La ley de Hooke explicada: F = kx, constantes elásticas reales y dónde deja de valer

F = kx: qué fuerza, qué signo, qué unidades

En F = kx, x no es la longitud del muelle. Es el desplazamiento respecto a su longitud natural, sin carga, y medir desde la mesa o desde lo alto de la espira es el error de montaje más común de todo el tema. La constante k se mide en newtons por metro: un muelle con k = 200 N/m necesita 200 N para estirarse un metro entero, o 2,00 N para estirarse 1,00 cm. Cuelga de él una masa de 1,00 kg y la fuerza aplicada es su peso, mg = 1,00 × 9,80665 = 9,80665 N con la aceleración normal de la gravedad del NIST, así que el muelle se queda en x = 9,80665 / 200 = 0,0490 m, algo menos de 5 cm.

Verás la ley escrita como F = kx y como F = −kx, y ambas son correctas porque nombran fuerzas distintas. F = kx es la fuerza que aplicas para mantener el muelle en el estiramiento x; F = −kx es la fuerza recuperadora que el muelle ejerce de vuelta, y el signo menos solo dice que apunta hacia la posición de reposo. La energía almacenada resulta de sumar esa fuerza a lo largo del recorrido: U = ½kx². El factor un medio importa, y el cuadrado también. En el mismo muelle de 200 N/m, x = 0,05 m guarda 0,25 J, x = 0,10 m guarda 1,00 J, x = 0,20 m guarda 4,00 J y x = 0,30 m guarda 9,00 J. La fuerza crece en proporción al estiramiento; la energía crece con su cuadrado, y por eso tensar un arco el doble multiplica por cuatro, aproximadamente, la energía que puede entregar.

De qué está hecha una constante elástica, y cómo se combinan los muelles

k no es una propiedad del material; es una propiedad de un objeto concreto. Para una barra recta tirada a lo largo, k = EA/L. Una varilla de acero de 1,00 m y 1 mm² de sección, con módulo de Young cercano a 200 GPa, tiene k = 200 × 10⁹ × 1 × 10⁻⁶ / 1,00 = 2,00 × 10⁵ N/m, así que una masa de 1,00 kg la estira 0,049 mm. Córtala a 0,50 m y k se duplica hasta 4,00 × 10⁵ N/m: el mismo acero, el doble de rigidez. Un muelle helicoidal sigue k = Gd⁴/(8D³n), con d el diámetro del hilo, D el diámetro medio de la espira y n el número de espiras activas. Hilo de acero de 1,0 mm enrollado en espiras de 10 mm, 20 vueltas, con módulo de cizalla de 79,3 GPa, da k = 496 N/m. Sube el hilo a 2,0 mm y k pasa a 7 930 N/m — exactamente dieciséis veces más, porque d entra a la cuarta potencia.

Dos muelles unidos uno tras otro, en serie, son más blandos que cualquiera por separado, porque cada uno aporta su propio estiramiento: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂. Une 100 N/m con 300 N/m y el conjunto se comporta como 75 N/m. Compruébalo con una carga de 1,00 kg: los mismos 9,80665 N atraviesan ambos, así que el primero se estira 9,80665/100 = 9,81 cm y el segundo 9,80665/300 = 3,27 cm, en total 13,08 cm — exactamente 9,80665/75. En paralelo, uno al lado del otro, se reparten la carga y sus constantes se suman: k = k₁ + k₂ = 400 N/m, el conjunto se estira 9,80665/400 = 2,45 cm, y los dos muelles soportan 2,452 N y 7,355 N, que vuelven a sumar 9,80665 N. Dos muelles idénticos de 100 N/m dan 50 N/m en serie y 200 N/m en paralelo: es la comprobación más rápida de qué regla acabas de usar.

Dónde la ley de Hooke deja de ser cierta

La ley de Hooke es una aproximación de primer orden a una curva, no una ley de la naturaleza. Representa fuerza frente a estiramiento en un muelle real y el trazo solo es recto en un rango limitado. El punto donde empieza a curvarse es el límite de proporcionalidad; algo más allá está el límite elástico, el mayor estiramiento desde el que el muelle aún vuelve exactamente a su longitud inicial. Pasado ese punto el material fluye y queda deformado de forma permanente: suelta la carga y el muelle es más largo que al principio. Nada en F = kx te avisa de esto, y por eso los fabricantes publican una flecha máxima de trabajo junto al valor de k, y por eso una práctica de laboratorio que sigue añadiendo masas acaba dando puntos que se apartan de la recta ajustada.

Los muelles de compresión tienen un segundo límite, más brusco, en el otro extremo: en cuanto las espiras se tocan, el muelle está a altura de bloqueo y su rigidez pasa a ser la de un cilindro corto de acero, enorme y sin relación con k. La costumbre útil es dar k por válida dentro de un rango declarado de x, y declarar ese rango. La misma prudencia vale cuando la ley de Hooke hace de rigidez de material en general. La relación lineal tensión-deformación detrás de k = EA/L describe bien metales y cerámicas a pequeñas deformaciones, pero el caucho, los polímeros y el tejido biológico se apartan de la recta casi de inmediato, así que ajustarles una única k es una decisión de modelado que conviene declarar, no una medida que se pueda citar.

Preguntas frecuentes

¿La ley de Hooke es F = kx o F = −kx?

Ambas, para fuerzas distintas. F = kx da el módulo de la fuerza que aplicas para mantener el muelle en el desplazamiento x, que es lo que suelen pedir una calculadora o un informe de laboratorio. F = −kx da la fuerza recuperadora que el muelle ejerce sobre lo que tenga enganchado, y el signo menos registra que apunta hacia la posición de reposo: es la que se sustituye en la segunda ley de Newton para obtener el movimiento armónico simple. Si la pregunta pide cuánto hay que tirar, prescinde del signo; si pide la fuerza sobre la masa, consérvalo.

¿Cuáles son las unidades de la constante elástica?

Newtons por metro, N/m, que en unidades SI básicas es kg/s². Como F = kx, k = F/x: una fuerza en newtons dividida entre una longitud en metros. Dos conversiones hacen tropezar: 1 N/mm = 1 000 N/m, la forma que usan los catálogos de automoción y maquinaria, y 1 kgf/cm ≈ 980,665 N/m, todavía presente en fichas técnicas antiguas. Si metes una constante en N/mm en una fórmula que espera N/m, todas las fuerzas salen mil veces menores: comprueba la unidad de la ficha antes del cálculo, no después.

¿Se aplica la ley de Hooke a las gomas elásticas?

Solo en un estiramiento inicial muy corto, y aun ahí de forma burda. La curva fuerza-estiramiento de una goma tiene forma de S, así que una sola k no puede describirla: la goma es blanda al principio y luego se endurece de golpe cuando las cadenas del polímero se alinean. Además presenta histéresis — la curva de vuelta queda por debajo de la de ida, así que parte de la energía aportada regresa como calor en lugar de movimiento. Por eso una goma es mala elección para el experimento de Hooke y por eso los cálculos de la forma ½kx² no se le trasladan. Usa un muelle helicoidal de acero si lo que se busca es la ley lineal.