Gram-Schmidt-Rechner (Orthonormalbasis)

Verwandle eine Menge von Vektoren mit dem Gram-Schmidt-Verfahren in eine Orthonormalbasis: jeder Vektor wird orthogonal zu den vorherigen gemacht und dann auf Einheitslänge normiert. Gib einen Vektor pro Zeile in einem editierbaren Raster ein, und es liefert die Orthonormalbasis, wobei linear abhängige Vektoren verworfen werden. Orthonormalbasen sind die Grundlage der QR-Faktorisierung, der Fourier-Analyse und von Projektionen.

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Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten)Eine Basis des Spaltenraums jeder Matrix bis 6×6, genommen aus den URSPRÜNGLICHEN Pivotspalten statt aus den reduzierten — mit Rang, freien Spalten, vollständiger RREF und jeder Zeilenoperation.Kern-Rechner (Basis von Nul(A), Defekt, parametrische Lösung)Löse Ax = 0 für jede Matrix bis 8×8: eine Basis des Kerns in exakten Brüchen und in ganzen Zahlen, die freien Variablen, die parametrische Lösung, die Probe der Dimensionsformel und A·v = 0 exakt geprüft.Adjazenzmatrix-RechnerWandle jeden Graphen in seine Adjazenzmatrix um. Füge eine Kantenliste (A-B), eine Adjazenzliste (A: B C D) oder eine Binärmatrix ein — das Tool erkennt das Format, baut die beschriftete Adjazenzmatrix und nennt die Gradfolge, die Ein-/Ausgangsgrade bei gerichteten Graphen sowie die Knoten- und Kantenzahl.Winkel-zwischen-zwei-Vektoren-Rechnerθ = arccos(a·b / (|a||b|)) in 2D oder 3D, in Grad und Bogenmaß, mit Skalarprodukt, beiden Beträgen, den Projektionen und dem Urteil parallel / senkrecht / spitz / stumpf.Cholesky-Zerlegung-RechnerZerlege eine symmetrisch positiv definite Matrix A in L·Lᵀ, wobei L eine untere Dreiecksmatrix ist — die Cholesky-Zerlegung. Gib A in einem editierbaren quadratischen Raster ein, und es liefert L, Lᵀ und das Produkt L·Lᵀ; ist die Matrix nicht symmetrisch oder nicht positiv definit, nennt es die verletzte Bedingung. Doppelt so schnell wie LU wird Cholesky in Optimierung, Kalman-Filtern und Monte-Carlo-Simulation genutzt.Cramersche-Regel-RechnerLöst ein 2×2- oder 3×3-System in exakten Brüchen, entwickelt jede Determinante Term für Term und trennt bei D = 0 die beiden Fälle, die die meisten Rechner vermengen: abhängiges System mit unendlich vielen Lösungen oder unlösbares System ohne jede Lösung.Kreuzprodukt-Rechnera × b in 3D mit der Entwicklung der Determinante, dem Betrag |a||b|sin θ, den Flächen von Parallelogramm und Dreieck, der Einheitsnormalen und der Rechte-Hand-Regel.Skalarprodukt-Rechnera·b in 2 bis 10 Dimensionen mit der Summe Term für Term, beiden Beträgen als exakte Wurzelausdrücke, dem Winkel in Grad und Bogenmaß, den Projektionen und einer Abbildung. Parallelität und Orthogonalität werden in exakten Brüchen entschieden: (1,1,1)·(2,2,2) liefert 0°, nicht NaN.

Öffne Gram-Schmidt-Rechner (Orthonormalbasis) und du bekommst sofort eine Antwort — ohne Konto anzulegen. Sein Platz ist unter Matrizen & Vektoren; Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten) und Kern-Rechner (Basis von Nul(A), Defekt, parametrische Lösung) beantworten die nächstliegenden Fragen.

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Häufige Fragen

Wofür ist Gram-Schmidt-Rechner (Orthonormalbasis) da?

Wie sieht ein konkreter Fall aus?

(1, 1), (1, 0) → (1, 1)/√2, (1, −1)/√2 — das Werkzeug zeigt jeden Zwischenschritt, nicht nur das Endergebnis.

Wann brauche ich das konkret?

Eine von Hand ausgeführte Zerlegung prüfen, ein lineares System lösen und die Eigenwerte finden, die beschreiben, wie eine Abbildung den Raum dehnt.

Was ist der häufigste Fehler?

Eine Matrix invertieren, um ein System zu lösen. Elimination oder eine Faktorisierung ist schneller und numerisch weit stabiler; eine explizite Inverse verstärkt Rundungsfehler, besonders nahe der Singularität.

Worin unterscheidet sich Gram-Schmidt-Rechner (Orthonormalbasis) von Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten)?

Sie liegen nah beieinander, beantworten aber verschiedene Fragen. Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten): eine Basis des Spaltenraums jeder Matrix bis 6×6, genommen aus den URSPRÜNGLICHEN Pivotspalten statt aus den reduzierten — mit Rang, freien Spalten, vollständiger RREF und jeder Zeilenoperation. Nimm das, was zu deinem Ausgangspunkt passt — beide sind kostenlos.

Gibt es ein Werkzeug für den nächsten Schritt?

Kern-Rechner (Basis von Nul(A), Defekt, parametrische Lösung) ist das nächstliegende danach: Löse Ax = 0 für jede Matrix bis 8×8: eine Basis des Kerns in exakten Brüchen und in ganzen Zahlen, die freien Variablen, die parametrische Lösung, die Probe der Dimensionsformel und A·v = 0 exakt geprüft.

Woher stammen die Daten?

Die Zerlegungen folgen ihren Lehrbuchdefinitionen, mit Teilpivotisierung wo sinnvoll. Ergebnisse sind exakt für kleine ganzzahlige Matrizen und sonst der Gleitkommarundung unterworfen.

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ErklärungDie Diagonalen eines Vielecks sind ein Vollnetz minus dem UmfangEin Sechseck hat 9 Diagonalen, ein Zwanzigeck 170 und ein Hundertecken 4.850. Dieselbe Zählung liefert die Verbindungszahl eines Vollnetzes: 190 Verbindungen für 20 Knoten, 4.950 für 100.ErklärungEin Zwanzig-Gallonen-Becken fasst in Großbritannien sechzehn60 × 30 × 40 cm sind 72 Liter — 19,0 US-Gallonen oder 15,8 imperiale. Die beiden Gallonen unterscheiden sich um 20 %, und 5 cm unter dem Rand zu füllen kostet weitere 9 Liter.ErklärungEine Ellipse hat eine einfache Fläche und keinen einfachen UmfangHalbachsen von 5 und 3 ergeben einen Umfang von 25,5270, und der exakte Wert weicht um ein Zweimillionstel ab. Die naheliegende Schätzung π(a+b) liegt 1,5 % zu tief — und bei einer langen dünnen Ellipse 15 % zu tief.ErklärungEine Formel deckt Kugel, Ei und Planet abVier Drittel π mal den drei Halbachsen: 5, 3 und 4 ergeben 251,33, und setzt man alle drei gleich, kommt die Kugel zurück. Der Äquatorwulst kostet die Erde 0,34 % des Kugelvolumens.ErklärungSechzig Meter Zaun umschließen umso mehr Fläche, je runder man sie legtDieselben 60 m Zaun ergeben 173 m² als Dreieck, 225 als Quadrat, 260 als Sechseck und 286 als Kreis. Die Form ist 65 % mehr wert als das Material.ErklärungDas äußere Zehntel einer Scheibe ist ein Fünftel ihrer FlächeEin Ring von Radius 9 bis 10 bedeckt 59,7 Flächeneinheiten einer 314,2er Scheibe — 19 %, bei einem Rand von einem Zehntel des Radius. Ein 60-mm-Rohr mit 3-mm-Wand folgt derselben Rechnung.