Gram-Schmidt-Rechner (Orthonormalbasis)

Verwandle eine Menge von Vektoren mit dem Gram-Schmidt-Verfahren in eine Orthonormalbasis: jeder Vektor wird orthogonal zu den vorherigen gemacht und dann auf Einheitslänge normiert. Gib einen Vektor pro Zeile in einem editierbaren Raster ein, und es liefert die Orthonormalbasis, wobei linear abhängige Vektoren verworfen werden. Orthonormalbasen sind die Grundlage der QR-Faktorisierung, der Fourier-Analyse und von Projektionen.

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Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten)Eine Basis des Spaltenraums jeder Matrix bis 6×6, genommen aus den URSPRÜNGLICHEN Pivotspalten statt aus den reduzierten — mit Rang, freien Spalten, vollständiger RREF und jeder Zeilenoperation.Kern-Rechner (Basis von Nul(A), Defekt, parametrische Lösung)Löse Ax = 0 für jede Matrix bis 8×8: eine Basis des Kerns in exakten Brüchen und in ganzen Zahlen, die freien Variablen, die parametrische Lösung, die Probe der Dimensionsformel und A·v = 0 exakt geprüft.Adjazenzmatrix-RechnerWandle jeden Graphen in seine Adjazenzmatrix um. Füge eine Kantenliste (A-B), eine Adjazenzliste (A: B C D) oder eine Binärmatrix ein — das Tool erkennt das Format, baut die beschriftete Adjazenzmatrix und nennt die Gradfolge, die Ein-/Ausgangsgrade bei gerichteten Graphen sowie die Knoten- und Kantenzahl.Winkel-zwischen-zwei-Vektoren-Rechnerθ = arccos(a·b / (|a||b|)) in 2D oder 3D, in Grad und Bogenmaß, mit Skalarprodukt, beiden Beträgen, den Projektionen und dem Urteil parallel / senkrecht / spitz / stumpf.Cholesky-Zerlegung-RechnerZerlege eine symmetrisch positiv definite Matrix A in L·Lᵀ, wobei L eine untere Dreiecksmatrix ist — die Cholesky-Zerlegung. Gib A in einem editierbaren quadratischen Raster ein, und es liefert L, Lᵀ und das Produkt L·Lᵀ; ist die Matrix nicht symmetrisch oder nicht positiv definit, nennt es die verletzte Bedingung. Doppelt so schnell wie LU wird Cholesky in Optimierung, Kalman-Filtern und Monte-Carlo-Simulation genutzt.Cramersche-Regel-RechnerLöst ein 2×2- oder 3×3-System in exakten Brüchen, entwickelt jede Determinante Term für Term und trennt bei D = 0 die beiden Fälle, die die meisten Rechner vermengen: abhängiges System mit unendlich vielen Lösungen oder unlösbares System ohne jede Lösung.Kreuzprodukt-Rechnera × b in 3D mit der Entwicklung der Determinante, dem Betrag |a||b|sin θ, den Flächen von Parallelogramm und Dreieck, der Einheitsnormalen und der Rechte-Hand-Regel.Skalarprodukt-Rechnera·b in 2 bis 10 Dimensionen mit der Summe Term für Term, beiden Beträgen als exakte Wurzelausdrücke, dem Winkel in Grad und Bogenmaß, den Projektionen und einer Abbildung. Parallelität und Orthogonalität werden in exakten Brüchen entschieden: (1,1,1)·(2,2,2) liefert 0°, nicht NaN.

Öffne Gram-Schmidt-Rechner (Orthonormalbasis) und du bekommst sofort eine Antwort — ohne Konto anzulegen. Berücksichtigt werden jeder Vektor wird orthogonal zu den vorherigen gemacht und dann auf Einheitslänge normiert. Gib einen Vektor pro Zeile in einem editierbaren Raster ein, und es liefert die Orthonormalbasis, wobei linear abhängige Vektoren verworfen werden. Orthonormalbasen sind die Grundlage der QR-Faktorisierung, der Fourier-Analyse und von Projektionen — passe einen davon an und das Ergebnis folgt sofort.

So funktioniert's

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Häufige Fragen

Wofür ist Gram-Schmidt-Rechner (Orthonormalbasis) da?

Wie sieht ein konkreter Fall aus?

(1, 1), (1, 0) → (1, 1)/√2, (1, −1)/√2 — das Werkzeug zeigt jeden Zwischenschritt, nicht nur das Endergebnis.

Was wird berücksichtigt?

Berücksichtigt werden jeder Vektor wird orthogonal zu den vorherigen gemacht und dann auf Einheitslänge normiert. Gib einen Vektor pro Zeile in einem editierbaren Raster ein, und es liefert die Orthonormalbasis, wobei linear abhängige Vektoren verworfen werden. Orthonormalbasen sind die Grundlage der QR-Faktorisierung, der Fourier-Analyse und von Projektionen. Änderst du einen davon, passt sich das Ergebnis sofort an.

Wann brauche ich das konkret?

Eine von Hand ausgeführte Zerlegung prüfen, ein lineares System lösen und die Eigenwerte finden, die beschreiben, wie eine Abbildung den Raum dehnt.

Was ist der häufigste Fehler?

Eine Matrix invertieren, um ein System zu lösen. Elimination oder eine Faktorisierung ist schneller und numerisch weit stabiler; eine explizite Inverse verstärkt Rundungsfehler, besonders nahe der Singularität.

Worin unterscheidet sich Gram-Schmidt-Rechner (Orthonormalbasis) von Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten)?

Sie liegen nah beieinander, beantworten aber verschiedene Fragen: Spaltenraum-Rechner (Basis von Col(A), Rang, Pivotspalten) ist das richtige, wenn es darum geht, eine Basis des Spaltenraums jeder Matrix bis 6×6, genommen aus den URSPRÜNGLICHEN Pivotspalten statt aus den reduzierten — mit Rang, freien Spalten, vollständiger RREF und jeder Zeilenoperation. Nimm das, was zu deinem Ausgangspunkt passt — beide sind kostenlos.

Gibt es ein Werkzeug für den nächsten Schritt?

Kern-Rechner (Basis von Nul(A), Defekt, parametrische Lösung) ist das nächstliegende danach: Löse Ax = 0 für jede Matrix bis 8×8: eine Basis des Kerns in exakten Brüchen und in ganzen Zahlen, die freien Variablen, die parametrische Lösung, die Probe der Dimensionsformel und A·v = 0 exakt geprüft.

Woher stammen die Daten?

Die Zerlegungen folgen ihren Lehrbuchdefinitionen, mit Teilpivotisierung wo sinnvoll. Ergebnisse sind exakt für kleine ganzzahlige Matrizen und sonst der Gleitkommarundung unterworfen.

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