Größenordnungen. Bei den Kennzahlen selbst ist das dieselbe Unterscheidung wie zwischen Cp und Cpk einerseits und Pp und Ppk andererseits: Das erste Paar nutzt konventionell eine Schätzung von σ innerhalb der Untergruppen und beschreibt Kurzzeitfähigkeit, das zweite die Gesamtstandardabweichung aller Daten und beschreibt die tatsächlich gelieferte Leistung.

Dreißig Teile sind keine Fähigkeitsuntersuchung

Alle Zahlen oben unterstellten ein bekanntes σ. Es ist nicht bekannt; es wird aus einer Stichprobe geschätzt, und die Schätzung ist weit verrauschter, als man erwartet. Weil (n − 1)s² ÷ σ² einer Chi-Quadrat-Verteilung folgt, läuft ein 95-%-Konfidenzintervall für Cp von Ĉp × √(χ²₀,₀₂₅,ₖ ÷ k) bis Ĉp × √(χ²₀,₉₇₅,ₖ ÷ k) mit k = n − 1 Freiheitsgraden. Bei n = 30 betragen diese Faktoren 0,7439 und 1,2556, ein gemessenes Cp von 1,333 ergibt also ein Intervall von 0,992 bis 1,674.

Übersetze die beiden Enden in Ausschuss, und das Problem wird sichtbar. Ein zentrierter Prozess mit Cp = 0,992 erzeugt 2 920,35 Fehler pro Million; mit Cp = 1,674 erzeugt er 0,511. Dieselbe Messung ist also mit Fehlerraten vereinbar, die um den Faktor 5 711 auseinanderliegen. Mehr Stichprobe hilft, aber langsam: Bei n = 50 reicht das Intervall von 1,070 bis 1,596, bei n = 100 von 1,148 bis 1,519 — noch immer Faktor 110 in der Fehlerrate —, bei n = 200 von 1,202 bis 1,464 und bei n = 500 von 1,251 bis 1,416.

Ein aus dreißig Teilen berechneter Fähigkeitsindex gehört daher mit seinem Intervall berichtet oder gar nicht, und die übliche Praxis, einen Prozess auf ein einzelnes Ĉpk von 1,33 aus einem Dreißig-Teile-Lauf hin freizugeben, ist ein schwächerer Beleg, als sie aussieht. Zudem unterschätzt ein kurzer Lauf die Streuung aus einem zweiten, eigenen Grund: Dreißig aufeinanderfolgende Teile teilen sich einen Bediener, ein Werkzeug, eine Einrichtung und eine Materialcharge — sie messen also die Streuung innerhalb der Untergruppe und sagen nichts über die Streuung zwischen Untergruppen, der ein Kunde begegnet.

All das setzt Normalverteilung voraus — also prüfe sie

Einen Fähigkeitsindex in eine Fehlerrate umzurechnen benutzt die Normalverteilung, und jede ppm-Zahl dieses Artikels — auch die berühmten 3,4 — ist nur so wahr wie diese Annahme. Das Ärgerliche: Fähigkeitskennzahlen leben in den extremen Flanken, genau dort, wo sich Verteilungen am stärksten unterscheiden und wo man am wenigsten Daten zur Prüfung hat.

Beziffere eine milde Abweichung. Nimm eine Student-t-Verteilung, so skaliert, dass sie exakt dieselbe Standardabweichung hat, also dasselbe Cp, und rechne die Flanke jenseits von sechs Standardabweichungen. Bei 30 Freiheitsgraden — einer kaum nachweisbaren Exzess-Kurtosis von 0,2 — beträgt die Flanke 0,3875 pro Million gegen 0,000987 bei der Normalverteilung, also 393-mal schwerer. Bei 10 Freiheitsgraden sind es 26,55 pro Million, 26 900-mal schwerer. Bei 5 Freiheitsgraden 286,6 pro Million, rund 290 000-mal schwerer. Eine Verteilung, die du mit hundert Datenpunkten kaum verwerfen könntest, zerstört die darauf gebaute Schätzung.

Tu also drei Dinge, bevor du eine Fähigkeitszahl veröffentlichst. Bestätige mit einer Regelkarte, dass der Prozess stabil ist, denn ein an einem außer Kontrolle geratenen Prozess berechneter Index beschreibt gar nichts. Prüfe die Verteilung, statt sie anzunehmen, und wenn sie wirklich schief ist — wie Ebenheit, Rundheit, Konzentrizität und jedes andere bei null begrenzte Merkmal es meist sind —, nimm die perzentilbasierten Kennzahlen, die die ISO-22514-Reihe für nicht normalverteilte Daten definiert, statt eine Normalanpassung zu erzwingen. Und berichte Cpk samt Konfidenzintervall und Stichprobenumfang, damit die nächste Leserin weiß, wie viel davon Messung ist und wie viel Rauschen.

Häufige Fragen

Kann Cpk größer als Cp sein?

Nie. Cpk nimmt den kleineren der beiden Abstände zu einer Grenze und teilt durch 3σ, während Cp die halbe Toleranzbreite durch 3σ teilt. Ist der Prozess exakt zentriert, sind beide Abstände gleich und Cpk gleich Cp; jede Abweichung verkleinert einen davon. Also gilt stets Cpk ≤ Cp, und zeigt ein Bericht ein Cpk über Cp, liegt ein Rechenfehler vor oder beide stammen aus verschiedenen Daten. Der Abstand zwischen ihnen ist für sich ein sauberes Maß der Dezentrierung.

Was unterscheidet Cp/Cpk von Pp/Ppk?

Die Formeln sind identisch, die Schätzung von σ nicht. Cp und Cpk nutzen konventionell eine Schätzung innerhalb der Untergruppen — aus der mittleren Spannweite oder der mittleren Standardabweichung kleiner rationaler Untergruppen —, die nur die Streuung über wenige aufeinanderfolgende Teile erfasst. Pp und Ppk nutzen die Gesamtstandardabweichung aller Daten, die auch Drift zwischen Untergruppen, Werkzeugwechsel und Materialchargen enthält. Cp und Cpk beschreiben also Kurzzeitfähigkeit, Pp und Ppk die gelieferte Leistung — genau die Lücke, die die 1,5σ-Konvention überbrücken sollte.

Sind 3,4 Fehler pro Million tatsächlich erreichbar?

Es ist ein definiertes Ziel, keine physikalische Konstante, und ob es erreichbar ist, hängt ganz vom Merkmal ab. Was die Zahl nicht kann: in den meisten Werken durch Messung belegt werden. Eine Rate von 3,4 pro Million mit irgendeiner Sicherheit nachzuweisen erfordert Hunderttausende Teile; in der Praxis wird sie daher immer aus einer Fähigkeitskennzahl erschlossen und nie beobachtet. Angesichts der Konfidenzintervalle von Cpk bei realistischen Stichprobenumfängen trägt dieser Schluss weit mehr Unsicherheit, als eine Zahl mit zwei Nachkommastellen nahelegt.

Wie viele Teile braucht eine Fähigkeitsuntersuchung?

Mehr als die dreißig, die die Konvention nahelegt, und der richtige Weg ist zu entscheiden, welche Intervallbreite du hinnehmen kannst. Bei n = 30 trägt ein gemessenes Cp von 1,333 ein 95-%-Intervall von 0,992 bis 1,674; bei n = 100 verengt es sich auf 1,148 bis 1,519; bei n = 200 auf 1,202 bis 1,464. Die Präzision wächst ungefähr mit der Wurzel des Umfangs, das Intervall zu halbieren kostet also die vierfache Teilezahl. Ebenso wichtig: die Stichprobe über Schichten, Bediener, Werkzeugwechsel und Materialchargen zu verteilen, denn eine große, in einem Lauf gezogene Stichprobe misst die falsche Streuung sehr genau.

Was, wenn meine Daten nicht normalverteilt sind?

Dann rechne den Index nicht mit der Normalverteilung in eine Fehlerrate um, denn der Fehler landet vollständig in genau der Flanke, die dich interessiert. Bei null begrenzte Merkmale — Ebenheit, Rundheit, Rundlauf, Rauheit, Verschmutzungszählungen — sind meist konstruktionsbedingt schief und dürfen nie in eine Normalanpassung gezwungen werden. Die ISO-22514-Reihe definiert für genau diesen Fall perzentilbasierte Fähigkeitskennzahlen, die die 0,135-%- und 99,865-%-Quantile der tatsächlich angepassten Verteilung anstelle von μ ± 3σ verwenden. Alternativen sind, die Daten zu transformieren oder eine passende Verteilung anzupassen; was du nicht tun darfst, ist ein Cpk zu berichten, das stillschweigend Normalität unterstellt hat.