Zinsperioden — und woher die stetige Verzinsung kommt

Rechne die Folge aus, und das ganze Thema fällt in sich zusammen

Ein nominaler Jahreszins r, der n-mal jährlich gutgeschrieben wird, bringt jedes Mal r/n, und jede Gutschrift verzinst sich bis zum Jahresende weiter. Ein Jahr davon ist (1 + r/n)^n. Setze r = 0,06 und lasse n auf 10 000 € steigen: jährlich ergibt 10 600,00 €, halbjährlich 10 609,00 €, vierteljährlich 10 613,64 €, monatlich 10 616,78 €, täglich 10 618,31 €, stündlich 10 618,36 €, sekündlich 10 618,37 €. Die Folge wächst streng und bleibt doch sichtbar stehen. Von täglich auf sekündlich — das 86 400-Fache an Verzinsungsereignissen — bringt sechs Cent.

Sie bleibt stehen, weil jede zusätzliche Teilung zwei gegenläufige Dinge tut. Die Gutschrift zu halbieren lässt Zinsen früher Zinsen tragen, was hilft — aber jede Hälfte ist auch nur halb so groß, und der zweiten bleibt nur noch ein halbes Jahr zum Verzinsen, was den Gewinn größtenteils aufhebt. Der Nettoeffekt schrumpft wie 1/n. Die Decke ist e^r: 1,0618365465 bei r = 0,06, also 10 618,37 €. Kein noch so feiner Verzinsungsrhythmus kommt darüber. Das ist der gesamte Inhalt der stetigen Verzinsung, und deshalb schüchtert der Begriff weit mehr ein, als die Rechnung es verdient.

Warum ausgerechnet e die Decke ist

Die Konstante e ist als Grenzwert von (1 + 1/k)^k definiert, wenn k unbeschränkt wächst: 2 bei k = 1, 2,5937 bei k = 10, 2,7048 bei k = 100, 2,71815 bei k = 10 000, mit Grenzwert 2,718281828… Schreibe unsere Folge nun mit k = n/r, sodass r/n = 1/k und n = k·r. Dann wird (1 + r/n)^n zu ((1 + 1/k)^k)^r, und wächst n, so wächst k mit: Die Klammer strebt gegen e, das Ganze gegen e^r. Das ist die vollständige Herleitung. Stetige Verzinsung ist keine andere Art von Zins; sie ist derselbe Zins nach der Substitution.

Zwei Formeln folgen sofort und lohnen sich anstelle von allem anderen zu merken. Einen Betrag P über t Jahre mit stetigem Zins r wachsen zu lassen ergibt P·e^(r·t). Zurückzudiskontieren — die Operation hinter jeder Barwertrechnung, auch denen unseres Begleitartikels zu Barwert und Endwert — ergibt P·e^(−r·t). Sie sind exakte Umkehrungen, sie setzen sich über jeden Horizont sauber zusammen, und anders als (1 + i)^n zwingen sie dich nicht, festzulegen, was eine Periode ist.

Ein Nominalzins ist kein Zins, den du je bekommst

Die auf einem Sparkonto oder einer Karte genannte Zahl ist fast immer nominal: ein annualisiertes Etikett für einen Periodenzins, durch Multiplizieren statt Aufzinsen gewonnen. Sechs Prozent nominal, monatlich verzinst, heißt 0,5 Prozent im Monat, und zwölf Monate zu 0,5 Prozent ergeben 6,1678 Prozent, nicht 6. Der effektive Jahreszins ist EJZ = (1 + r/n)^n − 1; umgekehrt liefert r = n·((1 + EJZ)^(1/n) − 1) den Nominalzins zu einem gewünschten Effektivzins. Nichts an diesem Formelpaar ist optional: Der Nominalzins existiert nur als Anzeigekonvention, der Effektivzins ist das Geld.

Genau hier laufen effektiver Kreditzins und effektive Verzinsung auseinander, und deshalb stehen beide auf gegenüberliegenden Seiten desselben Produkts. Bei einer Einlage ist die Renditezahl aufgezinst: also die größere, die Banken gern zeigen. Beim Kredit steht meist der Nominalzins vorn, sodass 24 Prozent nominal bei monatlicher Belastung 26,82 Prozent effektiv sind und bei täglicher 27,11 Prozent — der Karteninhaber zahlt rund drei Punkte mehr, als die Anzeige nahelegt. Kommt die zweite Komplikation hinzu, wächst der Abstand: Ein effektiver Jahreszins nach europäischem Verbraucherkreditrecht rechnet Pflichtkosten ein und kann deshalb den effektiven Zinssatz übersteigen, noch bevor die Verzinsungsfrequenz betrachtet wird. Vergleiche Einlagen über die Effektivrendite, Kredite über die All-in-Jahreszahl, die deine Aufsicht definiert, und vergleiche nie die eine mit der anderen.

Wann der Unterschied Geld wert ist — und wann nicht

Das ist der Teil, den die meisten Erklärungen auslassen, und der einzige, der einer Leserin sagt, ob es sie kümmern muss. Auf 10 000 € für ein Jahr zu 6 Prozent bringt monatliche Verzinsung 10 616,78 € und stetige 10 618,37 €: ein Unterschied von 1,59 €, also 0,016 Prozent des Kapitals. Dafür sollte niemand eine Entscheidung ändern. Bei 24 Prozent — einem plausiblen Kartenzins — beträgt derselbe Jahresabstand 30,07 € auf 10 000 €, neunzehnmal mehr in Euro, aber weiterhin nur 0,24 Prozent des Saldos. Nicht der Unterschied macht eine Karte teuer; die 24 Prozent tun es.

Es ist die Zeit, die den Rundungsfehler in eine Zahl verwandelt. Halte die 6 Prozent zehn Jahre, und der Abstand monatlich zu stetig auf 10 000 € wächst auf 27,22 €; halte sie dreißig, und er beträgt 270,72 €, immer noch 0,45 Prozent. Halte dagegen die 24 Prozent dreißig Jahre, und monatlich ergibt 12 475 611 € gegen stetig 13 394 308 € — ein Abstand von 918 696 €, also 7,4 Prozent des Guthabens. Das ist die ehrliche Regel: Die Frequenzfrage ist bei Verbraucherprodukten zu üblichen Zinsen ein Rundungsdetail und wird nur dort zu einem echten Betrag, wo der Zins hoch und der Horizont lang ist — in der Praxis also in Modellen, nicht auf Konten.

Wo stetige Verzinsung wirklich gebraucht wird

Die Optionsbewertung ist der klarste Fall. Das Black-Scholes-Modell diskontiert mit e^(−r·T) und modelliert den Kurs als Exponential eines Prozesses mit stetig verzinster Drift, weil die Mathematik einer Diffusion keine natürliche Periode enthält — es gibt keinen Monat, nur einen Augenblick. Anleihe- und Swap-Desks quotieren ebenso stetig, wenn sie einen Zins wollen, der sich über Laufzeiten addiert, ohne dass eine Zinstagekonvention dazwischenfunkt. In keinem dieser Fälle behauptet jemand, eine Bank schreibe jeden Augenblick Zinsen gut; der stetige Zins ist ein Koordinatenwechsel, der die Algebra zahm macht.

Log-Renditen addieren sich, Prozentrenditen nicht

Nimm 10 000 €, gewinne 50 Prozent, verliere dann 50 Prozent. Die Prozentzahlen mitteln sich zu null; das Geld nicht. Aus 10 000 € werden 15 000 €, dann 7 500 € — eine Gesamtrendite von −25 Prozent und ein Periodenmittel von −13,40 Prozent, nicht 0. Prozentrenditen setzen sich multiplikativ zusammen, und der Multiplikation ist das Mittel der Faktoren gleichgültig. Diese eine Asymmetrie steckt hinter den meisten Fehldeutungen einer Wertentwicklung und hinter jeder Behauptung, ein Fonds stehe nach einer heftigen Hin- und Rückbewegung „bei null“.

Log-Renditen beheben das exakt. Definiere die Log-Rendite einer Periode als ln(Ende ÷ Anfang). Hier ist ln(1,5) = 0,405465 und ln(0,5) = −0,693147; ihre Summe ist −0,287682, und e^(−0,287682) = 0,750000, der wahre kumulierte Faktor. Log-Renditen addieren sich über die Zeit, weil der Logarithmus Produkte in Summen verwandelt — dieselbe Eigenschaft, die den stetig verzinsten Satz zur natürlichen Einheit eines Mehrperiodenmodells macht. Der Preis dieser Bequemlichkeit: Logs addieren sich nicht über die Positionen eines Portfolios, wo einfache Renditen es tun. Nutze Logs entlang der Zeitachse und einfache Renditen entlang der Positionsachse, nie umgekehrt.

Häufige Fragen

Gibt es stetige Verzinsung bei einer Bank wirklich?

Nein. Zinsen werden zu diskreten Terminen gutgeschrieben — täglich, monatlich, vierteljährlich — weil ein Konto ein Buch ist und ein Buch Buchungen hat. Stetige Verzinsung ist der Grenzwert, dem diese Rhythmen zustreben, und wird genutzt, weil sie Formeln sauberer macht, nicht weil jemand jeden Augenblick bucht. Dein praktischer Wert liegt darin, die Periode aus der Algebra zu entfernen: e^(r·t) funktioniert für jedes t, ein stetig quotierter Zins lässt sich also zwischen Horizonten verschieben, ohne über eine Verzinsungskonvention zu streiten. Behandle sie als Modelleinheit und rechne sie in einen effektiven Jahreszins um, sobald du sie mit einem Produkt vergleichen willst.

Warum liegt die Rendite meines Sparkontos über dem beworbenen Zins?

Weil die beiden Zahlen verschiedene Fragen beantworten. Der beworbene Zins ist meist nominal — der Periodenzins auf ein Jahr hochmultipliziert —, während die Renditezahl die tatsächlich gutgeschriebenen Zinsen aufzinst. Bei 6 Prozent nominal mit monatlicher Gutschrift ist die Rendite (1,005)^12 − 1 = 6,17 Prozent; bei täglicher 6,18 Prozent. Der Abstand wächst mit dem Zins, weshalb er bei einer Niedrigzinseinlage unsichtbar und bei einer Kreditkarte auffällig ist. Verlange beim Vergleich zweier Konten für beide die aufgezinste Zahl und prüfe die in den Bedingungen genannte Verzinsungsfrequenz, statt sie zu unterstellen.

Hilft mir häufigere Verzinsung oder schadet sie mir?

Das hängt vollständig davon ab, auf welcher Seite der Bilanz du stehst. Bei Geld, das dir zusteht — Einlage, Anleihe, Anlage —, ist häufigere Verzinsung strikt besser, weil Zinsen früher Zinsen tragen. Bei Geld, das du schuldest, ist sie aus demselben Grund strikt schlechter: Eine täglich verzinste Karte kostet mehr als eine mit gleichem Nominalzins bei monatlicher Verzinsung. Die Richtung ändert sich nie; nur die Größe, und die ist bei üblichen Sätzen klein. Nennen zwei Angebote denselben Nominalzins, aber unterschiedliche Frequenzen, rechne beide vor der Wahl in einen effektiven Jahreszins um.

Wie rechne ich einen stetigen Zins in einen gewöhnlichen Jahreszins um?

Je eine Exponentialfunktion pro Richtung. Ein stetig verzinster Satz r entspricht einem effektiven Jahreszins von e^r − 1: bei r = 0,06 sind das 6,1837 Prozent. Zurück gilt: Der stetige Satz zu einem effektiven Jahreszins ist ln(1 + EJZ), ein effektiver 6-Prozent-Satz also stetige 5,8269 Prozent. Achte auf die Richtung — bei gleichem Geldbetrag ist der stetige Satz stets der kleinere der beiden, weil er am häufigsten aufzinst und deshalb die kleinste Kopfzahl braucht. Sie zu verwechseln ist der häufigste Fehler in einer Tabelle, die beide Konventionen enthält.

Warum verwenden Analysten Log-Renditen statt Prozentwerte?

Weil sie sich addieren, und Addieren ist, was die Statistik braucht. Die Summe einer Spalte von Log-Renditen ist exakt die kumulierte Log-Rendite, sodass Mittelwert, Standardabweichung und Zeitskalierung sich vernünftig verhalten. Prozentrenditen setzen sich multiplikativ zusammen, ihr arithmetisches Mittel überzeichnet daher das Geschehene — das Beispiel +50 und dann −50 mittelt sich zu null, während das Geld 25 Prozent verloren hat. Log-Renditen sind zudem symmetrisch: Eine Verdopplung ist +0,693, eine Halbierung −0,693, während das Prozentpaar +100 und −50 lautet. Das Einzige, was sie nicht können, ist die Aggregation über ein Portfolio zu einem Zeitpunkt — dort sind einfache Renditen das richtige Werkzeug.