Cómo funciona el efecto Doppler: la fórmula, el convenio de signos y por qué mover la fuente no es lo mismo que mover al oyente

Una fórmula, un convenio de signos, enunciado antes de cualquier número

Escribe el efecto Doppler sonoro una sola vez, como f' = f(v + v_o)/(v − v_s). Aquí f es la frecuencia que emite la fuente, f' la que oye el observador y v la velocidad del sonido en el medio — 343 m/s en aire a 20 °C. Los dos símbolos restantes son velocidades con signo medidas respecto al medio, no una respecto a la otra: v_o es la componente de velocidad del observador hacia la fuente, positiva al acercarse y negativa al alejarse; v_s es la de la fuente hacia el observador, de nuevo positiva al acercarse. Meter un v_s positivo reduce el denominador y sube el tono: esa es la comprobación física que conviene hacer antes de fiarse de cualquier resultado.

Haz la cuenta sobre un la de diapasón, f = 440 Hz. Una fuente que se acerca a 30 m/s da f' = 440 × (343 + 0)/(343 − 30) = 440 × 343/313 = 482,17 Hz. La misma fuente alejándose corresponde a v_s = −30, luego f' = 440 × 343/373 = 404,61 Hz. En el paso, el tono cae 77,56 Hz, una razón de frecuencias de 1,1917, que en escala musical son 304 cents — casi exactamente tres semitonos. Ese es el intervalo que de verdad se oye cuando un coche pasa a 108 km/h, y merece la pena memorizarlo como comprobación de plausibilidad: si una calculadora te devuelve medio semitono o una octava para un vehículo de carretera, algo falla en las unidades.

Mover la fuente y mover al oyente dan números distintos

La única fórmula combinada esconde una asimetría real. Cuando se mueve la fuente, persigue a sus propias ondas y acorta de verdad la longitud de onda en el aire: una fuente de 440 Hz tiene λ = 343/440 = 0,7795 m en reposo, y acercándose a 30 m/s emite λ' = (343 − 30)/440 = 0,7114 m. El oyente quieto encuentra esas ondas más cortas a los 343 m/s de siempre y oye 343/0,7114 = 482,17 Hz. Cuando en cambio se mueve el oyente, la longitud de onda en el aire sigue siendo 0,7795 m; el oyente simplemente choca con las crestas a una velocidad de acercamiento de 343 + 30 = 373 m/s y oye 373/0,7795 = 478,48 Hz. Dos mecanismos distintos, dos números distintos, con los mismos 30 m/s.

La brecha crece con la velocidad. A 10 m/s vale 0,39 Hz, apenas audible; a 30 m/s, 3,69 Hz; a 50 m/s, 10,95 Hz, es decir 515,09 frente a 504,14, o 37 cents — alrededor de un tercio de semitono, claramente audible para un oído entrenado. Un matiz que conviene decir con cuidado, porque es fácil exagerarlo: la razón entre el tono de acercamiento y el de alejamiento es la misma en ambos casos, (v + velocidad)/(v − velocidad), así que un paso abarca el mismo intervalo musical se mueva quien se mueva. Lo que cambia es dónde queda ese intervalo respecto a la nota emitida. Di cuál de los dos está en movimiento, o la respuesta solo será aproximadamente correcta.

Dónde se detiene la fórmula del sonido: Mach 1, el tiempo y la luz

Empuja v_s hacia v y el denominador se hunde. Una fuente de 440 Hz que se acerca a 300 m/s se oye a 3 510 Hz; a 340 m/s, 50 307 Hz; a exactamente 343 m/s la expresión divide entre cero. Físicamente la fuente sigue ya el ritmo de sus propios frentes de onda, estos se apilan en un único choque, y la imagen Doppler suave deja de describir nada. Más allá, la fórmula devuelve frecuencias negativas: es la manera que tiene el álgebra de avisar de que ha salido de su dominio. Una segunda dependencia, más discreta, es el propio medio: v = 331,3 × √(1 + T/273,15) para aire seco, así que la velocidad del sonido es 325,18 m/s a −10 °C y 351,89 m/s a 35 °C. El mismo acercamiento a 30 m/s da entonces 484,72 Hz en un día frío y 481,01 Hz en uno caluroso. Un viento sostenido también cuenta, ya que v_o y v_s se definen respecto al aire, no respecto al suelo.

La luz es otro problema, no la misma fórmula con una v mayor. El sonido necesita un medio, y eso es lo que permite distinguir el caso de la fuente del caso del observador; la luz no lo tiene, así que solo existe la velocidad relativa entre fuente y observador y ambos casos deben dar respuestas idénticas. La fórmula Doppler relativista longitudinal hace exactamente eso: f' = f√((1 + β)/(1 − β)) en acercamiento, con β = v/c, y la inversa en alejamiento. Con β = 0,1 el factor exacto es 1,105542, mientras que los atajos calcados del sonido dan 1/(1 − β) = 1,111111 para una fuente móvil y 1 + β = 1,100000 para un observador móvil. Ninguno es correcto, y además se contradicen: la señal más clara posible de que la ecuación acústica no se traslada. Con β = 0,5, una fuente que se acerca se desplaza al azul en un factor 1,732 y una que se aleja al rojo hasta 0,577.

Preguntas frecuentes

¿Por qué baja de tono la sirena cuando pasa la ambulancia?

Porque el signo de v_s se invierte en el instante del paso. Acercándose, la ambulancia persigue a su propio sonido y la longitud de onda que te llega está comprimida, así que el tono sube; una vez pasada, huye del sonido que emite, la longitud de onda se estira y el tono baja. Una sirena de 700 Hz en un vehículo a 25 m/s se oye a 755,0 Hz al acercarse y a 652,4 Hz después, una caída de 102,6 Hz. La sirena en sí no cambia nunca; nada del sonido que sale del vehículo es distinto antes y después. La caída tampoco es gradual: es más rápida justo en el paso más cercano, porque es entonces cuando la componente de la velocidad a lo largo de la línea hacia tu oído pasa de positiva a negativa.

¿Qué velocidad del sonido debo poner en la fórmula?

La velocidad en el medio por el que la onda viaja de verdad, a su temperatura real. Para aire seco, v = 331,3 × √(1 + T/273,15) m/s, lo que da 331,3 m/s a 0 °C, 343,2 m/s a 20 °C y 351,9 m/s a 35 °C — los 343 m/s de los libros son un valor a temperatura ambiente, no una constante. El efecto sobre el resultado es modesto pero real: una fuente de 440 Hz que se acerca a 30 m/s se oye a 484,72 Hz a −10 °C y a 481,01 Hz a 35 °C. La presión y la altitud casi no importan para el aire, pero el medio sí: el sonido viaja cerca de 1 480 m/s en agua, así que un desplazamiento Doppler bajo el agua a la misma velocidad de fuente es unas 4,6 veces menor.

¿Puedo usar la misma fórmula Doppler para la luz?

No. La fórmula acústica distingue una fuente móvil de un observador móvil porque el sonido se propaga por un medio que define un marco de reposo; la luz no tiene medio, así que solo la velocidad relativa tiene sentido físico y ambos casos deben coincidir. La expresión longitudinal correcta es f' = f√((1 + β)/(1 − β)) en acercamiento y f√((1 − β)/(1 + β)) en alejamiento, con β = v/c. Con β = 0,1 eso da un factor de 1,105542, mientras que los atajos acústicos dan 1,111111 y 1,100000 según qué cuerpo imagines en movimiento — distintos entre sí y ambos erróneos. A velocidades cotidianas los tres coinciden en unas pocas partes por millón, y por eso los radares pueden usar la forma simple; a cualquier fracción apreciable de c, ya no.