Cómo usar la fórmula cuadrática: resolver ax² + bx + c = 0

Plantear la fórmula correctamente

La fórmula solo funciona cuando la ecuación está en forma estándar: ax² + bx + c = 0, con cero a la derecha. Si empiezas con 2x² + 3x = 5, resta primero 5 para obtener 2x² + 3x − 5 = 0, con a = 2, b = 3, c = −5. El error más común es leer mal un signo, así que escribe cada coeficiente con su signo antes de sustituir.

Vigila sobre todo el término −b. Si b ya es negativo, entonces −b se vuelve positivo: para x² − 5x + 6 = 0, b = −5, así que −b = +5. Un planteamiento cuidadoso — a = 1, b = −5, c = 6 — convierte la fórmula en x = (5 ± √(25 − 24)) / 2. Acertar los signos en esta etapa elimina casi todos los errores posteriores.

Qué te dice el discriminante

El discriminante b² − 4ac decide la forma de la respuesta antes de terminar. Si es positivo, la raíz es un número real y el ± da dos raíces reales distintas. Si es exactamente cero, el ± no suma ni resta nada, así que ambas raíces coinciden en una única solución doble. Si es negativo, la raíz de un número negativo no es real, así que la ecuación no tiene soluciones reales — solo complejas.

Geométricamente, las raíces son donde la parábola y = ax² + bx + c corta el eje x. Dos raíces reales: corta dos veces; un discriminante cero: solo toca el eje en su vértice; un discriminante negativo: la parábola flota entera por encima o por debajo y nunca cruza. Comprobar primero el signo del discriminante indica qué tipo de respuesta esperar.

Un ejemplo completo resuelto

Resuelve 2x² + 3x − 5 = 0. Aquí a = 2, b = 3, c = −5. El discriminante es 3² − 4 × 2 × (−5) = 9 + 40 = 49, positivo, así que se esperan dos raíces reales. Su raíz cuadrada es 7, así que x = (−3 ± 7) / (2 × 2) = (−3 ± 7) / 4. La rama más da (−3 + 7) / 4 = 1, y la rama menos da (−3 − 7) / 4 = −2,5.

Verifica siempre sustituyendo de vuelta. Para x = 1: 2(1) + 3(1) − 5 = 2 + 3 − 5 = 0. Para x = −2,5: 2(6,25) + 3(−2,5) − 5 = 12,5 − 7,5 − 5 = 0. Ambas cuadran. Este paso de sustitución detecta fallos de signo y de cálculo, y toma un instante frente a rehacerlo todo.

Preguntas frecuentes

¿Qué pasa si a es cero?

Entonces no es una cuadrática. Si a = 0 el término x² desaparece y queda la ecuación lineal bx + c = 0, resuelta simplemente por x = −c / b. La fórmula cuadrática dividiría por 2a = 0, que es indefinido, así que usa el método lineal.

¿Siempre puedo factorizar en vez de usar la fórmula?

No siempre. Factorizar es rápido cuando las raíces son enteros simples o fracciones limpias, pero muchas cuadráticas tienen raíces irracionales o feas que se resisten. La fórmula funciona para toda cuadrática, así que es el recurso fiable cuando factorizar no sale.

¿Qué significa una raíz doble?

Significa que las dos soluciones son iguales porque el discriminante es cero. Para x² − 4x + 4 = 0 el discriminante es 16 − 16 = 0, así que x = 2 es la única raíz, contada dos veces. La parábola toca el eje x en un solo punto, su vértice.

¿Cómo manejo un discriminante negativo?

No hay soluciones reales, así que si tu curso solo quiere respuestas reales, lo indicas. Si se permiten complejos, escribe la raíz del discriminante negativo con i, donde i² = −1, y el ± da entonces un par de raíces complejas conjugadas.