Kern-Rechner (Basis von Nul(A), Defekt, parametrische Lösung)

Löse Ax = 0 für jede Matrix bis 8×8: eine Basis des Kerns in exakten Brüchen und in ganzen Zahlen, die freien Variablen, die parametrische Lösung, die Probe der Dimensionsformel und A·v = 0 exakt geprüft.

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Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten)Eine Basis des Spaltenraums jeder Matrix bis 6×6, genommen aus den URSPRÜNGLICHEN Pivotspalten statt aus den reduzierten — mit Rang, freien Spalten, vollständiger RREF und jeder Zeilenoperation.Gram-Schmidt-Rechner (Orthonormalbasis)Verwandle eine Menge von Vektoren mit dem Gram-Schmidt-Verfahren in eine Orthonormalbasis: jeder Vektor wird orthogonal zu den vorherigen gemacht und dann auf Einheitslänge normiert. Gib einen Vektor pro Zeile in einem editierbaren Raster ein, und es liefert die Orthonormalbasis, wobei linear abhängige Vektoren verworfen werden. Orthonormalbasen sind die Grundlage der QR-Faktorisierung, der Fourier-Analyse und von Projektionen.Parameterkurven-PlotterZeichne eine durch x(t) und y(t) definierte Kurve, während der Parameter t ein Intervall durchläuft — die natürliche Art, Kreise, Lissajous-Figuren, Spiralen und Rosetten zu zeichnen, die kein y=f(x) schafft. Wähle eine Vorlage oder gib eigene Ausdrücke ein; es tastet das Paar ab, skaliert automatisch und zeichnet die Kurve im Browser.Winkel-zwischen-zwei-Vektoren-Rechnerθ = arccos(a·b / (|a||b|)) in 2D oder 3D, in Grad und Bogenmaß, mit Skalarprodukt, beiden Beträgen, den Projektionen und dem Urteil parallel / senkrecht / spitz / stumpf.Cramersche-Regel-RechnerLöst ein 2×2- oder 3×3-System in exakten Brüchen, entwickelt jede Determinante Term für Term und trennt bei D = 0 die beiden Fälle, die die meisten Rechner vermengen: abhängiges System mit unendlich vielen Lösungen oder unlösbares System ohne jede Lösung.Kreuzprodukt-Rechnera × b in 3D mit der Entwicklung der Determinante, dem Betrag |a||b|sin θ, den Flächen von Parallelogramm und Dreieck, der Einheitsnormalen und der Rechte-Hand-Regel.Skalarprodukt-Rechnera·b in 2 bis 10 Dimensionen mit der Summe Term für Term, beiden Beträgen als exakte Wurzelausdrücke, dem Winkel in Grad und Bogenmaß, den Projektionen und einer Abbildung. Parallelität und Orthogonalität werden in exakten Brüchen entschieden: (1,1,1)·(2,2,2) liefert 0°, nicht NaN.Eigenwert- und Eigenvektor-Rechner (2×2 und 3×3, komplex möglich)Charakteristisches Polynom, exakte Eigenwerte — rational, als Wurzelausdruck wie (1±√5)/2 oder komplex wie ±i bei einer Drehung — mit Eigenvektoren, algebraischer und geometrischer Vielfachheit und einem klaren Urteil zur Diagonalisierbarkeit.

Kern-Rechner (Basis von Nul(A), Defekt, parametrische Lösung) funktioniert direkt auf dieser Seite — kostenlos, sofort, nichts zu installieren. Berücksichtigt werden eine Basis des Kerns in exakten Brüchen und in ganzen Zahlen, die freien Variablen, die parametrische Lösung, die Probe der Dimensionsformel und A·v = 0 exakt geprüft — passe einen davon an und das Ergebnis folgt sofort.

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Häufige Fragen

Wofür ist Kern-Rechner (Basis von Nul(A), Defekt, parametrische Lösung) da?

Was wird berücksichtigt?

Berücksichtigt werden eine Basis des Kerns in exakten Brüchen und in ganzen Zahlen, die freien Variablen, die parametrische Lösung, die Probe der Dimensionsformel und A·v = 0 exakt geprüft. Änderst du einen davon, passt sich das Ergebnis sofort an.

Wann brauche ich das konkret?

Eine von Hand ausgeführte Zerlegung prüfen, ein lineares System lösen und die Eigenwerte finden, die beschreiben, wie eine Abbildung den Raum dehnt.

Was ist der häufigste Fehler?

Eine Matrix invertieren, um ein System zu lösen. Elimination oder eine Faktorisierung ist schneller und numerisch weit stabiler; eine explizite Inverse verstärkt Rundungsfehler, besonders nahe der Singularität.

Worin unterscheidet sich Kern-Rechner (Basis von Nul(A), Defekt, parametrische Lösung) von Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten)?

Sie liegen nah beieinander, beantworten aber verschiedene Fragen: Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten) ist das richtige, wenn es darum geht, eine Basis des Spaltenraums jeder Matrix bis 6×6, genommen aus den URSPRÜNGLICHEN Pivotspalten statt aus den reduzierten — mit Rang, freien Spalten, vollständiger RREF und jeder Zeilenoperation. Nimm das, was zu deinem Ausgangspunkt passt — beide sind kostenlos.

Gibt es ein Werkzeug für den nächsten Schritt?

Gram-Schmidt-Rechner (Orthonormalbasis) ist das nächstliegende danach: Verwandle eine Menge von Vektoren mit dem Gram-Schmidt-Verfahren in eine Orthonormalbasis: jeder Vektor wird orthogonal zu den vorherigen gemacht und dann auf Einheitslänge normiert. Gib einen Vektor pro Zeile in einem editierbaren Raster ein, und es liefert die Orthonormalbasis, wobei linear abhängige Vektoren verworfen werden. Orthonormalbasen sind die Grundlage der QR-Faktorisierung, der Fourier-Analyse und von Projektionen.

Was lohnt sich sonst noch daneben offen zu haben?

Parameterkurven-Plotter und Winkel-zwischen-zwei-Vektoren-Rechner — sie tauchen in derselben Aufgabe oft genug auf, um einen zweiten Tab zu verdienen.

Woher stammen die Daten?

Die Zerlegungen folgen ihren Lehrbuchdefinitionen, mit Teilpivotisierung wo sinnvoll. Ergebnisse sind exakt für kleine ganzzahlige Matrizen und sonst der Gleitkommarundung unterworfen.

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